Характеристическим уравнением называется уравнение вида

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ, ал­геб­ра­ич. урав­не­ние $$\begin a_<11>-λ & a_ <12>& . & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_<22>-λ & . & a_ <2n>\\ . & . & . & . \\ a_ & a_ & . & a_-λ \\ \end=0;\tag<*>$$ оп­ре­де­ли­тель в ле­вой час­ти Х. у. по­лу­ча­ет­ся из оп­ре­де­ли­те­ля квад­рат­ной мат­ри­цы $A=||a_||^n_1$ вы­чи­та­ни­ем ве­ли­чи­ны $λ$ из диа­го­наль­ных эле­мен­тов. Этот оп­ре­де­ли­тель яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном по­ряд­ка $n$ от­но­си­тель­но ве­ли­чи­ны $λ$ , ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским мно­го­чле­ном мат­ри­цы $A$ . Х. у. мож­но за­пи­сать в ви­де $$(–λ)^n+S_1(–λ)^+S_2(–λ)^+ . +S_n=0,$$ где $S_1=a_<11>+a_<22>+. +a_$ – т. н. след мат­ри­цы $A$ , $S_2$ – сум­ма всех гл. ми­но­ров 2-го по­ряд­ка, т. е. оп­ре­де­ли­те­лей ви­да $\begin a_ & a_ \\ a & a_\\ \end$ , $i , и т. д., а $S_n$ – оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы $A$ . Кор­ни Х. у. $λ_1$ , $λ_2$ , $. $ , $λ_n$ на­зы­ва­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми чис­ла­ми или соб­ст­вен­ны­ми зна­че­ния­ми мат­ри­цы $A$ , они иг­ра­ют важ­ную роль при изу­че­нии мат­р иц и ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний . У дей­с т­ви­тель­ной сим­мет­рич­ной мат­ри­цы, а так­же у эр­ми­то­вой мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ дей­ст­ви­тель­ны, у дей­ст­ви­тель­ной косо­сим­мет­рич­ной мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ чис­то мни­мые, для дей­ст­ви­тель­ной ор­то­го­наль­ной мат­ри­цы, а так­же для уни­тар­ной мат­ри­цы все чис­ла $∣λ_k∣ =1$ .

Please wait.

We are checking your browser. gufo.me

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6de0d249ec8816ab • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Характеристическое уравнение.

Если имеется однородное линейное дифференциальное уравнение c постоянными коэффициентами

22# Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать как сумму

где y_o— это общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

Y- частное решение ЛНДУ.

В некоторых специальных случаях частное решение ЛНДУ может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, в общем случае используют метод вариации произвольных постоянных. В данном пункте мы рассмотрим неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида и применим метод неопределенных коэффициентов, а метод вариации произвольных постоянных будет изложен позже.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка ищем в зависимости от вида правой части, то есть от функции f(x).

где — многочлен степени n.

Ia. Если a не является корнем характеристического уравнения, то есть то частное решение ЛНДУ ищем в виде

где — многочлен степени n с постоянными коэффициентами.

Iб. Если a — один из корней характеристического уравнения, то если верно только одно из равенств то частное решение ЛНДУ ищем в виде

Iв. Если a — кратный корень характеристического уравнения, то есть (например, при дискриминанте, равном 0), то частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в этом случае есть

IIa. Если a+bi не является корнем характеристического уравнения, то есть то частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем как

Где многочлены степени N, N — больная из степеней n и m.

IIб. Если a+bi является корнем характеристического уравнения, то есть то для этого случая частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а₀+ а₁х + а₂х 2 +. + а _nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а₀, а₁, а₂, . а_n равны нулю.

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

23#Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение (1) называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда: Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимсяи суммы не имеет.

24# Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится, то u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно ( ха-ха, член) из первого равенства второе, получаем — = = u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

(7)

(8)

Тогда: 1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через S_n и s_n соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(7)

и пусть существует предел При p 1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условие или

p-E 1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или u_n+1>u_n, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому u_n¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

25#Радикальный признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u₁+u₂+…+u_n… (7)

и пусть существует предел При p 1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие | | n для всех n³N. Рассмотрим ряды

(15)

(16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что u_n n для всех n³N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 или u_n>1, следовательно, u_n¹0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

26#Интегральный признак Коши

Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… (7) не возрастают: u₁³u₂≥…≥u_n≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u₁, f(2)= u₂ ,…, f(n)= =u_n,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем
S_n-u₁ u_n+ (18)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n n — 1. u_n+…, где u_n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.