Гравитационный потенциал и уравнения движения

Теория эфира

Энергия эфира

Энергетические начала. Гравитационный потенциал

В статье рассмотрены свойства гравитационного потенциала и приведены физические эксперименты, подтверждающие их. Определена связь гравитационного потенциала с температурой, электрическим потенциалом и протяженностью. Дано понятие гравитационной температуры. Оценена величина гравитационной температуры над поверхностью Земли и в окрестности одиночного атома. Показано, что наибольшие гравитационные силы действуют не в космологических масштабах, а в микромире, на расстояниях, соизмеримых с размерами атома, где наибольший градиент гравитационной температуры.

Введение

Гравитационный потенциал представляет собой разность плотностей гравитационной среды. Для астрономических тел, создаваемая небесным телом, пониженная плотность гравитационной массы приводит к разности плотностей гравитационной среды и возникновению гравитационного потока. Микроструктуры гравитационной среды также приводят к образованию областей пространства с разной плотностью гравитационной массы и, как следствие, формированию гравитационных потоков. Величина потока определяется производной потенциала от расстояния: j=dф/dr. Максвеллом была предпринята попытка связать проявления электрических и магнитных сил со свойствами среды (эфира). В качестве среды для описания электрических и магнитных сил он взял модель идеальной несжимаемой жидкости и основные соотношения термодинамики. Данный подход позволил ему вывести основные уравнения электромагнитного поля и связать электрические величины (потенциал, электрический ток) с давлением и трубкой тока среды. Выбор аналога среды как идеальной несжимаемой жидкости оказался достаточным для вывода уравнений электромагнитного поля, но недостаточным для анализа физической картины образования электрических и магнитных полей и связи их со средой (эфиром). В результате электромагнитным полям была приписана материальная сущность, а гравитационные поля оказались вне научного анализа.

1. Предпосылки для описания свойств гравитационного потенциала

Рассмотрим предпосылки для описания свойств гравитационного потенциала в окружающем нас физическом пространстве.

Предпосылка первая. По имеющимся на сегодняшний день представлениям любое материальное тело состоит из атомов и элементарных частиц и представляет собой кристаллическую структуру. Исходя из того, что атомы и элементарные частицы представляют собой источники, и что они находятся в гравитационной среде, можно сделать предположение, что область пространства, ограниченная материальным телом, отличается по плотности гравитационной массы от области пространства вне материального тела. Кроме того, материальные тела, состоящие из источников с разной интенсивностью (например, золото и алюминий) будут отличаться друг от друга плотностью гравитационной среды. Различие в плотности гравитационной среды материальных тел с различной интенсивностью источников представляет собой гравитационный потенциал. Точкой отсчета нулевого гравитационного потенциала ф₀=0 для истокового пространства целесообразно выбрать область пространства с максимальной плотностью гравитационной массы ρ₀=max. Тогда гравитационный потенциал любого материального тела будет определяться выражением:

где ф_i гравитационный потенциал материального тела; ρ_i плотность гравитационной среды, заключенной в данном материальном теле и определяемой интенсивностью источников и плотностью их упаковки в данном материальном теле; ρ₀ максимальная плотность гравитационной массы. Предпосылка вторая. Заключается в наличии зависимости между плотностью гравитационной массы, заполняющей материальное тело, и температурой этого тела. Так, для равномерно ускоренного движения атома (источника), как было показано в 1976 году канадским физиком Унру [4], характерно его возбуждение, причем распределение по уровням в результате возбуждения оказывается тепловым и характеризуется температурой

где а — ускорение движения атома относительно инерциальной системы отсчета, k_в — постоянная Больцмана.

Эта температура получила название температуры Унру. Описанный результат имеет общий характер. А именно, оказалось, что любой покоящийся в равномерно ускоренной системе отсчета «детектор» (атом, осциллятор и т.п.) независимо от его внутреннего строения возбуждается, причем так же, как если бы он находился в термостате (или поле теплового излучения) с температурой T_a.

В 1974г английский физик Хокинг показал, что вакуум в гравитационном поле черной дыры неустойчив. Рождение частиц в таком поле приводит к появлению потока излучения от черной дыры. При этом спектр и другие характеристики этого излучения имеют тепловой вид. Температура излучения, измеряемая наблюдателем, находящимся вдали от черной дыры, равна

Параметр х, имеющий размерность ускорения и называемый поверхностной гравитацией черной дыры, связан с массой М черной дыры соотношением х = GM/R_g 2 = c 4 /4GM. (Величина R_g = 2GM/c 2 , называемая гравитационным радиусом, определяет размер черной дыры). Обращает на себя внимание как сам факт появления температуры, так и то, что эта температура формально совпадает с температурой Унру для величины ускорения а=х.

Данные предпосылки указывают на то, что гравитационный потенциал идентичен температуре и представляет собой разность гравитационных температур. Чем больше плотность гравитационной массы, заключенной в материальном теле (чем выше его гравитационная температура), тем меньше температура материального тела.

Предпосылка третья. Заключается в зависимости протяженности микроструктур (источников) и, как следствие, размеров материального тела от плотности гравитационной среды. Как было определено ранее [6], увеличение плотности гравитационной среды приводит к уменьшению протяженности источников и, следовательно, к уменьшению размеров состоящих из них материальных тел. Уменьшение же плотности гравитационной среды приводит к увеличению размеров материальных тел. Так, например, увеличение температуры материального тела приводит к увеличению его протяженности (размеров) из-за уменьшения заключенной в нем плотности гравитационной массы.

2. Определения

Гравитационный потенциал и температура представляют собой одно и то же проявление интенсивностей и плотности упаковки источников. Интенсивность и плотность упаковки источников выражается через плотность материального тела. Чем больше плотность материального тела, тем больше его гравитационный потенциал. Так как гравитационный потенциал проявляется в виде температуры, то для описания его свойств справедливы законы термодинамики.

Однородная область пространства, не содержащая источников, обладает нулевым гравитационным потенциалом и нулевой температурой. Возникновение в такой области источника приводит к возникновению потенциала и температуры источника. Каждому источнику своей интенсивности соответствует своя температура или гравитационный потенциал. Температура источника указывает на величину его гравитационного потенциала. Материальные тела, состоящие из источников разной интенсивности, обладают разной температурой.

В чистом виде идентичность гравитационного потенциала и температуры подтверждается в опыте Брегга [1]. Схема опыта показана на рис.1. Железная проволока диаметром 0,8мм натянута горизонтально,

Рис.1. Схема опыта Брегга.

причем один ее конец С укреплен неподвижно, а другой перекинут через блок В и к нему подвешен груз Р=1кг. Проволоку нагревают током от городской сети. При пропускании тока проволока накаляется и удлиняется, что видно по вращению стрелки S, прикрепленной к блоку. Когда удлинение проволоки прекращается, ток выключают. Проволока начинает охлаждаться и укорачиваться, что можно видеть по движению стрелки S. В это время и накал проволоки становится слабее. В момент превращения γ-железа в α-железо происходит внезапное увеличение объема и проволока испытывает мгновенное удлинение. При этом стрелка S делает резкое движение в обратном направлении и в тот же момент выделяется теплота превращения, вследствии чего накал проволоки на мгновение усиливается. Таким образом изменение плотности гравитационной среды (изменение гравитационного потенциала) эквивалентно изменению температуры.

Электрический потенциал. Описывает поверхность раздела сред разной плотности или разность гравитационных потенциалов.

В отличие от гравитационного потенциала, описывающего объемную характеристику среды, электрический потенциал отражает поверхностную характеристику среды: поверхности раздела сред разной плотности. Данное положение иллюстрируется на основе водяной модели электростатического генератора (генератор Ван-де Граафа) [2]. Работа электростатического генератора может быть воспроизведена с помощью следующей примитивной установки. Емкая капельница, заполненная водой, укрепляется на высоте 70 80 см от демонстрационного стола в устойчивом штативе. От металла штатива капельница тщательно изолируется. Под оттянутым концом капельницы на изолирующей пластине располагается стеклянный стакан емкостью 150 200 см₃. Вода в капельнице медным проводником соединяется с положительным полюсом батареи высокого напряжения, отрицательный полюс источника заземлен. К земле присоединяется также штатив и корпус электроскопа. Вода в стакане соединяется с шариком демонстрационного электроскопа.

Если открыть кран капельницы, то капли воды уносят заряды, полученные ими от источника напряжения и отдают их воде, находящейся в стакане. При этих условиях потенциал воды в стакане будет возрастать по мере натекания в него воды из капельницы. Об этом можно судить по увеличению угла отклонения стрелки электроскопа. Рост потенциала наэлектризованной воды может намного превысить потенциал источника тока. Это связано с тем, что электрический потенциал является поверхностным и располагается только на поверхности капли воды. Так как суммарная площадь капающих водяных капель в итоге превышает площадь поверхности воды, заключенной в стакане, то и результирующий потенциал может намного превысить потенциал источника.

Поверхностные свойства электрического потенциала подтверждаются также в опыте «ртутное сердце»[1]. Изменение поверхностного натяжения жидкости под действием электрического заряда демонстрируется на пульсирующей капле ртути, называемой «ртутным сердцем». Каплю ртути размером 15 20 мм помещают на часовое стекло, на которое налит 10% ный по объему раствор серной кислоты (плотность 1,093). Предварительно в этот раствор вводят двухромокислый калий в количестве 0,05 г на 10 см3 раствора. При соприкосновении с раствором электролита ртуть заряжается, вследствие чего уменьшается ее поверхностное натяжение и капля слегка сплющивается под действием силы тяжести. Далее касаются края капли железной проволокой (толщиной около 1мм). Тогда ртуть, железо и раствор образуют гальваническую цепь, в которой течет ток, разряжающий каплю. В результате этого поверхностное натяжение капли увеличивается и капля несколько стягивается к центру, причем край ее отстает от проволоки и капля заряжается вновь. Тогда она снова сплющивается, прикасается к проволоке и замыкает цепь, после чего движение повторяется. В результате получается постоянная пульсация капли. Из этого опыта следует, что электрический потенциал эквивалентен поверхностному натяжению и его свойства можно описывать по молекулярному натяжению в жидкостях. Так, например, по капиллярным притяжениям и отталкиваниям можно рассмотреть вопрос существования положительных и отрицательных электрических зарядов. За основу рассмотения возьмем следующий опыт [1]. В горизонтальную кювету наливают воду и по ней пускают плавать несколько деревянных шариков диаметром около 5 мм, смоченных водой. Если подтолкнуть тот или иной шарик палочкой, чтобы он приблизился к другому на достаточно близкое расстояние, то шарики притягиваются; они притягиваются также и к краям сосуда. Несколько шариков, притянувшись друг к другу, образуют компактную группу.

То же явление можно наблюдать, если пустить на воду шарики, предварительно покрытые парафином (для этой цели их следует покатать по стеклянной пластинке, на которой расплавлен парафин). Если же приближать парафиновый шарик к деревянному, то наблюдается их взаимное отталкивание.

Этот опыт хорошо также показывать не с шариками, а с плавающими спичками, из которых одни смочены водой, а другие парафинированы. Если две спички сближаются, то они при этом

Рис.2. Иллюстрация притяжения двух однородных шариков, ρ₀

повертываются и располагаются параллельно друг другу. Явления, напоминающие притяжение и отталкивание магнитов, можно осуществить, покрывая парафином только одну половину каждой спички.

Рассмотрим причину притяжения и отталкивания в данном опыте, рис 2. Cлучай отталкивания двух однородных шариков определяется разностью поверхностных натяжений (давлений) свободной поверхности жидкости и поверхности жидкости у поверхности шарика. Плотность поверхности жидкости достаточно удаленной от шарика меньше плотности жидкости у поверхности шарика. Вследствие этого у поверхности шарика создается сила, направленная от поверхности шарика. Величина этой силы определяется разностью давлений в поверхностном слое жидкости. При сближении двух однородных шариков силы векторно суммируются и создают в области соприкосновения шариков зону пониженной плотности. Зона пониженной плотности и создает эффект притяжения двух однородных шаров.

Два разнородных шарика создают разные поверхностные натяжения, но их величина больше величины поверхностного натяжения свободной поверхности жидкости. Шарик, создающий наибольшее поверхностное натяжение, можно представить как источник, создающий область повышенной плотности среды. Поэтому он будет отталкивать любой шарик, создающий меньшую плотность среды. В общем случае источники разной интенсивности, создающие большую плотность среды, будут всегда отталкиваться.

Исходя из рассмотренной аналогии рассмотрим основные опыты по электростатике. Начнем с понятия электризации тел. Явление притяжения легких тел к наэлектризованному трением предмету известно еще с древнейших времен. При этом любое тело испытывает притяжение к наэлектризованному диэлектрику или проводнику. Это явление можно объяснить тем, что любое тело состоит из источников, понижающих плотность окружающей среды. Поэтому вокруг любого тела создается (постоянно существует) пониженная плотность (натяжение) среды. Если взять два однородных тела (с одинаковым потенциалом), то их можно рассматривать как два однородных шарика

Рис.3. Иллюстрация о тталкивания двух одинаковых тел с одинаковым потенциалом , ρ₀>ρ.

в рассмотренной выше аналогии. Отличие будет только в том, что в данном случае плотность окружающей среды будет больше плотности среды у поверхности шариков и вектор силы будет направлен к шарику, рис 3. Если теперь приближать друг к другу два однородных шарика, то сумма векторов сил у приближающихся поверхностей шариков приводит к повышению плотности среды и, как следствие, появляется эффект отталкивания. То есть одноименные заряды отталкиваются. Понятие разноименных зарядов вытекает из опытов по электризации трением. При этом считается, что при электризации трением на одном из тел возникает положительное, на другом отрицательное электричество в том же количестве. Если же предположить, что при трении двух тел происходит перераспределение плотностей среды, в них заключенных, то становится понятным: сколько среды отдало одно тело, столько среды получило другое. Тела с разными зарядами можно представить как источники разной интенсивности, создающие вокруг себя пониженную плотность среды. При этом источник наибольшей интенсивности представляет собой сток и как бы притягивает к себе любой другой источник меньшей интенсивности. Таким образом разноименные заряды притягиваются. Хотя на самом деле ни разноименных, ни одноименных зарядов в том смысле, какой им приписывают, не существует. Отрицательно и положительно заряженных тел нет. Существуют источники различной интенсивности, создающие вокруг себя определенную плотность среды или напряжения в среде, проявляющиеся как электрический потенциал.

3. Связь гравитационного потенциала с температурой, электрическим потенциалом и протяженностью

Предположим, что в области пространства с плотностью гравитационной массы ρ_o, расположен только один источник, создающий плотность гравитационной массы ρ. Тогда гравитационный потенциал источника равен ф=ρ₀-ρ.

Связь между плотностью гравитационной массы, гравитационным потенциалом, температурой, электрическим потенциалом и протяженностью источника рассмотрим на примере эффекта Томсона [3], заключающегося в установлении на концах однородного проводника, имеющего температурный градиент, некоторой разности потенциалов.

Однородному проводнику протяженностью σ_ав присущ определенный гравитационный потенциал ф_ав=ρ₀-ρ, рис.4. Возникновение температурного градиента на участке в приводит к изменению плотности гравитационной массы области в, т.е. к изменению протяженности источников области в и изменению величины гравитационного потенциала. Разность гравитационных потенциалов областей а и в определяет величину электрического потенциала φ_ав=ф_а-ф_в. Электрический потенциал каждой из точек а и в определяется относительно электрического потенциала Земли φ_з. В свою очередь электрический потенциал Земли определяется гравитационным потенциалом Земли φ_з=ф_з-ф_o.

4. Распределение гравитационной температуры

В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона для поля тяготения Земли

на тело единичной массы m₀ действует сила F, величина которой прямо пропорциональна массе Земли M и обратно пропорциональна квадрату расстояния r. Под действием этой силы единичная масса m₀ приобретает ускорение свободного падения g. Возможна другая трактовка всемирного закона тяготения Ньютона: из-за постоянного поглощения атомами Земли гравитационной массы в обьеме Земли

Рис.4. Графическая интерпретация взаимосвязи гравитационного потенциала ф, температуры Т, плотности гравитационной массы r и электрического потенциала φ для эффекта Томсона:
а) отсутствие градиента температур в однородном проводнике не приводит к образованию электрических потенциа лов разных уровней на концах проводника а, в;
б) наличие градиента температур приводит к изменению плотности гравитационной массы области в и, как следствие, к возникновению электрического потенциала φ_ав.

возникает ее недостаток, или уменьшение гравитационной температуры, что приводит к появлению гравитационного потока, движущегося с ускорением g по радиальным прямым к центру Земли, и придающим любой материальной массе ускорение g. Таким образом масса Земли в выражении (5) представляет собой гравитационную температуру Т_ф на поверхности Земли, а ускорение свободного падения

гравитационный поток, обусловленный разностью гравитационных температур вне и на поверхности Земли. Тогда выражение (5) примет вид:

После группировки одноименных выражений получим

Интегрируя правую и левую часть выражения (8),

получим распределение гравитационной температуры Т_ф в области материального тела. По мере удаления от материального тела гравитационная температура растет, и, на бесконечно большом расстоянии, при r стремящемся к бесконечности, приближается к своему максимальному значению Т_фmax=1. В выражении (9) не учтено изменение гравитационной постоянной G и протяженности r от величины гравитационного потенциала. Несмотря на то, что выражение (9) выводилось для оценки распределения гравитационной температуры над поверхностью Земли, оно справедливо для любого материального тела (источника).

Оценим распределение гравитационной температуры над поверхностью Земли. Исходя из выражения (9) величина гравитационного потенциала на поверхности Земли равна:

или, учитывая разложение e -x в ряд,

На расстоянии r=2R_з величина гравитационной температуры составит

или, учитывая разложение e -x в ряд,

Тогда из выражений (10) и (12) оценим величину изменения гравитационной температуры над поверхностью Земли на высоте 2Rз:

Определим размерность гравитационной температуры из выражения (6):

Размерность (м 2 /с 2 ) в физическом представлении описывает явления переноса, а именно массу диффундирующего вещества через поверхность площадью 1м 2 за квадрат времени 1с 2 .

Исходя из выражения (9) произведем расчет распределения гравитационной температуры для ядра одиночного атома, принимая его размеры равными ρ₀=3•10 -15 м и =6,67•10 -11 (H•м 2 /кг 2 ). Данные расчета приведены в таблице. Из анализа таблицы следует, что гравитационная температура на размере радиуса атома (радиус его электронных оболочек составляет порядка 10 5 ρ₀), составляет 0,78Тфmax и резко спадает (практически до нуля) на радиусе размеров ядра атома ρ₀. По аналогии с термодинамикой, резко падает «температура» при приближении к ρ₀. Исходя из этого, можно предположить, что на размере радиуса ядра атома, или еще меньшем, существует область (или точка) с нулевой «гравитационной температурой» «точка вымерзания», в которой происходит «высасывание» окружающей гравитационной массы.

Заключение

Приведенные оценки величин гравитационной температуры над поверхностью Земли и в окрестности одиночного атома показывают, что наибольшее изменение гравитационной температуры происходит в окрестности атома.

Зависимость силы F от приращения гравитационной температуры dТ_ф представим в виде

Из выражения (14) следует, что наибольшие гравитационные силы действуют не в космологических масштабах, как считается до сих пор, а в микромире, на расстояниях, соизмеримых с размерами атома, где наибольший градиент гравитационной температуры.

Литература:

1. Грабовский М.A., Млодзеевский A.Б., Телеснин Р.В., Шаскольская М.П., Яковлев И.А Лекционные демонстрации по физике. под ред. В.И.Ивероновой, изд.2- е, переработанное, Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
2. С.Г.Калашников, Электричество, «Наука», 1970.
3. Электрические измерения неэлектрических величин. Туричин А.М., Новицкий П.В., Левшина Е.С., Изд. 5-е, перераб. и доп., Л., “Энергия”, 1975, 576с.
4. Гинзбург В.Л., Фролов В.П. Вакуум в однородном гравитационном поле и возбуждение равномерно ускоренного детектора // УФН. — 1987. — T153. с.633-674.
5. Фролов В.П. Гравитация, ускорение, кванты. М.: Знание, 1988.- 64с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Физика» N5).
6. В.И.Балабай Энергетические начала. Гравитационное поле. Радиоэлектроника и информатика. 1998. №.2. с. 22-27.

Гравитационный потенциал и уравнения движения

Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения : две любые материальные точки массами m 1 и m 2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:

где — гравитационная постоянная. Из формулы видно, что величина гравитационного взаимодействия не зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие тела, гравитационное взаимодействие существует и в вакууме. На рисунке1.8.1 изображено направление сил гравитационного взаимодействия двух материальных точек.

Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.

В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная

где R — радиус Земли, в месте расположения точки. Выражение (1.8.2.) можно переписать в виде:

где g — имеет смысл ускорения, с которым движутся под действием силы тяжести все материальные тела у поверхности Земли.

Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея , все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с 2 на экваторе до 9,832 м/с 2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падания, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с 2 .

Пусть тело расположено на расстоянии (±h) от поверхности Земли (знак плюс — над поверхностью, знак минус — под поверхностью), тогда сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается, а при приближении к центру Земли — увеличивается:

Вес тела — сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется, когда тело движется с ускорением отличным от ускорения свободного падения (g), т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию:

Вес тела , движущегося с ускорением равен произведению массы тела на геометрическую разность ускорения свободного падения и ускорения тела.

Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:

1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести ( ) в лифте вертикально вниз;

2) космический корабль движется по орбите, при этом его центростремительное ускорение , направлено так же как ускорение силы тяжести вдоль радиуса к центру Земли, и вес всех тел находящихся в корабле равен нулю.

Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.

Гравитационное поле — это особый вид материи, который создается вокруг любого тела обладающего массой, главное свойство гравитационного поля — действовать на тела, обладающие массой. Как и любое поле — гравитационное поле характеризуется с помощью двух физических величин:

1. Напряженность гравитационного поля ( ), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):

Единица измерения напряженности гравитационного поля [g]=м/с 2 .

Линия напряженности гравитационного поля — линия, касательные, к каждой точке которой совпадает с вектором напряженности.

На всякое тело массой m, внесенное в поле, действует сила тяготения или сила тяжести , равная произведению массы тела на напряженность гравитационного поля в месте расположения тела:

Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ( )

2. Потенциал гравитационного поля (φ) — энергетическая характеристика поля, скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:

Единица измерения [φ]=Дж/кг.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:

Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 равна:

Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, образованные точками поля, потенциал которых одинаков. Работа гравитационного поля при движении тела вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Можно дать второе определение потенциала поля тяготения — это работа по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.

1. Напряженность гравитационного поля материальной точки массой (M) прямо пропорциональна массе точки, и убывает по величине обратно пропорционально расстоянию от этой точки (r), направлена вдоль лучей, сходящихся в точке — источнике поля:

2. Потенциал гравитационного поля материальной точки массой (M) — прямо пропорционален массе материальной точки, создающей поле и убывает обратно пропорционально расстоянию от источника поля:

Из формулы (1.8.11) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом, т.е. эквипотенциальные поверхности данного поля — это сферические поверхности.

Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).

Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на расстоянии r от источника гравитационного поля — тела массой (M):

Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

где R — радиус Земли. Так как

, и, учитывая, что h .

Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.

Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна

С другой стороны ,

где dl — элементарное перемещение.

Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.

Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:

На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.

Системы отсчета, движущиеся с ускорением, относительно ИСО — это неинерциальные системы отсчета. В них возникают силы инерции, которые требуют корректировки второго закона Ньютона.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции должны быть такими, чтобы вместе с силами , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение , каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета:

Так как ( — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.

1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета :

Вы испытываете на себе действие силы инерции каждый раз когда автомобиль, в котором вы находитесь, разгоняется — и вас прижимает к спинке сиденья, и наоборот, когда тормозит — вы удаляетесь от спинки сиденья. Система отсчета, связанная с автомобилем движется с ускорением, вы неподвижны в этой системе отсчета и на вас действует сила инерции направленная противоположно ускорению автомобиля.

2. Центробежная сила инерции — сила инерции, действующая на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета:

где ω — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета; — радиус-вектор, характеризующий положение тела относительно оси вращения системы; центробежная сила направлена вдоль радиус-вектора в сторону от оси вращения системы.

Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

3. Сила Кориолиса — сила инерции, действующая на тело, поступательно движущееся со скоростью , во вращающейся с угловой скоростью системе отсчета:

равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.

Пусть шарик массой m движется с постоянной скорость ν вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (рис.1.8.3). Если диск не вращается, то шарик движется вдоль радиуса и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ, причем его скорость ν относительно диска изменяет свое направление. Это возможно, если на шарик действует сила перпендикулярная скорости ν — это и есть сила Кориолиса.

Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса .

Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.

При некоторых условиях силы тяготения и силы инерции невозможно различить. Например, представьте себе груз, подвешенный на пружине в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести — на груз действует сила тяжести и он растягивает пружину.

Пусть лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он не испытывает гравитационных воздействий. Пусть кто-то тянет за трос лифта, сообщая ему постоянное ускорение ( ). Гравитационного поля в лифте нет, но зато есть сила инерции ( ). Груз, подвешенный на пружине растянет ее, как если бы он обладал весом .

Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.

Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.

Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Гравитационный потенциал и уравнения движения

Потенциалом называется работа, которую нужно совершить, которую нужно совершить, чтобы переместить данную материальную точку с массой, равной единице, из заданной точки в бесконечность. Пусть есть вектор-сила, приложенная к материальной точке, — радиус-вектор этой точки. Тогда потенциалом будет величина

Введем понятие силовой функции . По определению частная производная силовой функции вдоль любого направления равна компоненте силы вдоль этого направления. Отсюда следует, что .

Таким образом, подынтегральное выражение в формуле (3.1) есть не что иное, как полный дифференциал силовой функции, поэтому

Силовую функцию на бесконечности можно приравнять нулю, поэтому будем считать, что потенциал и силовая функция отличаются лишь знаком.

В гравиметрии , как разделе геофизики, традиционно не разделяют эти два понятия, и под термином гравитационный потенциал обычно понимают силовую функцию. В нашем курсе мы также будем придерживаться этих традиций.

Согласно закону Ньютона, две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Выберем систему координат так, чтобы одна из материальных точек оказалась в начале этой системы. Тогда другая материальная точка будет иметь радиус-вектор . Вектор напряженности гравитационного поля в точке с радиус-вектором равен силе, которая действует на материальную точку с массой, равной единице. Вектор этой силы можно изобразить следующим образом , где — гравитационная постоянная. Проекции этой силы на оси декартовой системы координат будут равны , , . Абсолютная величина этого вектора, равна

Заметим, что размерность напряженности поля тяготения совпадает с размерностью ускорения, поэтому часто вместо силы притяжения единицы массы, или удельной силы притяжения говорят об ускорении силы притяжения , хотя, может быть, в этом словосочетании можно усмотреть и смысловую нелепицу.

Формулу (3.2) еще называют как закон обратных квадратов. Весь опыт небесной механики говорит о том, что в масштабах Солнечной системы он работает очень хорошо: не найдено каких либо подозрений, что его нужно подправлять. Лабораторные эксперименты по определению гравитационной постоянной G дали повод подозревать, что этот закон не абсолютно строг. Хотя причиной несоответствия теории и практики вполне могли быть и неизвестные систематические погрешности. В конце минувшего века наблюдался повышенный интерес к закону обратных квадратов. В разных странах проводились эксперименты и применялись современные самые высокоточные инструменты для обнаружения каких-либо невязок между теорией и практикой. Однако, никаких значимых расхождений не обнаружено.

Нетрудно убедиться, что гравитационный потенциал точки (силовая функция) равен, , где — расстояние между притягивающимися точками (скалярная величина).

Строго говоря, закон обратных квадратов работает только для материальных точек. Однако, физики-теоретики и экспериментаторы доказывают, что для гравитационного поля выполняется принцип суперпозиции : гравитационное поле двух материальных точек (или тел) равно сумме гравитационных полей каждой из этих точек (или тел) по отдельности. Иначе говоря, силы тяготения не экранируются.

Согласно принципа суперпозиции, гравитационный потенциал точек равен сумме гравитационных потенциалов всех точек

Если точек бесконечное число, а массы их бесконечно малы, то имеем дело с интегральной суммой, и нашу формулу следует записать так

где — расстояние между фиксированной точкой и элементом притягивающей массы .

Пусть , , — координаты точки , а , , — координаты текущей точки с массой dm тогда формулу (3.3) можно переписать следующим образом м

Приведенный интеграл берется по всему объему тела, это трехкратный интеграл. Его величина зависит от распределения плотностей внутри тела.
2.6 Землетрясения | Оглавление | 3.2 Свойства потенциала >>