График линейного уравнения с двумя

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $\frac$;0) и точка на оси Y (0; $\frac$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, $c \neq 0$

x, $y \in \Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

График линейного уравнения с двумя переменными

Разделы: Математика

Цели урока:

познакомить учащихся с понятие графика линейного уравнения с двумя переменными;
формировать умение строить такие графики и находить по ним решения уравнений.
воспитывать умение работать в группах, коллективе;
развивать абстрактно-логическое мышление (умение анализировать, делать вывод, выделять главное и второстепенное, сравнивать и обобщать); развивать любознательность, наблюдательность, самостоятельность, интерес к предмету.

Оборудование: карточки для работы в группах, музыка для релаксации, ПК, презентация.

ХОД УРОКА

ЭТАП 1. Орг. момент.

Тема урока “График линейного уравнения с двумя переменными”. (Слайд 1).

Схема построения урока.

ЭТАП 2. Выяснения ожиданий и опасений “Дерево возможных вариантов”, на этапе вхождения в тему.

Перед началом выяснения ожиданий и опасений учитель объясняет, почему важно выяснить цели, ожидания и опасения. Учитель также участвует в процессе, озвучивая свои цели, ожидания и опасения.

Цель: выявить ожидания и опасения обучающихся на уроке.

Участники: все обучающиеся.

Необходимый материал: нарисованное дерево, на которое в конце урока будут наклеены листочки.

Проведение: Учитель предлагает учащимся на желтых листах написать, чего они ждут на уроке, а на красных чего опасаются. В конце урока учащиеся заклеивают цветными листочками: сбывшиеся ожидания и несбывшиеся опасения-желтыми и несбывшиеся ожидания и подтвердившиеся опасения – красными.

Оценка результата урока: желтое дерево – цели достигнуты, корни крепкие, крона густая, ждем плодов. Красное дерево выросло – выросло не то, что ожидали.

ЭТАП 3. Повторения пройденного материала (п. 15, п. 16).

1. У ч и т е л ь. Один из ученых сказал, что в настоящее время поверхность Луны лучше изучена, чем “внутренность” Земли. Однако известно, что каждые 100 м в Земле температура повышается на 3 °С. Писателей-фантастов часто привлекала тема путешествия к центру земного шара. Но возможно ли это? давайте посчитаем. Пусть температура почвы 0 °С. Какова будет температура Земли на глубине 100 м, 200 м, 500 м, 1 км, 30 км, 100 км, 1000 км? Будет ли эта зависимость функцией? Запишите ее формулу. (Слайд №2).

2. Вывод. Мы получили зависимость у = 0,03х.

3. Что вы можете сказать про эту зависимость?

– Это прямая пропорциональность;
– коэффициент к = 0,03;
– график расположен в первой и третьей координатной плоскости;
– график проходит через начало координат;
– для того, чтобы построить график этой линейной функции нужно найти координаты двух точек.

На слайде в центре указано название темы, остальные секторы, пронумерованные, но пока не заполненные. Начиная с сектора 1, учитель вписывает в сектор название раздела темы, о котором сейчас пойдет обсуждение. Обучающимся предлагается обдумать, о каких аспектах темы пойдет речь. Затем ученики обсуждают тему, а в сектор вписываются наиболее существенные моменты первого раздела, ребята на местах заполняют таблицу №1. Закончив обсуждение материала по теме первого сектора, учитель вписывает во второй сектор название темы, ребята на местах заполняют таблицу №2, и так далее.

Таким образом, наглядно и в четко структурированном виде представляется весь материал урока, выделяются его ключевые моменты. Существующие на момент начала презентации “белые пятна” по данному уроку постепенно заполняются.

4. Работа в группах. (у каждого ученика есть карточка Приложение 2).

I группа. Заполнить таблицу №1.

I группа

II группа

Заполняем при работе в парахПрямая пропорциональностьОбщий виду= кхПримерыу= 6хГрафикПредставляет собой прямую, проходящую через начало координатРасположение графика функции в координатной плоскости– если к> 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях;
– если к

II группа. Заполнить таблицу таблица №2

I группа

II группа

Заполняем при работе в парахЛинейная функцияОбщий виду = кх + вПримерыу = 2х – 8ГрафикЕсть прямая, параллельная прямой у = кх. Графиком является прямая.Расположение графика функции в координатной плоскости– если к> 0, то угол наклона прямой к оси х острый;

Вывод: после заполнения первого и второго секторов учитель показывает результат работы на электронной доске.(слайд №4) графиками этих функций является прямые, расположение которых зависит от к.

I группа	II группа
Прямая пропорциональность	Линейная функция
Общий вид	у= кх	у = кх + в
Примеры	у= 6х	у = 2х – 8
График	Представляет собой прямую, проходящую через начало координат	Есть прямая, параллельная прямой

у = кх. Графиком является прямая.Расположение графика функции в координатной плоскости– если к> 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях;

– если к 0, то угол наклона прямой к оси х острый;

ЭТАП 4. Физминутка. Слайд №5

ЭТАП 5. Изучение нового материала.

1. Ребята изучают самостоятельно п.41 “График линейного уравнения с двумя переменными”, и продолжают заполнять таблицу №1.

После заполнения и обсуждения полученных результатов в таблице, учитель делает вывод. (Слайд №6)

Делаем вывод, что график линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Расположение графика линейного уравнения с двумя переменными рассматривается аналогично графикам прямой пропорциональности и линейной функции.

ЭТАП 6. Закрепление нового материала (Приложение 3, Приложение 4)

1. Вывод по первому заданию:

– в первой координатной четверти координаты х и у – положительные;
– во второй координатной четверти координата х – отрицательная, у – положительная;
– в третьей координатной четверти координата х – отрицательная, у – отрицательная;
– в четвертой координатной четверти координата х – положительная, у – отрицательная;

2. Вывод по второму заданию:

– слагаемое с х перенести в правую часть уравнения, изменив знак;
– поделить обе части уравнения на коэффициент перед у.

3. Вывод по третьему заданию:

– выразить у через х;
– найти координаты двух каких-либо точек прямой;
– отметить полученные точки в координатной плоскости;
– провести через точку прямую;
– эта прямая – график данного уравнения.

4. Вывод по четвертому заданию: для того, чтобы найти ординату (абсциссу) точки, нужно данное значение абсциссы (ординаты) подставить в уравнение, и решить полученное уравнение.

5. Вывод по пятому заданию: для того, чтобы найти ординату (абсциссу) точки, нужно данное значение абсциссы (ординаты) подставить в уравнение, и решить полученное уравнение.

6. Работа в группах. (Учитель выступает в роли консультанта)

1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка:

2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.

3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2.

Найдите ординату этой точки.

1. Принадлежит ли графику уравнения 3х – 4у = 2 точка:

2. Постройте график линейного уравнения –2x + 5y = 10.

3. Известно, что график уравнения y = x – 5 проходит через точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.

Вывод: с какие задания вызвали затруднения, разобрать план решения этих заданий.

Этап 7. Домашнее задание: № 1049 (б, в, г); № 1050 (б, г); № 1148.

Этап 8. Итог урока. (Слайд № 8).

– Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

– Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

– Как определить, принадлежит ли точка А (2; –4) графику уравнения 3x + y = 2?

– Как найти абсциссу точки, принадлежащей графику какого-либо уравнения, если известна её ордината?

Этап 9. Рефлексия.

Проведение: учитель предлагает вернуться к “Дереву возможных вариантов”. Учащиеся выбирают стикеры нужного цвета и наклеивают их на дерево. Если преобладающий цвет желтый, то цели урока достигнуты. Красный – есть над чем поработать

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа.

Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2

Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10

т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.

Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.

1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Выразить одну переменную через другую:

1) 2х +у = 5 2) 3)

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6

План 1) Выразить переменную у

у =