Груз падает на балку уравнение движения

Пример решения задачи по сопромату — расчет динамической нагрузки(удара)

Ниже приведено условие и решение задачи. Закачка решения в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.

На двутавровую балку с высоты H падает груз F .

1) Определить наибольшие нормальные напряжения в балке ;

2) Вычислить наибольшие напряжения в балке при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой (т.е. осадка от груза 1 кН) равна α ;

3) Сравнить полученные результаты.

Дано : номер двутавра 36 ; L =3 м ; F =11 кН ; α =3 мм/кН ; H = L /5 (высота падения не зад а на, поэтому принимаем самостоятельно).

Балка подвергается поперечному (изгибающему) удару.

Условие прочности балки :

Наибольшее напряжение в балки от статического действия груза :

где M x – максимальный момент в сечении балки (определяется по эпюре) ; W x – момент сопротивления сечения при изгибе, для двутавра № 36 : W x =743 c м 3 (определяется по табл и цам сортамента прокатной стали).

Построим эпюру изгибающих моментов. Определим реакции опор :

Σm C =-R A L+0.8FL=0 , откуда

R A =0.8F=0.8×11=8.8 кН

Σ m A = R C L -0.2 FL =0 , откуда

R C = 0.2 F =0.2×11=2.2 кН

Балка имеет два участка. Обозначим z i расстоя ние от левого (правого) конца балки до н е которого её сечения. Найдём изгибающие моменты в хара к терных сечениях балки.

M A =0 ; M B л =0.2 R A L =0.2×8.8×3=5.28 кН·м ; M B пр =0 .8 R C L =0.8×2.2×3=5.28 кН·м ; M C =0 .

Эпюра изгибающих моментов построена на рисунке, со стороны растянутых волокон.

Тогда, при M x =5.28 кН ∙ м (в сечении B ) наибольшее напряжение в балке от статического действия груза :

= 7.1 ×10 6 Па= 7. 1 МПа

Для определения динамического коэффициента вычислим величину прогиба в точке пр и ложения груза от статического действия его.

Воспользуемся методом начальных параметров. Начало отсчёта абсциссы z примем на опоре A , где y 0 =0 . В точке удара :

EJy B =

Неизвестный начальный параметр ν 0 найдём, составив уравнения для сечения С, где y C =0 :

EJy C =

Откуда : ν 0 =

Тогда, при найденном выражении для ν 0 , получим :

EJy B =

EJy B =

Откуда y B = =- 9.5 ×10 — 5 м =-0 .0 95 мм

где Е= 2×10 11 Па – модуль упругости ; J = J x = 1338 0 см 4 – момент инерции (по таблице со р тамента прокатной стали).

Находим динамический коэффициент :

k d = = 113 .4

Находим динамическое напряжение :

МПа

Находим прогиб от динамического действия груза F в точке удара :

y d =k d y st =k d y B = 113 .4×0.0 95 = 10 . 8 мм.

Вычислим наибольшее напряжение в балке при условии, что правая опора заменена пр у жиной.

В случае опирания правого конца балки на пружину при действии на балку статической силы F пружина под влиянием опорной реакции R C =2.2 кН, укоротится на длину a = R C α =

=2.2×3=6.6 мм. Правый конец балки при этом опустится на величину a , а сечение B балки – на величину y B ст =0 .2 a =0.2×6.6=1.32 мм.

Полное вертикальное перемещение от статического действия силы F в сечении под силой (в сечении B ) равно сумме величин прогиба, найденной при расчёте балки без пружины, и перемещения, вызванного сжатием пружины, т.е. :

Δ ст = y B +y B ст =0 . 095 +1.32=1.415 мм.

Находим динамический коэффициент :

k d = = 30.1

Находим динамическое напряжение :

МПа

Находим прогиб от динамического действия груза F в точке удара :

y d = k d y st = k d Δ ст = 30 . 1 × 1 . 415 = 42 . 6 мм.

Таким образом, установка пружины под правым концом балки уменьшила динамические напряжения в 805 .14/213.71=3.8 раза.

Имя файла: sopr3.doc

Размер файла: 474.5 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Задачи на динамические нагрузки

Расчет на ударную нагрузку

На двутавровую балку (№ 20)длиной l=9м, свободно лежащую на двух жестких опорах , с высоты h=5 см падает груз Q=1200Н.

Требуется: найти наибольшее нормальное напряжение в балке и определить прогиб балки в месте падения груза.

1) Рассчитываем балку на действие статической нагрузки. Прикладываем силу Q и строим эпюру изгибающих моментов М_F. Для этого определяем реакции:

Максимальный момент будет равен:

2) В место падения груза прикладываем единичную силу и строим единичную эпюру (эпюру моментов от единичной нагрузки).

Максимальный момент будет равен:

3) Определяем максимальный прогиб балки в месте падения груза при статическом действии нагрузки по любому изученному методу определения перемещений. Например, по правилу Верещагина:

4) Определяем динамический коэффициент:

5) Наибольшее нормальное напряжение в балке при ударе

6) Наибольший прогиб при ударе:

Расчет на изгибающий удар

Консольная балка из двутавра №22 подверглась удару при падении груза F=10кН в сечении С. Высота падения Н=2см.

Найти прогиб свободного конца балки.

Здесь придется дважды определить прогибы от статического действия силы веса падающего груза: прогиб в точке С для определения динамического коэффициентаи прогиб конца консоли для ответа на поставленный в задаче вопрос:

«Перемножением» эпюр находим:

Динамический коэффициент при ударе

Тогда динамический прогиб конца консоли будет:

Расчет на продольный удар

Пусть груз F=10кН падает с высоты H=10см на двутавровую стойку длиной ℓ=4м.

Определить:

1) максимальное нормальное напряжение

2) наибольшее укорочение стойки при ударе.

Считать, что стойка не теряет устойчивости.

Решение.

Расчетными формулами при ударе являются:

где динамический коэффициент при ударе

— эти параметры соответствуют статическому способу приложения силы веса падающего груза, то есть:

Колебания систем с одной степенью свободы

На двутавровой балке установлен электродвигатель весом G=5кН, при работе которого из-за дисбаланса вращающихся частей возникает вертикальная центробежная сила при скорости вращения n=300 об/мин.

Определить наибольшие нормальные напряжения и прогиб.

Решение:

Балка находится под действием двух нагрузок: под действием статической нагрузки – веса двигателя G и под действием динамической (вибрационной) нагрузки F. Поэтому все параметры складываются из статической и динамической составляющих:

Статические составляющие от силы G найдем как обычно при статическом расчете:

Наибольшее статическое напряжение в среднем сечении балки будет:

Для определения статического прогиба среднего сечения выберем вспомогательное состояние и построим эпюру :

Прогиб от статической нагрузки G будет:

Динамические значения параметров от действия вибрационной нагрузки определяются с помощью динамического коэффициента следующим образом:

В формулу динамического коэффициента вибрационной нагрузки входит величина ω – круговая частота собственных (свободных) колебаний, определяемая по формуле:

где: g=9,81м/сек 2 –ускорение свободного падения,

Δ_ст – перемещение точки расположения колеблющейся массы (в данном случае двигателя) от собственного веса.

Тогда значение динамического коэффициента вибрационной нагрузки будет:

Здесь круговая частота действия самой вибрационной нагрузки

Далее находим , для чего к балке прикладывается наибольшая величина вибрационной нагрузки статическим образом:

Прогиб середины пролета в балке на двух опорах можно вычислить и по известной формуле:

Тогда динамические значения искомых параметров будут:

представляет собой амплитуду колебаний массы (двигателя), то есть наибольшее отклонение от положения статического равновесия. Поэтому наибольшее значение прогиба складывается из статического смещения и амплитуды колебаний

Наибольшее нормальное напряжение

Помощь в написании ответов на билеты

Задача. Груз весом Р = 200 Н падает с высоты Н = 0,3 м посередине на шарнирно опертую двухопорную деревянную балку квадратного поперечного сечения со стороной а = 15 см и длиной l = 3 м. Рассчитать запас прочности балки, если модуль продольной упругости материала балки Е = 104 МПа, а предел прочности при расчете на изгиб RИ = 20 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Решение. Проводим статический расчет, т.е. определяем максимальное напряжение и перемещение в серединном сечении балки при нагружении ее статической сосредоточенной силой Р = 200 Н.

Максимальный изгибающий момент равен

Статический момент площади сечения равен

Определяем максимальное нормальное статическое напряжение

Статическое перемещение посередине балки определяем по известной из теории изгиба формуле

Рассчитываем динамический коэффициент

Находим динамическое напряжение

σd,max = σst,max kd = 0,266·48 = 12,77 МПа.

Запас прочности равен

Задача 7.2.3. Груз весом Р = 1 кН падает с высоты Н = 0,04 м на свободный конец консольной балки прямоугольного сечения 0,120,2 м и длиной 2 м. Модуль упругости материала балки Е = 104 МПа. Требуется рассчитать наибольшее нормальное напряжение в момент наибольшей деформации балки. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max = 15 МПа.

Задача 7.2.4. Найти максимальное нормальное динамическое напряжение в канате подъемника (рис. 7.2.6), спускающего груз Р = 2·104 Н со скоростью v =1 м/с при внезапном торможении наверху. Диаметр каната d = 0,02 м, его длина l = 10 м; собственным весом каната пренебречь. Модуль упругости материала каната Е = 1,6·105 МПа. Жесткость пружины спр = 5·105 Н/м.

У к а з а н и я

1) Использовать известное из физики соотношение v2 = 2gH.

2) Учесть, что полное статическое перемещение будет складываться из двух частей, связанных с деформацией каната и пружины.

Ответ: σd,max = 181 МПа.

Задача 7.2.5. Прямой призматический стержень, закрепленный одним концом (рис. 7.2.7) и имеющий длину 0,3 м, площадь поперечного сечения 0,0021 м2, на свободном конце принимает удар, кинетическая энергия которого равна 25 Н·м. Модуль упругости материала стержня Е = 2,1·105 МПа.

Определить наибольшее нормальное динамическое напряжение и деформацию. Собственной массой стержня, испытывающего удар, пренебречь.

У к а з а н и е. Задачу решать, считая, что вся кинетическая энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации стержня.

Ответ: σd,max = 100 МПа; Δld,max = 0,00024 м.

Задача 7.2.6. Прямой призматический стержень закреплен одним концом (рис. 7.2.1), имеет длину 0,3 м, площадь поперечного сечения 0,0021 м2.

Вычислить кинетическую энергию удара и вызываемые им напряжения и деформации стержня, если удар происходит вследствие падения на стержень груза Р = 250 Н с высоты Н = 0,1 м. Модуль упругости материала стержня Е = 2,1·105 МПа. Собственной массой стержня, испытывающего удар, пренебречь.

а) в предположении, что деформацией стержня можно пренебречь по сравнению с высотой Н, и б) не делая упомянутого допущения и вычислив динамический коэффициент.

Ответ: а) σd,max = 100 МПа, Δld,max = 0,00024 м;

б) σd,max = 100,1 МПа, Δld,max0,00024 м.

Задача 7.2.7. Найти динамическое нормальное напряжение в стальной двутавровой консольной балке (Iz = 2·10-5 м4, Wz = 2·10-4 м3, Е = 2·105 МПа) длиной 2 м при ударе по ее свободному концу грузом Р = 1,2 кН, сброшенным с высоты Н = 0,08 м. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max = 182 МПа.

Задача 7.2.8. Вычислить, с какой высоты Н1 падает на конец консольной балки груз Р = 1,2 кН, если в защемлении возникает динамическое нормальное напряжение σd,max = 240 МПа. Известно, что при высоте падения Н = 0,08 м и σst,max = 12 МПа динамическое напряжение имеет величину σd,max = 182 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: Н1 = 0,144 м.

Задача 7.2.9. На конец стальной консольной балки длиной 1 м с высоты Н = 0,05 м падает груз Р = 480 Н.

Поперечное сечение балки имеет следующие геометрические характеристики: осевой момент инерции Iz = 20 000 см4, осевой момент сопротивления Wz = 200 см3. Модуль упругости материала стержня Е = 2·105 МПа. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в балке. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max =120 МПа.

Задача 7.2.10. Груз весом Р = 80 Н, скользя без трения вдоль стального бруса (Е = 2·105 МПа), падает на прикрепленную к брусу жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса (см. рис. 7.2.5).

Длина бруса l = 2м, площадь поперечного сечения А = 0,0004 м2; плотность материала бруса ρ = 8г/см3, расчетное сопротивление стали бруса Rу= 100 МПа. Требуется определить высоту падения бруса: а) без учета массы стержня и б) с учетом массы стержня.

Ответ: а) Н = 0,25 м; б) Н = 0,315 м.

Задача 7.2.11. Груз весом Р = 400 Н падает с высоты Н = 0,3 м на свободный конец консольной деревянной балки квадратного поперечного сечения 0,30,3 м и длиной 2 м. Модуль упругости материала балки Е = =104 МПа, его плотность ρ = 0,6 г/см3. Требуется определить максимальный динамический прогиб, учитывая собственную массу балки.

Ответ: Δd,max = 0,0076 м.

Задача 7.2.12. На середину двутавровой балки № 20 на двух опорах длиной 2 м падает с высоты Н = 0,04 м груз весом Р = 4 кН. Вычислить наибольшие динамические нормальные напряжения в балке: а) без учета массы балки и б) с учетом массы балки. Принять Е = 2·105 МПа.

Ответ: а) σd, max = 209,5 МПа, б) σd, max = 204,1 МПа.

Задача 7.2.13. На чугунную подставку квадратного поперечного сечения 0,30,3 м и длиной 1,5 м с высоты Н = 0,4 м падает груз Р = 6 кН. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в подставке с учетом ее собственной массы. Модуль продольной упругости материала подставки (чугун) Е = 1,27·105 МПа, плотность чугуна ρ = 7,1 г/см3 (рис. 7.2.8).

Ответ: σd, max = 63,9 МПа

Задача 7.2.14. На конец стальной консольной балки весом Рб = 250 Н и длиной 1 м с высоты 0,05 м падает груз Р = 520 Н. Поперечное сечение балки имеет следующие геометрические характеристики: осевой момент инерции Iz = 20000 см4, осевой момент сопротивления Wz = 200 см3. Модуль продольной упругости материала балки Е = 2,0·105 МПа. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в балке с учетом ее собственной массы.