График уравнения y tg x

Функция y = tg x, её свойства и график

п.1. Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на вертикальной касательной, проведенной через точку (1;0), отображаются значения тангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется тангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=tgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x тангенцоидой .
Часть тангенцоиды c \(-\frac\pi2\lt x\lt \frac\pi2\) называют главной ветвью тангенцоиды .

п.2. Свойства функции y=tgx⁡

1. Область определения \(x\ne\frac\pi2+\pi k\) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых \(cosx=0\) .

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений \(y\in\mathbb\)

3. Функция нечётная $$ tg(-x)=-tgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ tg(x+\pi k)=tgx $$

5. Функция стремится к \(+\infty\) при приближении слева к точкам \(x=\frac\pi2+\pi k\) .
Приближение к точке a слева записывается как \(x\rightarrow a-0\) $$ \lim_ tgx=+\infty $$ Функция стремится к \(-\infty\) при приближении справа к точкам \(x=\frac\pi2+\pi k\) .
Приближение к точке a справа записывается как \(x\rightarrow a+0\) $$ \lim_ tgx=-\infty $$ Нули функции \(y_<0>=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках \(x=\frac\pi2+\pi k\) , через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами \(\left(-\frac\pi2+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=tgx на заданном промежутке:

a) \(\left[\frac<2\pi><3>; \frac<3\pi><2>\right)\) $$ y_=tg\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\sqrt<3>,\ \ y_=\lim_<2>-0>tgx=+\infty $$ б) \(\left(\frac<\pi><2>; \pi\right]\) $$ y_=\lim_<2>+0>tgx=-\infty,\ \ y_=tg(\pi)=0 $$ в) \(\left[\frac<3\pi><4>; \frac<7\pi><6>\right]\) $$ y_=tg\left(\frac<3\pi><4>\right)=-1,\ \ y_=tg\left(\frac<7\pi><6>\right)=\frac<1><\sqrt<3>> $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) \(tgx=-\sqrt<3>\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<2\pi><3>+\pi k,\ k\in\mathbb\)

б) \(tg\left(x-\frac\pi2\right)=0\)
\(x-\frac\pi2=\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<\pi><2>+\pi k,\ k\in\mathbb\)

в) \(tg(2x)=1\)
\(2x=\frac\pi4+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<\pi><8>+\frac<\pi k><2>,\ k\in\mathbb\)

Пример 3. Определите чётность функции: a) \(y(x)=4tgx+5sinx\)
$$ y(-x)=4tg(-x)+5sin(-x)=-4tgx-5sinx=-(4tgx+5sinx)=-y(x) $$ Функция нечётная.

б) \(y(x)=tgx-2cosx\)
$$ y(-x)=tg(-x)-2cos(-x)=-tgx-2cosx=-(tgx+2cosx)\ne \left[ \begin -y(x)\\ y(x) \end \right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

в) \(y(x)=tg^2x+cos5x\)
$$ y(-x)=tg^2(-x)+cos(-5x)=(-tgx)^2+cos5x=tg^2x+cos5x)=y(x) $$ Функция чётная.

г) \(y(x)=x^2-tgx\)
$$ y(-x)=(-x)^2-tg(-x)=x^2+tgx\ne \left[ \begin -y(x)\\ y(x) \end \right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

Пример 4. Если \(tg(7\pi-x)=\frac34\), то чему равны \(tgx,\ \ ctgx\)?
Т.к. период тангенса равен π, получаем: \begin tg(7\pi-x)=tg(-x)=-tgx=\frac34\Rightarrow tgx=-\frac34\\ ctgx=\frac<1>=-\frac43 \end Ответ: \(-\frac34,\ \ -\frac43\)

Объяснение и обоснование

Напомним, что . Таким образом, областью определения функции y=будут все значения аргумента, при которых , то есть все значения x, kZ. Получаем

Этот результат можно получить и геометрически. Значения тангенса – это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис.91). Поскольку точки Aи B единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса дляx, kZ.

Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все

Значенияx входят в область определения функции y=tgx.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих т

очек на линии тангенсов принимают

все значения до +, поскольку для любого действительного числа

мы можем указать соответствующую точку на оси ординат, а значит, и соответствующую точку на оси тангенсов. Учитывая, что точка О лежит

внутри окружности, а точка вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая имеет с окружностью хотя бы одну общую точку

(на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа

найдется аргумент х, такой, что tan x равен данному действительному числу.

Поэтому область значений функции y= tg x — все действительные числа,

то есть R. Это можно записать так: E (=tgx) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tan x не имеет.

Как было показано в § 13, тангенс — нечетная функция:tg(-x)=tg x, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

Поэтому при построении графика

этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной π,

а потом полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси

Ox на расстоянияkT = πk, где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = tg 0 = 0, то есть график функции y = tg x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x,

при которых tg x, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z.

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точкилинии тангенсов положительна) в І и ІІІ четвертях. Следовательно, tgx > 0 при

а также, учитывая период, при всех

Значения функции тангенс отрицательны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов отрицательна) во ІІ и ІV четвертях. Такимобразом,

Промежутки возрастания и убывания.

Учитывая периодичность функции tgx (период T = π), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной π,

например на промежутке . Если x (рис. 92), то при увеличении аргумента x (x2>x1) ордината соответствующей точки линии

тангенсов увеличивается (то есть tgx2>tgx1). Таким образом, на этом

промежутке функция tgx возрастает. Учитывая периодичность функции

tgx, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график

функции y = tg x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом π),

сначала построим график на любом промежутке длиной π, например на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся также тем, что значение тангенса — это ордината соответствующей точки

линии тангенсов. На рисунке 93 показано построение графика функции

y = tg x на промежутке.

Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом π), повторяем вид

графика на каждом промежутке длиной π (то есть параллельно переносим

график вдоль оси Ох на πk, где k — целое число).

Получаем график, приведенный на рисунке 94, который называется тангенсоидой.

14.4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ctg x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Так как =, то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых sin х ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z. Такимобразом,

D (ctg x): x ≠ πk, k ∈ Z.

Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии

котангенсов (рис. 95).

Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА

и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для x = πk, k ∈ Z. Длядругихзначенийаргументамыможемнайтисоответствующуюточкуна линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения x ≠ πk входят в область определения функции у = ctg х.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от –× до +×, поскольку для любого действительного числа мы можем указать соответствующую точку на оси абсцисс, а значит, и соответствующую точку Qх на оси котангенсов. Учитывая, что точка О лежит внутри окружности, а точка Qх — вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая ОQх имеет с окружностью хотя бы одну общую точку (на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа найдется аргумент х, такой, что сtg x равен данному действительному числу. Таким образом, область значений функции y = ctg x — все действительные числа, то есть R.

Это можно записать так: E (ctgx) = R.Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctgxне имеет.

Как было показано в § 13, котангенс — нечетная функция: ctg (-x) = -ctgx, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наи­меньшим положительным периодом T= : ctg (x+ ) = ctg x, поэтому через промежутки длиной п вид графика функции ctgxповторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oyзначение x= 0. Но ctg0 не существует, значит, график функции y= ctg x не пересекает ось Oy.

На оси Оx значение y= 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых ctgx, то есть абсцисса соответствующей точки линии котанген­сов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D(рис. 95), то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения функции котангенс положительны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов положительна) в I и III четвертях (рис. 96). Тогда ctgx> 0 при всех . Учитывая период, получаем, что ctgx> 0 при всех

Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответ­ствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, та­ким образом, ctgx x₁) аб­сцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть ctgx₂

Функция y = tgx

Что такое функция y = tgx

Тангенсом угла α называют такое число, которое равно отношению синуса угла α к косинусу данного угла, при α ≠ π / 2 + π , k ∈ Z .

Тангенс угла α обозначают, как t g α .

Любое значение х, за исключением x = π / 2 + π , k ∈ Z , взаимно и однозначно соответствует значению у = tg x. Таким образом, будет задана функция у = tg x. Данная функция обладает определенными свойствами, которые являются следствием свойств функций у = sin x и у = cos x.

Перечислим типичные для функции у = tg x свойства:

1. Область определения x ≠ π 2 + π k являются числа из множества действительных, за исключением таких точек, в которых cos x принимает нулевые значения.
2. У функции отсутствуют какие-либо ограничения в нижней и верхней частях. Область значений соответствует y ∈ ℝ .
3. Функция является нечетной t g ( — x ) = — t g x .
4. Функция является периодической, период равен pi; при этом t g ( x + π k ) = t g x .
5. Сближение с левой стороны с точками x = π 2 + π k демонстрирует стремление функции к + ∞ . Сближение с левой стороны с точкой а принято записывать в виде x → a — 0 lim x → π 2 + π k — 0 t g x = + ∞ . Сближение с правой стороны с точками x = π 2 + π k демонстрирует стремление функции — ∞ . Сближение с правой стороны с точкой а принято записывать в виде x → a + 0 lim x → π 2 + π k + 0 t g x = — ∞ . Нулями функции y 0 = 0 являются точки x 0 = π k .
6. Можно наблюдать возрастание функции на всей области определения.
7. Функция разрывается в точках x = π 2 + π k , данные точки пересекают вертикальные асимптоты. На отрезках, разделяющих асимптоты, — π 2 + π k ; π 2 + π k функция не прерывается.

Графическое изображение функции у = tg x можно наблюдать на рисунке выше. Заметим, что график имеет вид совокупности линий, которые симметричны по отношению к точке начала координат, и обладает асимптотами, расположенными вертикально, x = π / 2 + π n , n ∈ Z .
Таблица значений для функции y = tgx

В процессе решения задач часто требуется определить значение функции у = tg x, когда известно значение х, либо наоборот. Тогда пригодится простая таблица:

Как решать уравнение y = tgx

Решением уравнения вида:

x = a r c t g a + π k , k ∈ Z

Например, представим, что:

x = a r c t g a + π k , k ∈ Z

x = a r c t g 2 + π k , k ∈ Z

Алгоритм решения уравнения y = tgx с помощью тригонометрической окружности:

• построение окружности, оси синусов, косинусов, тангенсов;
• перенос на ось тангенсов значения, которому соответствует тангенс по условию;
• построение прямой через центральную точку окружности и точку, расположенную на оси тангенсов;
• определить, чему равна одна из точек на окружности;
• записать ответ с помощью соотношения x = t 0 + π n , n ∈ Z , при t 0 , которое равно значению, найденному на шаге алгоритма.

При решении тригонометрических уравнений пригодятся специальные формулы, объясняющие связь между тригонометрическими функциями.

tg x = sin x cos x

Рассмотрим несколько самых простых тригонометрических тождеств. Известно, что синус и косинус представляют собой обозначение ординаты и абсциссы точки соответственно. Данная точка соответствует на единичной окружности углу α . Если воспользоваться уравнением единичной окружности x 2 + y 2 = 1 ) или теоремой Пифагора, то получим следующее соотношение:

sin 2 α + cos 2 α = 1 .

В итоге получилось записать основное тригонометрическое тождество. Данную формулу можно применять с целью выражения тригонометрических функций, в том числе t g x . При делении данного тождества на квадрат косинуса и синуса соответственно, можно вывести следующие справедливые равенства:

Если вспомнить, что обозначают термины тангенса и котангенса, то получится следующее:

При неизменном аргументе допустимо выражать какую-либо тригонометрическую функцию с помощью другой тригонометрической функции с таким же аргументом. Если 0 x π / 2 , то:

t g x = sin x 1 — sin 2 x

t g x = 1 — cos 2 x cos x

t g x = sec 2 x — 1

t g x = 1 cosec 2 x — 1

Важным соотношением тригонометрических функций, которое пригодится при решении заданий, является:

tg x = sin x cos x = 2 tg x 2 1 — tg 2 x 2 ,

Примеры решения заданий

Найти корни уравнения:

В данном случае решения соответствуют бесконечному множеству:

x = 2 π 3 + π k , k ∈ ℤ

Ответ: x = 2 π 3 + π k , k ∈ ℤ

Найти корни уравнения:

Корни уравнения соответствуют бесконечному множеству:

x = π 2 + π k , k ∈ ℤ

Ответ: x = π 2 + π k , k ∈ ℤ

Требуется решить следующее уравнение:

Решением данного уравнения является бесконечное множество:

x = π 8 + π k 2 , k ∈ ℤ

Ответ: x = π 8 + π k 2 , k ∈ ℤ

Дано уравнение, которое требуется решить:

x 3 — 1 = — π 4 + π k

x 3 = 1 — π 4 + π k

Уравнение обладает бесконечным множеством решений:

x = 3 — 3 π 4 + 3 π k , k ∈ ℤ

Ответ: x = 3 — 3 π 4 + 3 π k , k ∈ ℤ

Дана функция, четность которой необходимо определить:

y ( x ) = 4 t g x + 5 sin x

y ( — x ) = 4 t g ( — x ) + 5 sin ( — x ) = — 4 t g x — 5 sin x = — ( 4 t g x + 5 sin x ) = — y ( x )

Ответ: функция является нечетной.

Имеется функция, четность которой необходимо определить:

y ( x ) = t g x — 2 cos x

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

Нужно определить четность следующей функции:

y ( x ) = t g 2 x + c o s 5 x

y ( — x ) = t g 2 ( — x ) + c o s ( — 5 x ) = ( — t g x ) 2 + c o s 5 x = t g 2 x + c o s 5 x ) = y ( x )

Ответ: данная функция является четной.

Требуется определить, является ли четной данная функция:

y ( x ) = x 2 — t g x

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

Требуется вычислить значения t g x , c t g x при условии, что:

t g ( 7 π — x ) = 3 4

Зная, что период тангенса составляет pi, запишем, что: