График линейного уравнения с двумя переменными задачи

График линейного уравнения с двумя переменными
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

План — конспект урока с презентацией. Урок формирования умений и навыков

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Саратовский институт повышения квалификации

и переподготовки работников образования

Кафедра математического образования

График линейного уравнения

с двумя переменными

слушателя курсов повышения квалификации

по ДПОП «Школьное математическое образование: организационные,

содержательные и методические аспекты развития»

учителя математики МОУ «СОШ с. Брыковка

Духовницкого района Саратовской области»

Шабановой Татьяны Александровны

Модель урока математики.

Учебный план 5 часов в неделю

Тема: График линейного уравнения с двумя переменными.

УМК: алгебра 7 класс, под редакцией С.А. Теляковского

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Характеристика класса: в классе 5 обучающихся, из них учебный настрой, мотивация на учебную деятельность, интерес к предмету прослеживается у всех обучающихся.

Успеваемость и качество знаний — 100%.

Цели урока : выработать у обучающихся умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные;

развивать познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление; воспитание познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе.

Этапы урока и их содержание

I. Организационный этап.

Проверка готовности обучающихся к уроку (наличие учебных принадлежностей)

Обучающиеся проверяют свою готовность к уроку.

Записывают число в тетрадях.

II. Постановка цели

Сообщает цель урока

III. Проверка домашнего задания

Проверка домашнего задания, используя слайды презентации.

Сообщают о выполнении домашнего задания. Проверяют правильность его выполнения.

IV. Выполнение упражнений

Демонстрирует слайды с заданиями, задает вопросы. Оказывает помощь при необходимости. Оценивает качество и правильность выполнения решения. Следит за речью обучающихся.

Выполняют решение на доске с подробным объяснением. Записывают в тетрадь, отвечают на вопросы учителя.

V. Контроль сформированности умений и навыков

Инструктаж по выполнению работы.

С помощью мультимедийного проектора осуществляет проверку.

Выполняют задания самостоятельной работы.

Выполняют проверку с экрана.

VI. Домашнее задание

Сообщает домашнее задание. Отвечает на вопросы обучающихся.

Изучают содержание домашнего задания, задают вопросы по его выполнению. Записывают его в дневники.

VII. Подведение итогов урока

Предлагает сделать анализ своей работы на уроке. Задает вопросы.

Обсуждают свою работу на уроке, высказывают свое мнение о своих достижениях на уроке.

Здравствуйте, ребята! Я предлагаю всем улыбнуться друг другу, чтобы наше настроение на уроке было отличным. Садитесь. Откройте тетради и запишите число и классную работу.

Сегодня на уроке мы будем строить графики линейного уравнения с двумя переменными,

решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные.

Постарайтесь быть настойчивыми и целеустремленными при выполнении заданий.

1. Проверка домашнего задания .

Разбор нерешенных заданий (если они имеются).

1045(б,в) точки В и С не принадлежат графику уравнения.

1048 (б,д,е) (слайд 2, 3,4)

1) Из предложенных уравнений выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

Дополнительный вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным?

Ответ: ах + ву + с = 0

2) Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 2х + 5у = 12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

Дополнительный вопрос: Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

3) Найдите абсциссу точки Р(х; -2), принадлежащей графику уравнения 12х – 9у = 30.

Дополнительный вопрос: Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Работа у доски и в тетрадях.

1) Постройте график функции 3х + у – 7 = 0.

(1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

Ответ обучающегося: выясним, что представляет собой график данного уравнения. Выразим переменную у через х: у = — 3х + 7. Формулой у = — 3х + 7 задается линейная функция, графиком которой является прямая. Так как уравнения 3х + у – 7 = 0 и

у = — 3х + 7 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х + у – 7 = 0. прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух точек прямой: если х = 0, то у = 7; если х = 2, то у = 1. Отметим точки (0;7) и (2;1) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая и есть график функции 3х + у – 7 = 0.

2) Постройте график функции 2х – 5у + 1 = 0.

Ответ обучающегося аналогичен предыдущему.

3) Найдите значение коэффициентов а и с в уравнении ах – 3у +с = 0, если известно, что

каждая из пар чисел (-3;0) и (0;2) является решением уравнения.

(1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

Ответ обучающегося: Если пары чисел являются решением уравнения, то они обращают

это уравнение в верное равенство. Следовательно а(-3) — 3·0 + с = 0 и а·0 — 3·2 + с = 0

решим данные уравнения

-3а + с =0 -6 + с = 0

а = 2 Ответ: а = 2, с = 6.

4) Решение задачи с помощью математической модели.

Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

(задачу решает у доски обучающийся с необходимыми комментариями учителя)
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х.

Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде:
5х-2у = 0. (1)
Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на своем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зx яблонь. Петров увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у= 16.

Перепишем это уравнение в виде
3x + 2у — 16 = 0. (2)
Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными х и у — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку:

Второй этап. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Для этого построим прямую (1), затем прямую (2) и найдем точку пересечения этих прямых.

1) строим график уравнения 5х — 2у = 0. Если х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 0) и (2; 5) прямую I.

2) строим график уравнения Зx + 2у — 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 8) и (2; 5) прямую II.
3) прямые 1 и 2 пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у?

Ответ: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.

(с последующей проверкой слайд 9, проверка 10-14 )

1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у — 1 =0?

2. Постройте график функции 2х + у = 4.

3. Найдите точку пересечения двух прямых х – у =1 и х + 3у = 9.

1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у — 1 =0?
2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.
3. Найдите точку пересечения двух прямых х – 2у = 6 и 3х + 2у = -6.

№1049 (а,б) построить графики уравнения аналогично заданиям на уроке.

№ 1051 (для решения задания нужно выразить переменную у через х и найти ее значение.)

Решить задачу, составив математическую модель, выделив три этапа.

Разность двух чисел равна 3, а уменьшаемое больше вычитаемого в 4 раза. Найдите эти числа.

Ребята, я предлагаю вам сделать анализ своей работы на уроке. Для этого ответьте на вопросы:

Какую цель мы ставили для себя в начале урока?

График линейного уравнения с двумя переменными

Просмотр содержимого документа
«График линейного уравнения с двумя переменными»

Технологическая карта урока

Тема: График линейного уравнения с двумя переменными

УМК: Учебник («Алгебра» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. / Под ред. Теляковского С.А.)

Триединая дидактическая цель:

-цель обучения: формирование понятия графика линейного уравнения с двумя переменными

— цель развития: формирование у обучающихся мыслительных операций: сравнение, анализа, синтеза, обобщение, конкретизации, классификации, аналогии

— цель воспитания: формирование у учащихся положительных мотивов учебной деятельности, привитие познавательного интереса, потребности в расширении и приобретении знаний

Тип урока: урок по формированию понятия

— формирование действия распознавания понятия;

4. Применение понятия к решению задач;

Этапы формирования понятия формулы сокращенного выражения

Цель: актуализировать опорные знания линейного уравнения с двумя переменными

Прием: фронтальный опрос, практическая работа

Развитие познавательных УУД

Учитель: Сегодня вам предстоит открыть новые знания. Прежде чем совершить открытие, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, все ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места.

1.Укажите линейные уравнения с двумя переменными

д) ;

е)

2. Выберите точку, которая принадлежи графику уравнения:

3.Вместо точек поставьте числа так, чтобы полученная пара чисел являлась решением уравнения:

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax +by = c? где x и y – переменные, a, b и с – некоторые числа. Следовательно линейным уравнения с двумя переменными будет являться :

а) 4х + 3у = 6 – уравнение вида ax +by = c?

г) 8х = — 4– уравнение вида ax +by = c?

а = 8, b = 0, с = — 4.

Выбирают точку, которая принадлежала бы данному графику:

А (- 2; 6,5) х = (-2), у = 6,5

3 (-2) + 2 6,5 = — 6 + 13 = 7

Точка А принадлежит;

В ( — 1; 4) х = (-1), у = 4

3 (-1) + 2 4 = — 3 + 8 = 5

Точка В не принадлежит

3 1 + 2 2 = 3 + 4 = 7

Точка С принадлежит

3.Если х = 4, то можно выразить и у

4 + 2у = 8 отсюда у = 2

анализ эмоционального состояния;

анализ опорных знаний и умений;

умение структурировать знания;

умение осознанного и произвольного построения речевых высказываний в устной форме

умение структурировать знания;

построение логической цепи рассуждений

осознанное и произвольное построение речевого высказывания в письменной форме;

выбор наиболее эффективных способов решения задач;

контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

анализ объектов с целью выделения признаков;

построение логической цепи рассуждений;

выбор оснований и критериев для сравнения;

понимать информацию в схематичной форме.

2. Мотивационный этап

Цель: заинтересовать учащихся в изучении понятия «график линейного уравнения с двумя переменными»

Метод: объяснительно – иллюстративный

Вид мотивации: создание затруднения, свидетельствующей о недостатке знаний учащихся

Учитель предлагает построить графики в одной системе координат

У учащихся возникли затруднения. Потому что не умеют строить график линейного уравнения с двумя переменными

Устанавливать причинно – следственные связи, делать выводы

Метод: частично – поисковый, репродуктивный

Прием: беседа, работа в тетрадях, самостоятельная работа, объяснение

Как вы думаете, как мы будем строить график этих уравнений?

Возьмем и выразим переменную у через

Формулой у = 4 –х задается линейная функция, графиком которой служит прямая.

Уравнение 2х + 2у = 8 и у = 4 – х равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 2х + 2у = 8.

Сколькими точками определяется прямая.

Найдем координаты двух, каких либо точек прямой.

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, например, уравнение 4х + 0у = 16. Его решениями служат все пары чисел (х; у) в которых х = 4, а у – любое число.

Рассмотрим еще один график функции, например уравнение 0х – 5у = 15. Строим самостоятельно, делаем выводы.

Высказывают свое мнение

Выражают переменную у через х

2х + 2у = 8 и у = 4 – х

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

у

0 1 4 х

Строят график 4х + 0у = 16

у

0 4 х

— 3

Если в линейном уравнении коэффициент при х равен нулю, а коэффициент у отличен от нуля, то графиком такого уравнения тоже будет прямая из всех точек ординат которых равна (-3), а абсцисса произвольному числу и параллельно оси х.

выделение необходимой информации;

умение строить логические цепи рассуждений;

выбор наиболее эффективного способа решения задач;

умение выполнять учебно- познавательные действия в материализованной и умственной форме;

умение строить логические цепи рассуждений;

выбор наиболее эффективного способа решения задач;

понимать информацию в изобразительной и схематичной форме;

умение структурировать знания; умение выбирать эффективные способы решения задач;

умение осознанного и произвольного построения речевого высказывания в устной и письменной форме;

умение извлекать нужную информацию;

самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем поискового характера

умение представлять информацию в развернутом виде;

умение обобщать факты

— формирования действия распознавания

Метод: частично –поисковый

Прием: беседа, объяснение, работа с учебником

Заполнить таблицу, указать коэффициенты линейного уравнения. Найдите, все ли уравнения являются графиком прямой.

Прочитайте на стр. 179, что будет происходить, если оба коэффициента равны нулю.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая. В уравнениях под в), ж) оба коэффициента равны нулю.

Читают, делают вывод что под в) 0х + 0у = 0 уравнение вида 0х + 0у = с, а при с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вя координатная плоскость.

Уравнение ж) 0у + 0х = 5, уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки. с≠ 0, а в данном уравнении с = 5

выделение необходимой информации;

умение строить логические цепи рассуждений;

умение структурировать знания; умение выбирать эффективные способы решения задач;

умение осознанного и произвольного построения речевого высказывания в устной и письменной форме;

умение выбирать наиболее эффективный способ решения задачи;

осознавать познавательную задачу читать и слушать извлекая нужную информацию, находить информацию самостоятельно в учебном материале.

Первоначальное применение понятия

Цель: отработка навыков по построению графика линейного уравнения с двумя переменными

Метод: частично — поисковый

Прием: решение практических задач, беседа, объяснение

Выполняем № 1111. Докажите, что графики уравнений:

Урок алгебры по теме «График уравнения с двумя переменными». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели:

Тип урока: объяснение нового материала

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности (Слайд 1 (cм. презентацию))

Чем больше я знаю,
Тем больше умею.
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает. (Роман Сеф).

Учитель: Посмотрите на слайд. Как вы понимаете эти слова? Как мы можем отнести их к сегодняшнему уроку?

2. Актуализация и пробное учебное действие.

Учитель: Сегодня вам самим предстоит открыть новые знания. Прежде, чем совершать открытие, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, всё ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места.

Каждый этап урока мы будем оценивать в листах контроля (Приложение 1). Они лежат у вас на столах. Если работал хорошо, то +, если были затруднения +-, если ни чего не получалось -.

Какие из приведенных ниже уравнений являются линейными? (Слайд 2)

Ответ: 3х – у = 14 Почему? Обоснуйте.

Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ах + ву = с, где х и у — переменные а, в, с — некоторые числа)

Вместо точек поставьте числа так, чтоб полученная пара чисел являлась решением данного уравнения (Слайд 3)

Что называется решением уравнения с двумя переменными? (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)

Выберите точку, которая принадлежит графику уравнения (Слайд 4):

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

А теперь давайте вспомним построение точек на координатной плоскости (Слайд 5). Запишите буквы которым соответствуют данные координаты.

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

Я предлагаю вам выполнить следующее задание в рабочих тетрадях.

Построите графики функций в одной системе координат (Слайд 6)

Время закончилось, начинаем проверять. (Слайд 7)

Где возникли затруднения?

Почему? (потому что мы не умеем строить такие графики)

А если мы не умеем строить такие графики, то какую поставим перед собой цель?

(Научиться строить график линейного уравнения с двумя неизвестными)

Какова же тема урока? (График линейного уравнения с двумя переменными (Слайд 8))

А кто построил график в задании 4?

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

3. Постановка проблемы

Как вы думаете, как мы будем строить график этого уравнения? (выслушать детей)

Итак, подведём итог: (Слайд 9)

Выразим переменную у через х

Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая.

Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

А теперь построим график уравнения предложенного в №4 на доске (начертить заранее систему координат на доске).

Так что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными? (ответы детей) (Слайд 9)

Составим алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя неизвестными

1. Выразим у через х
2. Выясним, что является графиком данного уравнения
3. Построим график данного уравнения

4. Первичное закрепление

5. Самостоятельная работа с проверкой (Слайд 11 – 14)

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

Рефлексия. Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока (смайлик).

Домашнее задание п.41, № 1046, №1048(в, г)