График линейного уравнения с двумя переменными алгоритм

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $\frac$;0) и точка на оси Y (0; $\frac$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, $c \neq 0$

x, $y \in \Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа.

Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2

Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10

т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.

Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.

1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Выразить одну переменную через другую:

1) 2х +у = 5 2) 3)

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6

План 1) Выразить переменную у

у =

у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b,

2) Составить таблицу значений х и у

3) Построить график

2. Частные случаи построения графика ax + by = c

у =

x =

х = 2

Графика не существует

График – вся координатная плоскость

Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.

Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.

Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.

Если х=7, у=5, то , , верно,

т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.

Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.

2. Выразить переменную у во втором уравнении.

3. В одной системе построить графики данных функций.

4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Пример:

1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6

Разработка урока по теме «График линейного уравнения с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

муниципального образования «Городской округ Ногликский»

муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

План урока алгебры

в 7 классе по теме

«График линейного уравнения

с двумя переменными»

Агиенко Татьяна Ивановна ,

Авторы учебника Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворов.

Тема урока: «График линейного уравнения с двумя переменными» (2 часа)

-создать условия для повторения определения линейной функции, линейного уравнения с двумя переменными, их графиков в зависимости от значений коэффициентов, формул сокращенного умножения;

-создать условия для закрепления навыков применения определений, алгоритма построения графиков, нахождения ординаты и абсциссы точки, не выполняя построения графика уравнения, нахождения соответствия между заданными графиками и уравнениями;

-создать условия для проверки умений построения графиков линейных уравнений с двумя переменными, нахождения ординаты и абсциссы точки, нахождения соответствия между заданными графиками и уравнениями;

-создать условия для развития логического мышления, внимания, памяти, математически грамотной речи, самостоятельности;

-создать условия для развития познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе, дисциплинированности, воспитанности.

Тип урока: комплексное применение знаний, умений и навыков.

Оборудование: доска, мел, линейки, таблицы, компьютер, проектор, экран, карточки с

заданиями и листы с клетками для самостоятельной работы.

1)Взаимное расположение графиков линейных функций в зависимости от k и b .

2)Расположение графиков линейных уравнений с двумя переменными в зависимости от коэффициентов а, b и с.

3)Алгоритм (правило) построения графика линейного уравнения с двумя переменными.

( Приложения №1 — №7)

а) Проверка готовности учащихся к уроку.

Для того, чтобы хорошо работать на уроке, нужен настрой. А настроиться на работу нам помогут следующие уравнения.

(Приложение №8. Из презентации слайд №1)

«Развитие и образование ни одному человеку

не могут быть даны или сообщены.

Всякий, кто желает к ним приобщиться,

должен достигнуть этого собственной

деятельностью, собственными силами,

Извне он может получить только

(Немецкий физик и математик)

Пусть эти слова будут эпиграфом к сегодняшнему уроку.

(Справка: Эпиграф — изречение, краткая цитата, предпосланная произведению или его части и характеризующая их основную идею.)

Ребята! Как вы думаете, о чем говорят нам эти слова?

Так давайте проявим самостоятельность, трудолюбие, смекалку и терпение при изучении материала сегодняшнего урока. Предлагаю улыбнуться друг другу, чтобы наше настроение на уроке было отличным.

б) Сообщение темы и формулирование цели урока вместе с учащимися.

1) Что из себя представляет график линейного уравнения вида

2) А можно ли сразу сказать, какой фигурой являются графики уравнений

2(х – у) + 3у = 4 и 2(0,5х — 1,2у) – (0,6у + х) = 6?

Значит, кроме закрепления навыков и умений построения графиков уравнений вида

ах + ву = с, над чем еще нам сегодня необходимо поработать?

— выяснить, что из себя представляют графики уравнений

2(х – у) + 3у = 4 и 2(0,5х — 1,2у) – (0,6у + х) = 6;

— научиться строить графики уравнений, заданных в подобном виде.

2.Проверка домашнего задания.

Проверим ваши знания и умения, которые вы применяли при выполнении домашнего задания и которые вам понадобятся сегодня на уроке.

На доске 3 учащихся выполняют номера домашнего задания.

а) Построить график уравнения х + у = 5.

График — прямая линия.

б) Построить график уравнения 3х = у + 4.

Линейное уравнение. График – прямая линия.

№1. Построить график уравнения с двумя переменными:

Линейное уравнение. График – прямая линия.

Известно, что ордината некоторой точки прямой, являющейся графиком уравнения

12х – 5у = 132, равна 0. Найдите абсциссу этой точки.

Точка (х;0) принадлежит графику уравнения 12х -5у=132, значит

Ответ: абсцисса точки равна 11.

3.Актуализация опорных знаний и способов деятельности.

а) Выполняют словарную работу в рабочей тетради, записывая под диктовку учителя следующие понятия:

Линейная функция, график линейной функции, линейное уравнение с двумя переменными, решение уравнения, график линейного уравнения, алгоритм.

б) Устно формулируют определения понятий, использованных в словарной работе и выполняют задания, представленные им в презентации:

1.Решить уравнения с одной переменной.

2.Определение линейной функции.

3.Определение графика линейной функции.

4.Расположение графиков линейных функций в зависимости от коэффициентов k и b .

5.Подготовка к ГИА. (Задания на применение определения линейной функции и ее графика).

6.Определение линейного уравнения с двумя переменными.

7.Определение решения линейного уравнения с двумя переменными.

8.Выбрать пару значений переменных, являющуюся решением линейного уравнения с двумя переменными.

9.Определение графика линейного уравнения с двумя переменными.

10.Алгоритм (правило) построения графика линейного уравнения с двумя переменными.

11.Расположение графиков линейных уравнений с двумя переменными в зависимости от коэффициентов а, в и с.

12.Формулы сокращенного умножения.

(Приложение №.8, слайды №2 — №18).

4.Применение знаний, умений и навыков.

«Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы уж много лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет!»

А теперь давайте выясним, что из себя представляют графики уравнений, данных в №1.

№1. Построить графики уравнений с двумя переменными:

б) 2(0,5х — 1,2у) – (0,6у + х) = 6.

У доски работают 3 учащихся, остальные – в тетрадях.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Получили линейное уравнение. Значит его графиком является прямая линия.

Выразим переменную у через х, получим у = 4 – 3х.

Начертим таблицу и найдем координаты двух точек этой прямой.

Аналочично выясним, что из себя представляет график уравнения

2(0,5х — 1,2у) – (0,6у + х) = 6.

б) 2(0,5х — 1,2у) – (0,6у + х) = 6

х – 2,4у – 0,6у – х = 6

Также получили линейное уравнение.

График – прямая линия, параллельная оси х и проходящая через точку (0;-2)

.

Молодцы! Верно говорится в пословице: «Ум без догадки гроша не стоит»

Кроме выполнения построения графиков уравнений необходимо уметь устанавливать соответствие между заданными уравнениями и графиками.

(Приложение №8, слайды №19 и № 20)

Любой новый материал невозможно изучить и понять без материала, изученного ранее. Чтобы не забывать прошлый материал, его необходимо периодически повторять. Об этом нам говорит пословица:

Повторение – мать учения!

Формулы всюду – в космосе, в небе,

К Северу, в Африку с ними плыви.

Даже в кино есть такое названье,

Как в алгебре, помните?

В физике, химии – формулы,

Нам их не сосчитать.

Алгебра нам поможет

Надо уметь составить!

Надо уметь доказать!

Надо ее использовать,

Ну а короче, — знать!

(Советский журналист и писатель)

Давайте повторим формулы сокращенного умножения и убедимся в очередной раз, как они помогают сократить объем вычислений при нахождении значений выражений с переменными .

(В приложении №8, слайд №21)

Найдите значение выражения:

6.Подведение итогов работы.

Итак, повторим еще раз:

1)Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными.

2)Как найти ординату (абсциссу) точки прямой, являющейся графиком линейного уравнения с двумя переменными, если известна абсцисса (ордината), не выполняя построения графика.

3)А теперь ребята, я предлагаю вам сделать анализ своей работы на уроке. Для этого ответьте на вопросы:

Какую цель мы ставили для себя в начале урока?

Достигли ли вы этой цели?

Какие трудности возникали на уроке?

Оцените работу друг друга и свою.

4)Выставление оценок учащимся за работу на уроке.

Любые знания и умения, для их прочности, необходимо обязательно закреплять!

Поэтому, запишите домашнее задание:

Параграф 15, пункты 40; 41. №1050(г), 1055(б), №1151(в).

Решения заданий домашней работы аналогичны решениям заданий классной работы.

8.Проверочная самостоятельная работа.

А теперь выполните самостоятельную работу, чтобы узнать, насколько прочно вы усвоили материал и над чем вам еще необходимо поработать.