Групповой анализ дифференциальных уравнений хабиров

Групповой анализ дифференциальных уравнений хабиров

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842–1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958–1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]). Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.

К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа. Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания. Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.

Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника. При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И. Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.

При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона — одного из бывших слушателей

Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Заключительные замечания Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана ОПЫТ Предисловие 3 Глава первая . Исходные понятия и алгоритмы 3 Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли Глава вторая . Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу 12 Глава третья . Групповая классификация уравнений второго порядка 21 Глава четвертая . Инвариантные решения 28 Литература 42 Приложение 43

Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла — дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений. Я стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём. Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.

Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов. Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп. Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.

Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.

которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.

1. Э.Л.Айнс . Обыкновенные дифференциальные уравнения . — Харьков: ОНТИ, 1939. — Гл. IV. — С. 127–153.
2. В.А.Байков , Р.К.Газизов , Н.X.Ибрагимов . Приближённые симметрии // Матем. сб. — 1988. — Т. 136. — Вып. 4. — С. 435–450.
3. В.А.Галактионов , В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин , С.П.Курдюмов , А.А.Самарский . Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 28. — С. 95–205.
4. Э.Гурса . Курс математического анализа . — М.—Л.: ГТТИ, 1933. — Т. II. — Ч. II. гл. XIX. — Разд. IV. — С. 92–104.
5. L.E.Dickson . Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. — 1924. — V. 25. — P. 287–378. назад к тексту
6. В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин . Симметрия в решениях уравнений математической физики . — М.: Знание, 1984. — 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988. — С. 123–191.
7. Н.X.Ибрагимов . Группы преобразований в математической физике . — М.: Наука, 1983.— 280 с. назад к тексту
8. S.Lie . Vorlesungen über continuierliche Gruppen . — Leipzig: Teubner, 1893. — 805 c. назад к тексту
9. Л.В.Овсянников .
   1. Групповые свойства дифференциальных уравнений . — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 240 с.
   2. Групповой анализ дифференциальных уравнений . — М.: Наука, 1978. — 400 с. назад к тексту

10. Л.В.Овсянников , Н.X.Ибрагимов . Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. — С. 5–52. назад к тексту
11. Е.М.Полищук . Софус Ли . — Л.: Наука, 1983. — 214 с.
12. Н.Г.Чеботарев . Теория групп Ли . — М.—Л.: ГИТТЛ, 1940. — 396 с.

Добавлю сюда ещё одну книгу — П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М., Мир, 1989), — которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка.

ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, теория симметри й, раздел математики, предметом к‑рого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений. Методы Г.а.д.у. используются в математике (теория дифференц. уравнений, математическая физика, теория групп), теоретич. физике, механике и др.

В Башкортостане Г.а.д.у. развивается с 70‑х гг. 20 в. в БГУ: иссл. задач о классификации интегрируемых ур‑ний привели к возникновению нового направления в Г.а.д.у. — симметрийные методы классификации интегрируемых ур‑ний (А.Б.Шабат); в сер. 80‑х гг. начаты иссл. интегрируемости ур‑ний со связями, получены необходимые условия наличия у них последовательности симметрий, порядки к‑рых стремятся к бесконечности, что позволило классифицировать интегрируемые эволюционные ур‑нияс тремя связями (Ф.Х.Мукминов, С.И.Свинолупов, В.В.Соколов).

В УГАТУ (В.А.Байков, Р.К.Газизов, Н.Х.Ибрагимов) ведутся иссл. по развитию теории приближённых групп преобразований, представляющей собой синтез методов классич. Г.а.д.у. с методами возмущений теории. С нач. 90‑х гг. в Ин-те механики (С.В.Хабиров) на основе методов Г.а.д.у. создана классификация дифференциально-инвариантных и уточнена классификация инвариантных подмоделей; в БГПУ (И.З.Голубчик, Соколов) развивается теория интегрируемых ур‑ний, где применяются группы преобразований и алгебры Ли. В сер. 90‑х гг. в СГПИ в ходе иссл. интегрируемости гиперболич. систем ур‑ний с квадратичной нелинейностью доказано, что таким системам соответствуют Z‑градуированные алгебры Ли; определены условия, при к‑рых гиперболич. система ур‑ний имеет две связанные калибровочным преобразованием иерархии симметрий (А.А.Бормисов, Мукминов). В 2001 в Ин-те математики получен полный список ур‑ний лиувиллевского типа (А.В.Жибер, Соколов), применён симметрийный подход при иссл. граничных задач для нелинейных ур‑ний (И.Т.Хабибуллин).

Лит.: Адлер В.Э., Хабибуллин И.Т., Черданцев И.Ю. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Уфа, 1999.

Групповой анализ дифференциальных уравнений хабиров

Приносим извинения за временные неудобства

—> 19-20.01.2017 в связи с проведением технических работ
возможно снижение скорости работы Электронной библиотеки!

Приносим извинения за временные неудобства

Все документы в Электронной библиотеке защищены авторским правом, все права сохранены.