Урок математики в 7-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»
Разделы: Математика
Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.
1. Организационный момент
Анализ выполнения самостоятельной работы «Квадратичная функция и её график».
2. Актуализация знаний и умений учащихся
Основные определения и понятия темы вспомним, разгадывая кроссворд. (Приложение 1, слайд 2)
- у = кх + в, у = кх, у = х 2 – всё это функции.
- График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
- График квадратичной функции – парабола? Как построить?
- Точка (0,0) – для параболы – вершина.
- Вторая координата точки – ордината.
- В записи у = кх + вх – аргумент.
- х + 5 = 0, х = – 5, что такое – 5? Корень.
- Первая координата точки – абсцисса.
- Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.
Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.
Но разве мы сейчас учимся решать уравнение? Нет, изучаем функции. Наша задача связать два математических понятия – функции и уравнения. Тема сегодняшнего урока – «Графическое решение уравнений».
3. Подготовка к восприятию нового способа действия (Приложение 1, слайд 3)
а) 9 + 13х = 35 + 26х –13х = 26 х = – 2 | б) 3х – 2 = 1 3х = 3 х = 1 | в) 9х 2 + 0,27х = 0 9х(х + 0,03) = 0 9х = 0 х + 0,03 = 0 х = 0 х = –0,03 | г) х 2 – 25 = 0 (х – 5)(х + 5) = 0 х = 5 х = – 5 д) х 2 = х + 2? |
Не подходит ни один из известных способов.
А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратную и линейную. Но, между ними знак равенства.
y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построить оба графика в одной системе координат. (Приложение 1, слайд 5)
Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х.
Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Назовем все этапы. (Приложение 1, слайд 6)
- Уравнение разбиваем на две функции.
- Строим графики в одной системе координат.
- Находим точки пересечения.
- Ответ – только х.
x 2 = –3x
y = х 2 и у = – 3х
Х | 0 | 1 |
У | 0 | – 3 |
Пауза – сказка. Инсценировка с участием двух учениц. (Приложение 1, слайд 8)
“Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры). Парабола говорила: “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”. А Прямая твердила в ответ: “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.
В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке и стали ругаться. Парабола кричит: “Уходи, это моя точка!”. А Прямая в ответ: “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”. Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер. В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать”.
4. Закрепление материала. Самостоятельное решение
Ответ: Нет корней
х 2 + 2х – 3 = 0. Как поступить? Ваше мнение? (Приложение 1, слайд 11)
х 2 = – 2х + 3
у = х 2
у = – 2х +3
– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?
Надо же как все просто…
Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного.
График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
---|
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
х | 0 | 2 | 4 |
y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
График линейного уравнения с двумя переменными
В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.
Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:
Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).
Точки пересечения с осями координат:
График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $\frac
Равенство нулю коэффициентов при переменных:
$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$
График – прямая, параллельная оси Х.
$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$
График – прямая, параллельная оси У.
a = 0, b = 0, $c \neq 0$
x, $y \in \Bbb R$ — любое действительное число.
График – вся координатная плоскость
График – пустое множество.
Взаимное расположение графиков двух уравнений
$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$
http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/linejnoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik/