Граничные условия дифференциального уравнения второго порядка

Граничные условия дифференциального уравнения второго порядка

4.11.2. Краевые задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид

В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

Основные типы краевых условий, задаваемых на концах промежутка (изменения независимой переменной x ), на котором решается задача, имеют вид:

— условие первого рода

— условие второго рода

— условие третьего рода

На левой и правой границах промежутка могут быть заданы условия одного и того же или разного рода.

Если коэффициенты уравнения и правая часть — непрерывные функции, то краевая задача имеет единственное решение.

Дифференциальное уравнение вида (28) может быть преобразовано в уравнение в так называемой самосопряженной форме:

Для этого умножим обе части уравнения (28) на функцию . С учетом того, что

после умножения уравнение (28) можно записать в виде , т.е. в виде (29), где

4.11.3. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

на интервале с краевыми условиями первого рода:

Если , , то такая краевая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне ( u(x) — температура в точке , — коэффициент теплопроводности). Задача имеет единственное решение, если — кусочно-непрерывные функции.

Введем на отрезке равномерную сетку

и запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (30)-(31) в прогоночном виде

где коэффициенты зависят от значений функций в узлах сетки, а также от шага .

Решение системы уравнений (32), (рассматриваемой вместе с граничными условиями) имеющей трехдиагональную матрицу коэффициентов, может быть найдено методом прогонки. Ранее этот метод описан в связи с построением кубического интерполяционного сплайна.
Формулы метода прогонки также приводятся ниже при рассмотрении вопроса о сходимости разностной схемы.

Выражения для коэффициентов разностной схемы должны обеспечивать аппроксимацию дифференциального уравнения разностной схемой с определенным порядком ее погрешности. Для получения таких выражений запишем разностную схему (32) в виде

где . Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам. Для однородной схемы удобна ее запись с использованием безиндексных обозначений:

Найдем погрешность аппроксимации схемы (34):

Подставляя эти выражения в (35) и группируя члены относительно функии u и ее производных, запишем погрешность аппроксимации в виде:

Условием для того, чтобы схема (34) имела второй порядок аппроксимации, будет выполнение соотношений:

Например, эти условия выполняются при

4.11.4. Сходимость разностной схемы.

Обозначим погрешность разностной схемы в узлах сетки: .

Пользуясь линейностью оператора в уравнении (34) можно установить, что погрешность в узлах сетки удовлетворяет разностной схеме:

где — погрешность аппроксимации.

Выведем оценку для погрешности в узлах сетки. Из формул (36) следует, что

поэтому схема (33) в прогоночном виде (32) запишется следующим образом:

Значения — решение схемы (39) можно найти, используя метод прогонки. Запишем соотношение

с неизвестными коэффициентами . Подставив в (39) соотношение , получим

Таким образом, для получаем рекуррентные формулы:

С учетом того, что соотношение (40) принимает вид

откуда получаем, что . Теперь можно вычислить все значения , , , по формулам (41), а затем спуститься «вниз» по i от N до 1 и найти все значения по формуле (40).

С учетом сделанного выше предположения относительно коэффициентов дифференциального уравнения (30)

, из выражения для коэффициента с следует неравенство:

, с учетом которого из неравенства (42) получаем

Тем самым из (41) следует, что .

Поскольку известно, что , то по индукции мы получаем, во-первых, решение схемы (38) в виде рекуррентных формул (40), (41) и во-вторых, справедливость неравенства

На этом основании из формулы (40) можно получить неравенство:

из которого с учетом, что , получаем неравенство: . Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (41) для , умножив обе ее части на положительную величину :

Поскольку первый множитель справа — это коэффициент , величина которого меньше единицы, то, следовательно,

. На этом основании получаем:

с учетом, что . Наконец, поскольку , можно сделать вывод, что

Таким образом, для погрешности в узлах сетки &nbsp &nbsp можно записать неравенство

Так как , то переходя к нормам, получаем оценку погрешности решения

Такая оценка означает, что разностная схема (33) для краевой задачи (30)-(31) при указанных условиях на коэффициенты имеет второй порядок сходимости.

Прмечание. Здесь использована равномерная векторная норма

4.11.5. Краевые условия 2-го и 3-го рода.

Рассмотрим теперь уравнение (29) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода :

Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (33). Как показано в пункте 4.11.4, схема (33) имеет второй порядок аппроксимации.

Если для апроксимации условий (43) использовать простейшие односторонние двухточечные разностные производные, как в методе Эйлера, то краевые условия для разностной схемы запишутся в виде

Первое из этих условий позволяет, выражая y₀ и сравнивая это выражение с формулой вида (40) для решения y_i при i = 0, найти значения .
Второе из граничных условий вместе с формулой (40) при i = N позволяет определить значение y_N .

Однако использованные выше разностные производные имеют первый порядок погрешности аппроксимации. Чтобы краевые условия не снижали порядок аппроксции разностной схемы (33), необходимо воспользоваться односторонними разностными аппроксимациями производных, имеющими второй порядок по h.
Например, для этих целей подходит разностная производная

где, как обычно, . Действительно, по формулам Тейлора

Аналогично, разностная производная на правой границе имеет вид:

При использовании таких формул разностные аппроксимации краевых условий принимают вид:

В этом случае для разрешения трехточечной схемы (33) также может быть использован метод прогонки.
Уравнение

при i = 1 составляет с краевым условием систему

из которой можно исключить , при этом система преобразуется в уравнение

с некоторыми вполне определенными коэффициентами .

На правом конце отрезка получаем систему

из которой можно найти , а затем и все остальные (по рекуррентным формулам (40)).

10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы су­ществования и единственности решения для уравнения второ­го порядка

Определена задача Коши, когда в точке Х = X0 заданы значения неизвестной функции и ее производной:

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференци­альных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (А, B) рассмотрим Гра­ничные условия наиболее простого вида на концах интервала

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется Первой краевой задачей для уравнения второго по­рядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второ­му условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т. е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), прохо­дящее через точки (X1, Y1), (X2, Y2). Так, для линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка первая краевая зада­ча имеет решение, если определитель системы линейных алгеб­раических уравнений относительно произвольных постоянных C1 и С2

Реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (X) — частное решение не­однородного уравнения, У1(х) и У2(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно опреде­ляет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

Удовлетворяющее краевым условиям

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые усло­вия. Получаем систему линейных уравнений относительно про­извольных постоянных С1 и С2

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен ну­лю, т. е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С2, а затем из первого уравнения — С1:

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>> .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение:
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .

Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные:
;
.

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .

Общее решение исходного уравнения:

;
.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Решаем однородное дифференциальное уравнение:

(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку :

.
Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.

Общее решение исходного уравнения:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 19-06-2017