Графики уравнений с двумя переменными второй степени

Методическая разработка урока по алгебре в 9-м классе на тему «Уравнения второй степени с двумя переменными и их графики. Решение систем уравнений второй степени»

Разделы: Математика

ОБОРУДОВАНИЕ.

На столах учащихся карточки с заданиями для самостоятельной работы, для работы в парах, оценочные листы.

На доске : высказывания великих людей о математике ( плакаты ), портреты Диофанта и Ферма, плакат с изображением кривых третьего и четвертого порядков: улитки Паскаля, строфоиды, лемнискаты, декартова листа.

Работа учащихся состоит из этапов. Итоги своей деятельности они фиксируют в оценочных листах, выставляя себе оценку за работу на каждом этапе урока, а также показывают свое эмоциональное состояние.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ. (Приложение №5)

по теме.(самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой в парах )2.Графики уравнений.

Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными.3.Решение систем уравнений алгебраическими методами.4.Исследование систем уравнений.

ФОРМЫ РАБОТЫ НА УРОКЕ:

Фронтальный опрос, работа в парах, индивидуальная самостоятельная работа.

ХОД УРОКА.

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

• Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.
• Рассказывает о том, как будет построен урок.
• Знакомит с требованиями ведения оценочного листа.

2. ПЕРВЫЙ ЭТАП.

Выполните представленные на ней задания.

На работу отводится 5 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку. По истечении времени ученики меняются карточками №1и начинается взаимопроверка. По одному ученику с каждого варианта читают свои ответы. Остальные проверяют и ставят оценку за этот вид работы. Если в ходе взаимопроверки ученик обнаружил, что получил красную карточку при неверных ответах, он эту карточку возвращает учителю.

Обратитесь к своим оценочным листам. Поставьте в них заработанную оценку и изобразите свое эмоциональное состояние с помощью “смайлика” улыбающегося, безразличного или грустного.

3. ВТОРОЙ ЭТАП.

— А сейчас вы будете работать в парах. Возьмите карточку №2: (Приложение №2)

“Проанализируйте уравнения, их графики и заполните таблицу”. В таблице записаны уравнения с двумя переменными, а ниже приведены их графики. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому уравнению его график. Графики обозначены буквами. Тогда в третьем столбце таблицы (если вы все сделаете правильно ) вы прочитаете имя одного из древнегреческих математиков. Так кто же это такой? Каждая пара должна организовать свою работу так, чтобы уложиться в 5 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

— Итак, вы получили имя ДИОФАНТ. Чем же знаменит он? Почему именно его имя я зашифровала в таблице?

Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Что же это за уравнения?

Рассмотрим задачу на старинный сюжет. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Как бы вы предложили решить эту задачу? ( Обсуждение с классом. ) Необходимо ввести две переменные: х – число кроликов, у – число фазанов, тогда получим уравнение 4х + 2у = 18 или 2х + у = 9. Выразим у через х: у = 9 – 2х и далее воспользуемся методом перебора: х = 1, у = 7; х = 2, у = 5; х = 3, у = 3; х = 4, у = 1. Т.о. задача имеет 4 решения.

Подобные уравнения встречаются часто, они — то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода является задача о натуральных решениях уравнения х 2 + у 2 = z 2 . Что напоминает вам это уравнение? Эту задачу называют задачей о пифагоровых тройках.

Какие пифагоровы тройки вам известны? (3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41).

А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте,. Эта задача была найдена в одном из древних рукописных сборников задач в стихах, где жизнь Диофанта описывается в виде алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

— Теперь возьмите карточку №3. ( Приложение №3)

На ней изображены графики некоторых уравнений, а справа записаны системы уравнений. Но в этой системе одного уравнения не хватает. Ваша задача заключается в том, чтобы

1. в систему вписать уравнение линии, изображенной на чертеже
2. дополнить чертеж графиком, уравнение которого уже записано в системе
3. найти решения данной системы графически.

В правом столбце таблицы записаны буквы, а рядом пара чисел. Каждая пара соответствует решению системы . Из полученных букв составьте фамилию великого французского ученого. Работает каждый индивидуально. Время работы 10 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

Итак, какое же имя зашифровано в таблице?

Это имя выдающегося французского математика, жившего в 17 веке ( 1601 – 1665 ) Пьера Ферма. По профессии он был юристом и почти всю жизнь занимал должность советника парламента в городе Тулузе. Свободное от служебных обязанностей время Ферма посвящал математическим исследованиям, которые проложили новые пути почти во всех отраслях математики. Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика древних, в частности “Арифметика” Диофанта. На одной из страниц Диофант решает следующую задачу: “Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом” Задача сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения х 2 + у 2 = z 2 . Мы с вами уже говорили сегодня о таком уравнении. Диофант приводит формулы, по которым легко найти все решения данного уравнения в натуральных числах. На полях этой страницы Пьер Ферма записал: “Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить.”

Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение

х n + y n = z n не имеет целых решений для n > 2.

Это предложение и было названо “Великой, или большой, теоремой Ферма” или “Последней теоремой Ферма”. Ни в произведениях, ни в бумагах или письмах Ферма не осталось следов доказательства, о котором Ферма писал на полях книги, начиная с 18 века предпринимались большие усилия для доказательства этой теоремы. Но доказательства касались лишь частных случаев. В 1907 году даже была объявлена премия в 100 000 немецких марок тому, кто докажет эту теорему для любого натурального n. Тот факт, что теорема Ферма ни могла быть ни доказана, ни опровергнута в течение нескольких веков, поставил перед многими учеными следующий вопрос: обладал ли действительно Ферма правильным доказательством теоремы? Но конец 20 века ознаменовался для математиков настоящей сенсацией: попытки доказать великую теорему Ферма наконец – то увенчались успехом! Летом 1995 г. в одном из ведущих американских журналов – “Анналы математики” — было опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло весь номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства принадлежала 42 – летнему английскому математику Эндрю Уайлсу, профессору Принстонского университета, штурмовавшему” знаменитую проблему почти 10 лет. На последнем этапе к работе подключился Ричард Тейлор, профессор Оксфордского университета.

Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на втором этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

4. ТРЕТИЙ ЭТАП.

Мы с вами стоили графики для уравнений с двумя переменными 1, 2 степени и для простейших уравнений 3 степени. Однако, существуют и могут быть проиллюстрированы графиками уравнения с 2 переменными 3, 4 и выше степеней.

— А теперь возьмите листы со странными надписями “Улитка Паскаля”, “Лемниската”, “Строфоида”, “Декартов лист”. (Приложение №4)

Это названия кривых линий, которые заданы с помощью уравнений третьей и четвертой степени. Их изображения вы видите на плакате. ( На плакате только графики без подписей). А рядом с каждым изображением пары чисел – решения одной из систем уравнений, записанных на ваших карточках. Выполнив задание, вы узнаете, как называется каждая из кривых.

Время работы 10 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

Проверка. Первая система 1 варианта имеет решения: (-6; -9) и ( 8; 5). Эти ответы записаны рядом с кривой, которая называется “Улитка Паскаля”

Вторая система имеет решения (2; 0) и (4; 3). Эти ответы записаны радом с кривой, которая называется строфоида.

Второй вариант. Первая система имеет решения (1; 3) и (-2;0). – Декартов лист

Вторая система имеет решения (2; 3) и — лемниската Бернулли

— Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на третьем этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

5. ЧЕТВЕРТЫЙ ЭТАП.

— На данном этапе урока нам предстоит с вами побывать в роли исследователей. Перед нами стоит задача: выяснить количество решений системы двух уравнений с двумя переменными в зависимости от параметра.

Рассмотрим систему:

— Выясним, при каких значениях а система не имеет решений, имеет одно решение, более одного решения. Рассмотрим два способа: аналитический и графический.

( Учитель объясняет решение, привлекая учеников.)

А теперь попробуйте провести аналогичную исследовательскую работу самостоятельно, выбрав любую из понравившихся вам систем.

(Системы записаны на доске)

— Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на четвертом этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

6. ИТОГ УРОКА.

Итак, сегодня мы с вами

• закрепили знания, умения и навыки по теме “Уравнения с двумя переменными второй степени и их графики. Решение систем уравнений с двумя переменными”.
• познакомились с двумя великими учеными, внесшими огромный вклад в развитие математики.
• приобрели начальные навыки исследовательской деятельности
• Все ваши работы сложите в файл и сдайте. Те ученики, которые получили 3 – 4 карточки получают дополнительные оценки.

Задание на дом:

1. Решить задачу о том, сколько лет прожил Диофант.
2. Провести исследование одной из следующих систем графическим способом.

Алгебра. 9 класс

Рассмотрим уравнение 3x 2 + y = 13.

Это уравнение является уравнением с двумя переменными x и y.

При подстановке вместо переменной x числа 2, а вместо переменной y числа 1 мы получим верное равенство.

Значит, пара чисел 2 и 1 является решением данного уравнения. Эту пару чисел записывают в круглых скобках, причём на первом месте записывают значение переменной x, а на втором – значение переменной y: (2; 1).

Итак, сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.

Если все эти пары чисел представить как координаты точек и изобразить на координатной плоскости, то получится график данного уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Вспомним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Вы также знакомы с графиком уравнения второй степени y = x 2 .

Рассмотрим уравнение (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 .

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке с координатами (а; b) и радиусом r.

Все пары чисел, которые будут являться решением данного уравнения, при изображении их на координатной плоскости будут принадлежать окружности с центром в точке с координатами (1; 2) и радиусом, равным 3.

Степень уравнения

Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.

Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:

• раскрыть скобки,
• освободить уравнение от дробных членов,
• перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
• сделать приведение подобных членов.

После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:

Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.

10 — x = 2 — уравнение первой степени с одним неизвестным;

x 2 + 7x = 16 — уравнение второй степени с одним неизвестным;

x 3 = 8 — уравнение третьей степени с одним неизвестным.

Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.

Для примера возьмём уравнение

Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):

3x 2 y 1 + x 1 y 1 + 25 1 = 0.

Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:

3x 2 y 1 — сумма показателей равна 2 + 1 = 3;

x 1 y 1 — сумма показателей равна 1 + 1 = 2.

Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

2xy — x = 25 — уравнение второй степени с двумя неизвестным,

xy 2 — 2xy + 8y = 0 — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.