График функции квадратного корня, преобразования графиков.
График функции квадратного корня: :
Квадратный корень как элементарная функция.
Квадратный корень – это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется.
Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.
Построение графика функции квадратного корня.
- Заполняем таблицу данных:
х 2. Наносим точки, которые мы получили на координатную плоскость. 3. Соединяем эти точки и получаем график функции квадратного корня: Преобразования графика функции квадратного корня.Определим, какие преобразования функции необходимо сделать для того, чтобы построить графики функций. Определим виды преобразований. Перенос функции по оси OY на 4 ед. вверх. Перенос функции по оси OX на 1 ед. вправо. График приближается к оси OY в 3 раза и сжимается по оси OХ. График отдаляется от оси OX в 2 раза и растягивается по оси OY. График отдаляется от оси OY в 2 раза и растягивается по оси OХ. Симметричное отображение графика относительно оси ОX. Предыдущий график отдаляется от оси OX в 3 раза и растягивается по оси OY. Симметричное отражение графика относительно оси OY, при этом верхняя часть графика I четверти остаётся без изменений, а находящаяся в II четверти график исчезает, симметрично отображаясь относительно оси OX. Зачастую преобразования функций оказываются комбинированными. Например, нужно построить график функции . Это график квадратного корня , который нужно перенести на одну единицу вниз по оси OY и на единицу вправо по оси ОХ и одновременно растянув в 3 раза его по оси OY. Бывает непосредственно перед построением графика функции, нужны предварительные тождественные преобразования либо упрощения функций. Квадратичная функция и ее графикВ этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента. Функция вида , где 0″ title=»a<>0″/> называется квадратичной функцией. В уравнении квадратичной функции: a — старший коэффициент b — второй коэффициент с — свободный член. Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов. График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ. Итак, мы заметили: Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх . Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз . Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции — это точки пересечения графика функции с осью ОХ. Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение . В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение . В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения. И здесь возможны три случая: 1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит как-то так:
2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:
3 . Если 0″ title=»D>0″/>,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ: , Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы. И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY. Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: . То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный. 1. Функция задана формулой . Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 1. Направление ветвей параболы. Так как 0″ title=»a=2>0″/>,ветви параболы направлены вверх. 2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 0″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/> Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: , 3. Координаты вершины параболы: 4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы. Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить. 1. Найдем координаты вершины параболы. 2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины. Воспользуемся результатами построения графика функции Кррдинаты вершины параболы Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3 Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2 Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид — в этом уравнении — координаты вершины параболы или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент — четное число. Построим для примера график функции . Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число. Выделим в уравнении функции полный квадрат: Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b) Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1) 1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ: (х-2)(х+1)=0, отсюда 2. Координаты вершины параболы: 3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная. Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.Перед вами график квадратичной функции вида . Кликните по чертежу. — сдвига графика функции вдоль оси от значения И.В. Фельдман, репетитор по математике. Функция y = √x. Её свойства и график. Решение задачЭтот видеоурок доступен по абонементуУ вас уже есть абонемент? Войти На сегодняшнем уроке мы повторим определение квадратного корня, свойства функции y = √x и ее график, а затем рассмотрим несколько задач, при решении которых будет использоваться построение графика данной функции. Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции» источники: http://ege-ok.ru/2012/05/21/kvadratichnaya-funktsiya-i-ee-grafik http://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/funktsiya-y-x-eyo-svoystva-i-grafik-reshenie-zadach |