Графики уравнений пересекаются в точке с координатами

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции

Вычтем из первого уравнения второе.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .

6. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

Формула функции имеет вид:

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому

График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда =5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

График функции проходит через точку Это значит, что

формула функции имеет вид: .

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

14. На рисунке изображен график функции .

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .

16. На рисунке изображён график функции

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.

Так как получим:

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

1. Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.
2. Упрощение выражения (приведение подобных величин).
3. Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.
4. Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.
5. Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

1. Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.
2. Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

1. Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
2. Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.
3. Произвести необходимые математические преобразования.
4. Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

1. Разложить на множители.
2. Выделить полный квадрат.
3. Найти дискриминант.
4. По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

1. Уравнение требуется разделить на P.
2. Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
3. Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S 3 -9PSU+27(P 2 )V] / (27P 3 ) и l=[(3PU-S 2 )/(3P 2 )]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.

Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

Пример решения

Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

1. Приравнять уравнения: 2t+7=t-1.
2. Перенести переменные влево, а константы — вправо: 2t-t=-1-7.
3. Привести подобные коэффициенты: t=-8.
4. Найти координаты второй составляющей: z=-8-1=-9.
5. Искомая точка пересечения: (-8;-9).

В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.