График решение уравнения с косинус

Решение тригонометрических уравнений графически

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, как правило, значительно отличаются от тех, которые мы рассматривали. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближенных значений корней. Современная математика располагает эффективными методами приближенного решения уравнений. Рассмотрим графический способ решения.

Пусть, например, нужно решить уравнение

На одном и том же рисунке начертим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1 — х

Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения:

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы. При х = 0,5

следовательно, sin х 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень x₀ должен быть меньше, чем 0,6. Теперь уже мы знаем, что x₀ находится в интервале [0,5; 0,6]. Поэтому с точностью до 0,1

С помощью таблиц можно найти приближенное значение x₀ и с точностью до 0,01. Разделим интервал [0,5; 0,6] пополам. В средней точке (x = 0,55) этого интервала

Графики функций у = tg x /₂ и у = 2 — х пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Найдем, например, наименьший положительный корень х₀. Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен 1,2.

Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса (или рассчитаем соответствующие значения в программе «Kалькулятор» или «Excel»). Выпишем значения функций у = tg x /₂ и у = 2 — х в окрестности точки х = 1,2.

Как видно из этой таблицы, при переходе от значения х = 1,2 к значению х = 1,3 разность tg x /₂ — (2 — х) меняет свой знак на противоположный (с — на +). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3. Следовательно, с точностью до 0,1 х₀ ≈ 1,2 (с недостатком) или х₀ ≈ 1,3 (с избытком). Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближенное значение этого корня
с точностью до 0,01. Для этого рассмотрим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3. При х = 1,25

Функция y = cos x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x косинусоидой .
Часть косинусоиды для –π≤x≤π называют волной косинусоиды .
Часть косинусоиды для \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\) называют полуволной или аркой косинусоиды .

Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».

п.2. Свойства функции y=cosx⁡

1. Область определения \(x\in\mathbb\) — множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1\leq cosx\leq 1 $$ Область значений \(y\in[-1;1]\)

3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$

4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2\pi k)=cosx $$

5. Максимальные значения \(y_=1\) достигаются в точках $$ x=2\pi k $$ Минимальные значения \(y_=-1\) достигаются в точках $$ x=\pi+2\pi k $$ Нули функции \(y_<0>=cosx_0=0\) достигаются в точках \(x=\frac\pi2 +\pi k\)

6. Функция возрастает на отрезках $$ -\pi+2\pi k\leq x\leq 2\pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2\pi k\leq x\leq\pi+2\pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:

a) \(\left[\frac\pi6; \frac<3\pi><4>\right]\) $$ y_=cos\left(\frac<3\pi><4>\right)=-\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y_=cos\left(\frac\pi6\right)=\frac<\sqrt<3>> <2>$$ б) \(\left[\frac<5\pi><6>; \frac<5\pi><3>\right]\) $$ y_=cos(\pi)=-1,\ \ y_=cos\left(\frac<5\pi><3>\right)=\frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(cosx=\frac\pi2-x\)

Один корень: \(x=\frac\pi2\)

б) \(cosx-x=1\)
\(cosx=x+1\)

Один корень: x = 0

в) \(cosx-x^2=1\)
\(cosx=x^2+1\)

Один корень: x = 0

г*) \(cosx-x^2+\frac<\pi^2><4>=0\)
\(cosx=x^2-\frac<\pi^2><4>\)
\(y=x^2-\frac<\pi^2><4>\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=0\) (ось OY) и вершиной \(\left(0; -\frac<\pi^2><4>\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: \(x_<1,2>=\pm\frac\pi2\)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=-cosx,\ \ y=2cosx,\ \ y=cosx-2 $$

\(y=-cosx\) – отражение исходной функции \(y=cosx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2cosx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=cosx-2\) — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений \(y\in[-3;-1]\).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=cos2x,\ \ y=cos\frac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
\(y=cosx\) – главная арка косинуса соответствует отрезку \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\)
\(y=cos2x\) — период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок \(-\frac\pi4\leq x\leq\frac\pi4\).
\(y=cos\frac<2>\) — период увеличивается в 2 раза, главная арка растягивается в отрезок \(-\pi \leq x\leq \pi\).

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)