График по уравнению 6 класс

Урок 48 Бесплатно Графики

Человеком накоплено огромное множество разнообразной информации.

Различают информацию по доступности, по целям использования, по принадлежности к определённой области науки. Информация может быть истиной и ложной, динамической и статической, аналоговой и дискретной и др.

С полученной информацией человек совершает различные действия: передает, запоминает, записывает, сохраняет, преобразует и т.д.

Информация может быть представлена и передана разными способами: в виде текста (совокупности алфавитных, цифровых, специальных символов и знаков), в виде звуков и с помощью видеосигналов, а также графическим способом (схемы, рисунки, диаграммы, чертежи, таблицы, графики).

На этом уроке постараемся разобраться с одним из видов графического способа представления информации — графиком.

Узнаем, что представляют собой графики, определим область их применения.

Научимся читать графики и строить их по заданным значениям.

График и его основные элементы

В современном мире объем информации и научных знаний, которые получает человек, огромен.

Становится все труднее воспринимать и обрабатывать большие потоки информации, так чтобы информация оставалась точной, надежной, понятной и достоверной.

Важно уметь верно выбрать средства и способы передачи, обработки и представления информации.

Как известно, одну и туже информацию можно представить несколькими способами.

Например, дерево можно описать словом в текстовом виде, словом в звуковом варианте или с помощью графического изображения.

Особенно полно и точно представить информацию возможно в виде текста, но чаще всего такой способ представления информации очень объемный, что затрудняет восприятие и усвоение.

Графическое же изображение позволяет нам кратко, качественно и наглядно представить информацию.

С помощью различных видов графического способа представления информации легко устанавливать логические и причинно-следственные связи и отношения.

Необходимо уметь находить и выбирать наиболее выгодный способ обработки и представления информации.

Например, удобно и просто представлять информацию с помощью таблиц, но в тоже время восприятие громоздких и объемных таблиц уже оказывается затруднительным.

Таблица, содержащая большое количество столбцов и строк, даже если информация была подобрана достоверно и качественно, теряет наглядность и привлекательность.

Большой объем информации удобно представлять в виде диаграмм и графиков.

Уроком ранее вы уже познакомились с диаграммами и знаете, что это графический способ представления информации, изображение соотношения и зависимостей между величинами при помощи фигур, площади и размер которых пропорциональны исследуемым величинам.

Преимущества диаграмм, по сравнению с таблицами или текстовой информацией, заключается в наглядности, в возможности сравнивать и анализировать исследуемые величины друг с другом, компактно представлять большой объем информации.

Однако получить информацию с помощью таблицы и диаграммы можно только ту, которая была определена или измерена.

Родители мальчика каждый год с рождения до 7 лет измеряли его рост и заносили данные в таблицу.

Диаграмма изменения роста мальчика будет выглядеть так:

По таблице и диаграмме невозможно определить промежуточные значения.

Трудно определить рост мальчика, например, когда ему было 4 года 3 месяца.

Заносились показания роста один раз в начале каждого года. Понятно, что у мальчика рост менялся не скачками, а с течением времени плавно.

Непрерывность происходящего и исследуемого процесса можно изобразить с помощью графиков.

Такой вид графического изображения также имеет большое иллюстративное значение, доходчиво и понятно позволяет показать динамику изменения данных с течением времени или по упорядоченным категориям данных.

В Большом энциклопедическом словаре дается такое определение графика:

График (от греческого graphikos — начертанный) — это чертеж, применяемый для наглядного изображения зависимости какой-либо величины (например, пути) от другой (например, времени), т.е. это линия, дающая наглядное представление о характере изменения функции.

В толковом словаре Ушакова: график (от греческого graphikos- письменный) — это диаграмма, чертеж, изображающий посредством кривых количественные зависимости различных процессов.

В толковом словаре Ефремовой: график — это диаграмма, чертеж и т.п. изображающие с помощью линий количественные показатели развития, состояния чего-либо.

Обобщая все энциклопедические определения, можно сказать, что график — это линия (прямая, ломаная, кривая), которая наглядно представляет зависимость одной величины от другой.

Чтобы построить график, необходимо изобразить координатную плоскость с прямоугольной системой координат.

Значение независимых величин обычно откладывают на горизонтальной оси (оси Ох— оси абсцисс).

Значение зависимых величин обычно откладывают на вертикальной оси (оси Оу— оси ординат).

Положительные значения величин откладываются обычно вправо и вверх от точки начала отсчета.

При изменении независимой величины зависимая величина меняется каким-либо образом.

Например, с течением времени (время — независимая величина) изменяется температура воздуха (температура — зависимая величина).

Пройденный путь (зависимая величина) зависит от времени (независимая величина).

Таким образом, график показывает, как изменяется значение ординаты при изменении значений абсциссы.

На координатной оси графика наносятся шкалы, характеризующие числовое значение используемых величин.

Шкала — это базовая линия с заданными делениями, от которой начинается отсчет величин.

Интервалы шкалы определяют масштаб графиков по координатным осям.

Цифровые значения располагают под горизонтальной шкалой и левее вертикальной.

Масштаб шкалы — отношение длины шкалы к числу делений, мера перевода числовой величины в графическую.

Масштаб влияет на точность графика, он должен быть простым и понятным.

Размер графика должен соответствовать назначению.

Чем объемней и сложнее график, тем больше его размеры должны быть.

В сложных больших графиках изображают координатную сетку: горизонтальные и вертикальные линии, проведенные через каждое деление шкалы.

Зависимость величин изображается в виде линии, точек (меток) или в виде точек (меток) и линии.

Линию графика зависимости величин (это может быть прямая, кривая, ломаная) называют линией графического образа.

Точки на графике могут иметь различную форму и размер.

Проводить графический образ нужно как можно ближе к полученным точкам.

Если на графике изображают несколько различных зависимостей, то дается пояснение каждой линии вне поля графика.

Сами линии графического образа принято изображать линиями разного начертания или разного цвета.

Графики удобно изображать на миллиметровой бумаге для большей наглядности.

Примерный алгоритм построения графика.

1. Построить координатные оси
2. Установить начальные и конечные значения шкалы
3. Установить интервалы шкалы (масштаб)
4. Если необходимо, построить координатную сетку
5. Построить точки, которые характеризуют исходные данные
6. Построить линию зависимости по отмеченным точкам
7. Выполнить необходимые надписи на графике

Вернемся к таблице изменения роста мальчика, которую мы рассмотрели ранее.

Урок по математике Линейное уравнение с двумя неизвестными и ее график, 6 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок № 1

Тема: Л инейное уравнение с двумя неизвестными и ее график

Цель: сформировать понятия линейного уравнения с двумя переменными

Задачи: 1. ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными; научить узнавать, является пара чисел решением уравнения, составлять линейные уравнения по данному решению

2. развивать математическую речь, критическое мышление.

3. воспитывать поликультурную личность и формировать таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность, осознание общечеловеческих ценностей

Ключевая идея урока: развитие метакогнитивных умений учащихся в процессе интерактивного взаимодействия и осознания достигнутых результатов.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

Тренинг на создание коллаборативной среды «Система координат»

Изображены оси система координат. Учащиеся записывают на против 4 направлений имена одноклассников.

— Oy – поиграть в ладоши

+ Ox – пожмите руку

— Ox – показать язык

Здравствуйте, дорогие ребята. Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить.

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.

-Итак, о чем идет речь в этой сказке?

— Правильно. Запишите в тетрадях число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными». Наша задача: научиться определять линейные уравнения с двумя переменными, составлять их.

— А что такое уравнение?

— Уравнение – это равенство, содержащее переменную.

— Дайте определение корня уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

— Является ли число 7 корнем уравнения 2х – 5 = х + 2?

— Какое уравнение называется линейным уравнением с одной переменной?

Уравнение вида ах=в, где х – переменная, а и в – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Изучение нового материала.

Создание коллабаративной ситуации

Учащиеся разделяются на группы по геометрическим фигурам

Квадрат – Саша, Герман, Ирина — 3

Круг — 3, треугольник – 4, овал – 3, прямоугольник – 4, трапеция – 3

Работа по учебнику в группах по алгоритму

Квадрат – с 342 определение линейного уравнения с двумя неизвестными

Круг – с 342 свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

Треугольник – с 343 задача,

Овал – с 347 и пример 1,

Прямоугольник – с 348 и пример 2,

Трапеция – с 348 и пример 3

В течение 5 минут подготовить краткую информацию, подготовить спикера, который отправиться делиться информацией с другими группами.

Работа спикера 2 минуты.

Работа в группах на развитие поликультурной личности:

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.