Линейное уравнение с двумя переменными и его график
График линейного уравнения с двумя переменными
В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.
Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:
Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).
Точки пересечения с осями координат:
График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $\frac
Равенство нулю коэффициентов при переменных:
$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$
График – прямая, параллельная оси Х.
$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$
График – прямая, параллельная оси У.
a = 0, b = 0, $c \neq 0$
x, $y \in \Bbb R$ — любое действительное число.
График – вся координатная плоскость
График – пустое множество.
Взаимное расположение графиков двух уравнений
$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$
41. График линейного уравнения с двумя переменными
Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными хну, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит пта пара чисел (абсциссой служит значение х, а ординатой — значение у). Все такие точки образуют график уравнения.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Выясним, что представляет собой график уравнения
Выразим переменную у через х:
Формулой у = -1,5x + 3 задаётся линейная функция, графиком которой служит прямая (рис. 74).
Так как уравнения
Зх + 2у = 6 и у = -1,5x + 3
равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения Зх + 2у = 6.
С помощью таких же рассуждений можно показать, что графиком любого линейного уравнения с переменными х и у, в котором коэффициент при у не равен нулю, является прямая.
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, например, уравнение
Его решениями служат пары чисел (x; у), в которых х = 6, а у — любое число, например (6; 2), (6; 0), (6; -4,5). График уравнения состоит из всех точек, абсцисса которых равна 6, а ордината — произвольному числу. Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (6; 0) и параллельную оси у (рис. 75).
Графиком линейного уравнения с двумя неременными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
Рассмотрим теперь случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.
в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0х + 0у = с. При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При с ≠ 0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.
Приведём примеры построения графиков линейных уравнений.
Пример 1. Построим график уравнения Зх — 4у= 12.
Решение: В уравнении Зх — 4у = 12 коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдём координаты двух каких-либо точек прямой:
если х = 0, то у = -3;
если х = 2, то у = -1,5.
Отметим точки (0; -3) и (2; -1,5) и проведём через них прямую (рис. 76). Эта прямая — график уравнения Зх — 4у = 12.
Пример 2. Построим график уравнения 0,5х = -1,5.
Решение: Это уравнение можно записать в виде 0,5х + 0у = -1,5. Его решениями служат пары чисел, в которых х = -3, у — произвольное число. Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку (-3; 0) и параллельная оси у (рис. 77).
Упражнения
- Принадлежит ли графику уравнения Зх + 4у = 12 точка:
Постройте график уравнения:
Постройте график уравнения:
1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при а > 0, b > 0 может быть расположен график уравнения: ах = b; ay = b; ах + by = с.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
Решение уравнения:
Найдите значение выражения:
Презентация по алгебре на тему: «График линейного уравнения с двумя переменными» (7 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству. Лагранж
График линейного уравнения с двумя переменными.
Цели:1)систематизировать знания о линейном уравнении с двумя переменными; 2)повторить свойства уравнений; 3)закрепить знания и навыки построения графика линейного уравнения с двумя переменными.
Выберите из предложенного списка уравнения: 1)3х +2; 2)8а – 4 = 7а; 3) У²-Х=0; 4) У +45Х = 0; 5)1,2Х=- 4,8 6)х+6у=0; 7)2х –У³ =6; 8) (О,9 У+ 0,9Х) : 0,9m. Какие уравнения являются уравнениями с двумя переменными?
Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида ах + ву = с, где х,у – переменные а,в,с – числа(коэффициенты) Решение уравнения- пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Является ли пара чисел (1;2) решением уравнений а)12х +5у = 1 б) 4у – х = 7 ?
Свойства уравнений с двумя переменными: Если перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак ,то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Что значит равносильные уравнения? Уравнения, имеющие одни и те же решения. Уравнения, не имеющие решений.
ах + в у = с а=0 В=0 а=0 в=0 с=о ву=с График — прямая ах=с График — прямая 0х+оу=0 Вся координатная плоскость
Сколько надо точек для построения прямой? Две точки. У= х + 2 х 0 1 у 2 3 У(0) = 0 +2= 2 У(1) = 1+2 =3 у х
Задача №1 Построить график функции 2х – у =6. Выразим у через х. у = 2х – 6 х 3 4 у 0 2 У(3) = 2·3 – 6 =0 У(4) = 2·3 – 6 =2
Задача №2 Построить в одной системе координат графики уравнений у – 2х = о , у- 2х = 2 и у -2х =-2. 1.Выразим у через х. у= 2х у= 2х + 2 у = 2х — 2
у=2х, у=2х+2, у=2х -2 х 0 1 у 0 1 х 0 1 у 2 4 х 0 1 у -2 0 Каково взаимное расположение графиков? От чего зависит расположение графиков? 2 К=2 -2
Задача №3 Постройте графики уравнений в одной системе координат: у-х-1=0 и у+х+1=0. 1.Выразим у через х. у = х+1 у = -х-1 Чему равен угловой коэффициент? к = 1 и к = -1
у=х+1, у=-х -1 х 0 -1 у 1 0 х 0 -1 у -1 0 Каково взаимное расположение прямых? Назовите координаты точки пересечения.
Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными. Выразить у через х. Выбрать две точки (задать таблицу). Построить прямую.
Задача №4 Не выполняя построения, выяснить, принадлежит ли точка А(6;1) графикам уравнений х -2у =4 и 2х + у = 5?
Каково взаимное расположение прямых? Ответ обосновать. 1)5х + 3=у и 2 +5х = у 2) 4-3х = у и 7 + 3х = у 3) 8х – у = 5 и 5 = -у +8х к=5, параллельны к₁ =-3 и к₂=3, пересекаются к₁ = к₂, прямые совпадают.
Вывод: 1.Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны. 2.Если угловые коэффициенты различны, то прямые пересекаются. 3.Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают.
Задача№6 Известно, что ордината некоторой точки прямой, являющейся графиком уравнения 11х – 15у = 132, равна 0. Найдите абсциссу этой точки.
Задача. График, заданный уравнением 21х – 5у = 100, проходит через точку Р(3;у) . Найдите ординату точки Р.
Задача Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 2у = 8, если известно, что пара х=2,у=1 является решением этого уравнения. Решение: Если (2;1)- решение, то подставим эти значения в уравнение вместо х и у. а·2 + 2·1 = 8 2а = 8-2; а=3. Ответ: а = 3
Верно ли, что: 1) для точного построения прямой необходимо 3 точки? 2) прямые параллельны, если угловые коэффициенты равны? 3) Прямые совпадают, если а=0,в=0,с=0?
Продолжите предложение… 1)Уравнение ах + ву = с называется… линейным с двумя переменными. 2)Чтобы выяснить проходит ли график функции через заданную точку, надо… подставить координаты данной точки в уравнение и проверить, верное ли получилось равенство. 3)Для построения графика уравнения с двумя переменными, надо… выразить у через х и задать координаты двух точек.
Спасибо за работу на уроке.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 575 938 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Другие материалы
- 22.01.2016
- 633
- 0
- 22.01.2016
- 513
- 0
- 22.01.2016
- 1232
- 0
- 22.01.2016
- 617
- 0
- 22.01.2016
- 3543
- 3
- 22.01.2016
- 2904
- 11
- 22.01.2016
- 737
- 3
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 22.01.2016 5682
- PPTX 124.9 кбайт
- 613 скачиваний
- Рейтинг: 2 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Носова Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 8 лет и 7 месяцев
- Подписчики: 39
- Всего просмотров: 36370
- Всего материалов: 36
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей
Время чтения: 1 минута
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.
Время чтения: 2 минуты
Приемная кампания в вузах начнется 20 июня
Время чтения: 1 минута
В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
http://tepka.ru/algebra-7/46.html
http://infourok.ru/prezentaciya-po-algebre-na-temu-grafik-lineynogo-uravneniya-s-dvumya-peremennimi-klass-794235.html