Граничные условия из уравнений максвелла

Граничные условия из уравнений максвелла

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе [37] :

СГС	СИ
, ,	, ,

где — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, — плотность поверхностныхсвободных токов вдоль границы (то есть не включая связанных токов намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных итп токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

СГС	СИ
, ,	, ,

где — поверхностная плотность свободных зарядов (то есть не включающая в себя связанных зарядов, возникающих на границе среды вследствие диэлектрической поляризации самой среды).

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

,

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

Презентация на тему «СИСТЕМА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД ЛЕКЦИЯ 3 СИСТЕМА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Вывод граничных условий для векторов напряженностей поля 2. Вывод граничных условий для векторов индукций поля 3. Почему уравнения Максвелла имеют ограниченный характер 4. Пределы применимости уравнений Максвелла 5. Закон сохранения энергии электромагнитного поля

Граничные условия для векторов напряженностей поля Граничные условия для напряженности электрического поля получаются из уравнения Максвелла: l1 l2 Условие: толщина переходного слоя мала, граница геометрическая,  l1>>l2 1 1 2 2 (1) Etg En L Вывод: Тангенциальная слагающая напряженности электрического поля остается непрерывной при переходе через границу раздела сред. (2) Etg

Граничные условия для напряженности магнитного поля получаются из уравнения Максвелла: Граничные условия для векторов напряженностей поля (3) l1 l2 1 1 2 2 js – поверхностная плотность тока – кол-во электричества, проходящее за 1 сек через единичный отрезок на поверхности Вывод: При наличии поверхностных токов тангенциальная слагающая напряженности магнитного поля претерпевает разрыв при переходе через границу раздела сред. (4)

Граничные условия для векторов индукций поля Граничные условия для индукции электрического поля получаются из уравнения Максвелла: Условие: толщина переходного слоя мала, граница геометрическая,  S>>Sбок, h0 1 1 2 2 Граничные условия для индукции магнитного поля получаются из уравнения Максвелла: S h (5) (6) (7) (8)

Граничные условия для векторов поля 1. Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля Etg остается непрерывной при переходе через границу раздела сред (2) 2. При наличии поверхностных токов jS тангенциальная слагающая напряженности магнитного поля Htg терпит разрыв непрерывности при переходе через границу раздела сред (4) 3. При наличии поверхностных зарядов S нормальная слагающая индукции электрического поля Dn терпит разрыв непрерывности при переходе через границу раздела сред (6) 4. Нормальная составляющая индукции магнитного поля поля Bn остается непрерывной при переходе через границу раздела сред (8)

Почему уравнения Максвелла имеют ограниченный характер Уравнения Максвелла получены путем усреднения при определенных допущениях о свойствах среды, которые не всегда справедливы. 1. Существуют анизотропные среды, в которых , ,  — величины их характеризующие не являются скалярами, а представляют собой тензоры второго ранга: Di=ijEj, Bi=ijHj . 2. Существуют ферромагнетики и антиферромагнетики — вещества, у которых линейные соотношения между векторами M, B и векторами B, H оказываются невыполнимыми. 3.Существуют сегнетоэлектрики — вещества, у которых зависимость между векторами D, E является нелинейной и неоднозначной. 4. Существуют сверхпроводники — вещества, которые при низких температурах обнаруживают глубокое изменение магнитных свойств: магнитное поле не проникает вглубь сверхпроводника и B=0. Вывод: уравнения связи, а следовательно и уравнения Максвелла в таких средах не выполняются.

Пределы применимости уравнений Максвелла Второе ограничение — при переходя к полям высокой частоты теряет смысл разделение зарядов на свободные и связанные. 1. Для того чтобы можно было проводить усреднение и необходимо, чтобы изменение поля было плавным и происходить на длине волны >>a (0

Электромагнетизм Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Начала теории электромагнитного поля заложил М. Фарадей. Максвелл математически ее завершил.

Одной из самых важных идей, которую предложил Максвелл, стала идея о симметрии во взаимной зависимости электрического и магнитного полей:

Так изменяющееся со временем магнитное поле $(\frac<\partial \vec><\partial t>)$ возбуждает электрическое поле, то следует ждать, что изменяющееся электрическое поле $(\frac<\partial \vec><\partial t>)$ создает магнитное поле.

Открытие тока смещения $(\frac<\partial \vec><\partial t>)$ дало возможность Максвеллу предложить единую теорию электромагнитных явлений. Эта теория дала объяснения разрозненным явлениям электричества и магнетизма, основываясь на единой точке зрения. Она же предсказала новые явления, наличие которых позднее подтвердилось.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Совокупность фундаментальных уравнений электромагнетизма – это уравнения Максвелла в неподвижных средах. В интегральной форме совокупность уравнений Максвелла записывается в виде:

где $\rho$ — плотность сторонних зарядов; $\ vec j$ — плотность токов проводимости.

Уравнения Максвелла в сжатой форме отображают всю систему сведений об электромагнитном поле. Смысл уравнений Максвелла:

• Первые два уравнения показывают, что переменные электрические поля возбуждают электрические поля и наоборот (1, 2).
• Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда — ноль. Отражение отсутствия магнитных зарядов (3).
• Это известная в электростатике теорема Гаусса (4).

Уравнения Максвелла (1) и (2) означают, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые. Изменение с течением времени одного поля ведет к появлению другого. Имеет смысл только совокупность электрического и магнитного полей.

Готовые работы на аналогичную тему

В случае стационарности полей ($\vec E = const$ и $\vec B=const$) уравнения Максвелла создают две группы несвязанных уравнений:

Получается, что электрическое и магнитное поля независимы друг от друга.

Уравнения Максвелла нельзя получить, они являются аксиомами электродинамики. Получены они обобщением экспериментальных данных. Данные постулаты имеют в электромагнетизме такое же значение, как законы Ньютона в механике.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла можно записать в локальном (дифференциальном) виде:

$\mathrm<\nabla >\vec=\rho \, \left( 12 \right)$.

Из уравнений (9)-(12) следует, что электрическое поле возникает в связи с двумя причинами:

• Источником электрического поля служат электрические заряды (сторонние и связанные). Это следует из уравнения (12).
• Поле $\vec E$ возникает всегда, когда изменяется во времени магнитное поле (закон электромагнитной индукции Фарадея).

Те же самые уравнения свидетельствуют о том, что магнитное поле порождают перемещающиеся электрические заряды (токи) или переменные электрические поля, или то и другое одновременно. Это следует из уравнений (10).

Роль уравнений Максвелла в локальном виде:

• в том, что они являются основными законами электромагнитного поля;
• при их решении могут быть найдены сами поля $\vec E$ и $\vec B$.

Уравнения Максвелла в локальной форме вместе с уравнением движения зарядов под действием силы Лоренца:

$\frac>