График показательной функции показательные уравнения

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^<\frac>=\sqrt[n] \, (k\in Z,\, n\in N);\\ a^ <-x>= \frac<1>; \\ a^x\cdot a^y = a^; \\ \frac=a^; \\ (a^x)^y = a^; \\ a^x\cdot b^x = (ab)^x; \\ \frac=\left(\frac\right)^x.\\ \end> \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 f(x) > a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

Воспользуемся заменой переменной:

Исходное уравнение тогда принимает вид:

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график

Показательная функция — одна из основных функций, изучаемая в школе и в ВУЗе. Познакомимся с основными понятиями и свойствами показательной функции, построим ее график.

• Функцию вида y=a x , где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
• Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
• Область значений показательной функции: E (y)=R₊ — множество всех положительных чисел.
• Показательная функция y=a x возрастает при a>1.
• Показательная функция y=a x убывает при 0.

Справедливы все свойства степенной функции:

• а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
• а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.
• a x∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
• a x:ay=ax-y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
• (ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
• (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
• (a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
• а -х =1/ax
• (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2 x . Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=2 0 =1; Точка А.

x=1, y=2 1 =2; Точка В.

x=2, y=2 2 =4; Точка С.

x=3, y=2 3 =8; Точка D.

x=-1, y=2 -1 = 1 /₂=0,5; Точка K.

x=-2, y=2 -2 = 1 /₄=0,25; Точка M.

x=-3, y=2 -3 = 1 /₈=0,125; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2 x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=( 1 /₂) x . Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½) 0 =1; Точка A.

x=1, y=(½) 1 =½=0,5; Точка B.

x=2, y=(½) 2 =¼=0,25; Точка C.

x=3, y=(½) 3 =1/8=0,125; Точка D.

x=-1, y=(½) -1 =2 1 =2; Точка K.

x=-2, y=(½) -2 =2 2 =4; Точка M.

x=-3, y=(½) -3 =2 3 =8; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=( 1 /₂) x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0 1 /₂) x , y=3 x , y=5 x , y=10 x . Сделать выводы.

График функции у=2 х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R₊).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=а х , тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=( 1 /₂) x , y=( 1 /₃) x , y=( 1 /₅) x , y=( 1 /₁₀) x . Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=( 1 /₂) x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R₊.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0х , тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3 x =4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3 х и у=4-х.

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

2) 0,5 х =х+3.

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5 х

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Найти область значений функции: 1) y=-2 x ; 2) y=( 1 /₃) x +1; 3) y=3 x+1 -5.

1) y=-2 x

Область значений показательной функции y=2 x – все положительные числа, т.е.

0 1 /₃) x 1 , получаем:

0+ 1 1 /₃) x + 1 1 ;

Запишем функцию в виде: у=3 х ∙3-5.

0∙ 3 x ∙ 3 3 ;

0 -5 x ∙3 -5 -5 ;