График уравнений содержащих модули 9 класс

Презентация «Графический способ решения уравнений, содержащих знак модуля» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Графический способ решения уравнений, содержащих знак модуля 4 декабря 2013г.

Математический диктант Вариант 1 Может ли быть отрицательным значение суммы 2+|x|? Может ли равняться нулю значение разности 2|x| — |x|? 3. При каких значениях y верно равенство – y = |-y|? 4. Решите уравнение |x — 2| = 5 5. Схематично постройте график функции y = |x| 6. Схематично постройте график функции y = — |x| + 2 7. Схематично постройте график функции y = |x — 2| Вариант 2 Может ли быть отрицательным значение суммы |x| + 6? Может ли равняться нулю значение разности 3|x| — |x|? 3. При каких значениях y верно равенство – y = |y|? 4. Решите уравнение |x — 3| = 4 5. Схематично постройте график функции y = — |x| 6. Схематично постройте график функции y = |x| + 2 7. Схематично постройте график функции y = |x + 2|

Ответы Вариант 1 Нет При x = 0 При y ≤ 0 X = 7, X = -3 Вариант 2 Нет При x = 0 При y ≤ 0 X = 7, X = -1

Ответы 5) Вариант 1 y x 0 y = |x| y = — |x| Вариант 2 y x 0

Ответы 6) Вариант 1 y 2 x 0 y = -|x| + 2 y = |x| + 2 Вариант 2 y 2 x 0

Вариант 1 y x 0 2 Вариант 2 y x -2 0 Ответы 7) y = |x — 2| y = |x+2|

Прочитайте графики функций y 4 0 x y -2 0 x -2 y = |x| + 4 y = |x+2| — 2

Прочитайте графики функций y 1 1 0 x y x 0 -3 y = |x -1| y = -|x| -3

Алгоритмы построения графиков функций вида

Построение графика функции 1. Построить график функции 2.Часть графика, где т.е в верхней полуплоскости, оставить без изменения. 3.Часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс.

Построение графика функции 1.Построить график функции 2. Часть графика при , т.е в правой полуплоскости, оставить без изменения и отобразить симметрично относительно ОУ

Решить уравнение |x-1| = 4 1 способ (аналитический)

2 способ (графический) Решить уравнение |x-1| = 4

Решите графически уравнение: х+1=3х-1.

Решите графически уравнение: |x-2|=2x+1

Решите графически уравнение: |x+1|+ |x-5|=20

Решите графически уравнения: 1) x2- 3 =2|x|. 2) |3x-2|=x+2 Ответы: 1) х1=-3, х2= 3, 2) х1=0, х2= 2

Сколько корней имеет уравнение 2-|х-1|= а Каким должно быть а, чтобы уравнение не имело корней? имело1 корень? имело 2 корня? Если а›2, то корней нет, если а=2, то 1 корень, если а‹2, то 2 корня. у=-|х| у=-|х-1| у= а у=2-|х-1| ?

При каком значении параметра «а» уравнение имеет три корня? Уравнение не имеет корней если: а 2 3 корня ,если: а=2 4 корня, если : 0

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 003 материала в базе

Другие материалы

• 26.02.2016
• 2510
• 9

• 26.02.2016
• 870
• 1

• 26.02.2016
• 957
• 0

• 26.02.2016
• 386
• 0

• 26.02.2016
• 970
• 0

• 26.02.2016
• 3331
• 3

• 26.02.2016
• 14921
• 35

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.02.2016 2070
• PPTX 1.7 мбайт
• 43 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ефимова Наталия Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 8 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 13550
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Урок-лекция по математике по теме «Построение графиков, содержащих модуль»

Разделы: Математика

Цель урока: обобщить и систематизировать материал данной темы.

План лекции (написать на доске)

а) повторить определение модуля
б) геометрическая интерпретация модуля
в) графики простейших функций, содержащих модуль
г) графики уравнений содержащих модули
д) построить графики функций ( самостоятельно)

Ход урока

1. Орг. момент

2. Содержание материала

2а. Повторить определение модуля

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если то на координатной прямой существуют две точки a и -a, равноудаленные от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0.

2б. Использование геометрической интерпретации модуля

Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a| — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 1. Решим уравнение |x – 2| + |x – 3|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [2; 3] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [2; 3].

Ответ: х [2; 3]

Пример 2. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси х.

Ответ: х [2; +)

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

2в Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.

В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение:

алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.

Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

1) f(x)=|x — 1|. Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков (рис.1);

2) f(x)=|x — 1| + |x – 2|. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых (рис.2);

3) f(x)=|x — 1| + |x – 2| + |x – 3|. Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3);

4) f(x)=|x — 1| — |x – 2|. График разности строится аналогично графику суммы, т.е. по точкам 1, 2, 0 и 3 (рис.4).

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

2г Графики уравнений, содержащих модули

Когда в “стандартные” уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения “базовых” фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков уравнений с модулями.

Пример 3. Построим график уравнения y=|x 2 -4|.

Сначала построим параболу y=x 2 -4. Чтобы получить из нее график уравнения y=|x 2 — 4|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси х.

Пример 4. Построим график уравнения y=х 2 -2|x|.

По определению модуля числа, заменим формулу y=х 2 -2|x| двумя, задающими зависимость переменной y от x отдельно для x > 0 и x 0, то y=х 2 -2x;

Строить график будем так:

• построим параболу y=х 2 -2x и обведем ту ее часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси у;
• в той же координатной плоскости построим параболу y=х 2 +2x и обведем ту ее часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси у.

Обведенные части парабол вместе образуют график уравнения y=х 2 -2|x|

Здесь при построении графика удобно использовать сдвиги вдоль осей координат. Будем действовать по следующему плану:

1. Построим “основной” график, т.е. график уравнения y=|х|;
2. Подвинем построенный график на 2 единицы вниз; получится график уравнения y=|х|-2;
3. Часть графика, расположенную ниже оси х, заменим ее “зеркальным отражением”, т.е. заменим ее линией, симметричной относительно оси х; получится график уравнения y=||х|-2|;
4. Сдвинем построенный в п.3 график на 2 единицы вниз; получится график уравнения y=||х|-2|-2;
5. Часть графика, расположенную ниже оси х, отобразим симметрично относительно этой оси; получим график уравнения y=|||х|-2|-2|.

3. Используя вышеизложенные правила построить самостоятельно графики других уравнений, содержащих модули:

(дать выполнить это задание дома)

Построить графики функций:

1)y=|2x + 4|
2) y=|x 2 – 3|
3) y=|x 2 – x – 2|
4) y=
5) y=|x| – 2x
6) y=x 2 +3|x|
7) y=(5–|x|)(|x|+1)
8) y=(5–|x|)(x+1)
9) y=||x|-3|
10) y=|||x|-4|-4|

4. Подвести итог урока:

Подводя итог урока надо нацелить учащихся на то, что это первый шаг для решения уравнений содержащих модуль и параметр. Этот урок можно проводить в 9-м классе, 10-м классе и 11-м классе перед темой: решение уравнений с параметрами.

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую.

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение , получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y» . Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть.

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны!

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x ₁ = 1 и x ₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум , потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « − 1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика:

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль .
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.