Характеристический многочлен матрицы правой части уравнений движения

Характеристический многочлен онлайн

Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:

| A &#x2212 &#x03BB E |

где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .

Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:

тогда выражение A &#x2212 &#x03BB E имеет вид:

Наконец, нам нужно найти определитель:

Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от &#x03BB :

P &#x2006 ( &#x03BB ) = c _n &#x03BB &#x2006 n + c _{n &#x2212 1} &#x03BB &#x2006 n &#x2212 1 + . + c _i &#x03BB &#x2006 i + . + c ₁ &#x03BB &#x2006 + c ₀

Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.

Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы матрицы

В настоящем разделе $ n_<> $ означает порядок квадратной матрицы $ A_<> $.

Характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_<> $ как 1) $ \det (A_<>-\lambda E) $, где $ E_<> $ – единичная матрица одинакового с $ A_<> $ порядка.

Пример. Для $ n=2_<> $:

Теорема 1.

Пример. Характеристический полином матрицы Фробениуса

$$ \mathfrak F= \left( \begin 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots& &&&\ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_ & a_ & & \dots & a_2 & a_1 \end \right)_ $$ равен $ (-1)^n(\lambda^n-a_1\lambda^-\dots-a_) $.

Характеристический полином линейного оператора

определяется как характеристический полином матрицы этого оператора в произвольном базисе линейного пространства, в котором этот оператор задан. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Характеристический полином линейного однородного разностного уравнения

$ n_<> $-го порядка $$ x_=a_1 x_+ \dots+ a_n x_K, \quad a_n \ne 0, $$ определяется как $$ \lambda^n — a_1 \lambda^ — \dots — a_n . $$ Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Свойства

Теорема 2. Характеристический полином матрицы не меняется

1. при ее транспонировании: $$ \det (A-\lambda E) = \det (A^<\top>-\lambda E_<>) \, ;$$ 2. при переходе к подобной матрице: если $ B=C^<-1>AC^<> $ при произвольной неособенной матрице $ C_<> $, то $$ \det (A-\lambda E) \equiv \det (B-\lambda E_<>) \, . $$

Теорема 3. Пусть матрица $ A_<> $ имеет порядок $ m\times n_<> $, а $ B_<> $ — порядок $ n\times m_<> $. Тогда эти матрицы допускают умножение в любом порядке, т.е. определены $ AB_<> $ и $ BA_<> $ и оба произведения будут квадратными матрицами — порядков $ m_<> $ и $ n_<> $ соответственно. Тогда характеристические полиномы этих произведений различаются лишь на степень $ \lambda_<> $:

$$ \lambda^n \det (AB — \lambda E_)\equiv \lambda^m \det (BA — \lambda E_) \ . $$

Если матрицы $ A_<> $ и $ B_<> $ — квадратные одинакового порядка, то характеристические полиномы матриц $ AB_<> $ и $ BA_<> $ тождественны.

Теорема 4. Если характеристический полином матрицы $ A_<> $ равен

$$ f(\lambda)=(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^+\dots+a_\lambda+a_n $$ и $ a_ \ne 0 $, то характеристический полином матрицы $ A^<-1>_<> $ равен $$ f^<\ast>(\lambda)=\frac<(-\lambda)^n> f(1/\lambda) = \frac<(-1)^n> \left[ (-1)^n+a_1 \lambda + \dots+ a_\lambda^+a_n\lambda^ \right] \ . $$

Теорема Гамильтона-Кэли

Теорема 5. Результатом подстановки в характеристический полином $ \det (A_<>-\lambda E) $ самой матрицы $ A_<> $ будет нулевая матрица:

$$ \det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^+\dots+a_\lambda+ a_n \ \Rightarrow \ $$ $$ \ \Rightarrow \ (-1)^n A^n +a_1 A^+\dots+a_A+ a_n E = <\mathbb O>_ \ . $$

матрица является корнем своего характеристического полинома.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Для $ n_<>=2 $:

$$ \left(\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right)^2 — (a_<11>+a_<22>)\left(\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right) + (a_<11>a_<22>-a_<12>a_<21>) \left(\begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end \right) = \left(\begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ . $$

Собственное число

определяется для квадратной матрицы $ A_<> $ как произвольный корень ее характеристического полинома $ \det (A_<>-\lambda E) $. Набор всех собственных чисел матрицы $ A_<> $ (с учетом их кратностей) называется спектром матрицы (таким образом спектр матрицы $ A_<> $ порядка $ n_<> $ всегда состоит из $ n_<> $ чисел, часть из которых могут быть одинаковыми). Максимальный из модулей собственных чисел матрицы $ A_<> $ называется ее спектральным радиусом, он иногда обозначается $ \rho(A) $.

Пример. Найти спектр матрицы

$$ A= \left(\begin 0&1&2&3\\ -1&0&4&7\\ -2&-4&0&2\\ -3&-7&-2&0 \end\right). $$ Решение. Характеристический полином $$ \det (A-\lambda E)=\left|\begin -\lambda&1&2&3\\ -1&-\lambda&4&7\\ -2&-4&-\lambda&2\\ -3&-7&-2&-\lambda \end\right|=\lambda^4+ 83\lambda^2 $$ имеет корни $ \lambda_1=0, \lambda_2 = <\mathbf i>\sqrt<83>, \lambda_3 = — <\mathbf i>\sqrt <83>$, причем $ \lambda_ <1>$ — второй кратности.

Ответ. Спектр матрицы $ A_<> $: $ \ <0,0, <\mathbf i>\sqrt<83>,- <\mathbf i>\sqrt <83>\> $. Спектральный радиус матрицы $ A_<> $: $ \rho(A)= \sqrt <83>$.

Теорема 6. Если $ \<\lambda_<1>,\lambda_<2>,\dots,\lambda_ \> $ — спектр матрицы $ A_<> $, то

$$ \lambda_1+\lambda_<2>+\dots+\lambda_n = \operatorname(A)=a_<11>+a_<22>+\dots+a_, $$ $$ \lambda_1\cdot\lambda_<2>\times \dots \times \lambda_n = (-1)^n\det (A) \ . $$

Доказательство следует из представления характеристического полинома через миноры матрицы и формул Виета. ♦

Для того, чтобы матрица $ A_<> $ была неособенной необходимо и достаточно, чтобы среди ее собственных чисел не было нулевого.

Теорема 7. Пусть $ g(x)=b_<0>x^m+\dots+b_m \in <\mathbb C>[x] $ — произвольный полином. Вычислим полином от матрицы $ A_<> $:

$$ g(A)=b_<0>A^m+\dots+b_m E \, . $$ Тогда если $ \<\lambda_<1>,\dots,\lambda_ \> $ — спектр матрицы $ A_<> $, то $ \),\dots,g(\lambda_n) \> $ — спектр матрицы $ g(A_<>) $.

Результат теоремы обобщается и на более широкий класс функций $ g_<>(x) $ — фактически на любую функцию, которая, вместе со своими производными, может быть определена на спектре матрицы $ A_<> $. В частности, если $ \det A_<> \ne 0 $, то спектр матрицы $ A^<-1>_<> $ совпадает с $ \<1/\lambda_j\>_^n $.

Имеет место следующее равенство, связывающее степени матрицы $ A_<> $ с суммами Ньютона ее характеристического полинома:

$$ \operatorname(A^k)=\lambda_1^k+\dots+\lambda_n^k \ . $$ Здесь $ \operatorname_<> $ обозначает след матрицы (т.е. сумму ее диагональных элементов). Утверждение остается справедливым и для отрицательных показателей $ k_<> $ при условии, что $ \det A_<> \ne 0 $.

Имеет место следующее равенство:

$$ \det g(A) = (-1)^ <\mathcal R>(f,g_<>) , $$ где $ <\mathcal R>(f,g_<>) $ означает результант полиномов $ f(x) =\det (A-x_<> E) $ и $ g_<>(x) $.

Теорема 8. Собственные числа вещественной симметричной матрицы $ A_<> $ все вещественны.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 9. Собственные числа вещественной кососимметричной матрицы $ A_<> $ все мнимы, за исключением, возможно, $ \lambda_<> = 0 $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 10. Собственные числа вещественной ортогональной матрицы все равны $ 1_<> $ по абсолютной величине (модулю). Характеристический полином ортогональной матрицы является возвратным если $ +1 $ не является его корнем или является корнем четной кратности. Хотя бы одно собственное число ортогональной матрицы нечетного порядка равно $ +1 $ или $ (-1) $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 11. Спектр циклической матрицы

$$ \left(\begin a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \dots & a_ \\ a_ & a_n & a_1 & \dots & a_ \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \dots & a_1 \end \right) \ . $$ совпадает с набором чисел $$ \) \> ,$$ при $$ f(x)=a_<1>+a_2x+a_3x^2+\dots+a_nx^ $$ и $$ \varepsilon_k=\cos \frac<2\,\pi k> + <\mathbf i>\sin \frac<2\,\pi k> $$ — корне n-й степени из единицы.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Локализация собственных чисел

Теорема 12. [1]. Собственные числа матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Иначе: пусть

$$A=\left[a_ \right]_^n \quad , \quad B=\left[b_ \right]_^n \ . $$ Обозначим $$M= \max_> \left\ <|a_|, |b_ | \right\> \quad , \quad \delta = \frac<1>\sum_^n |a_ — b_ | \ . $$ Тогда любому собственному числу $ \lambda_<\ast>^<> $ матрицы $ A_<> $ можно поставить в соответствие такое собственное число $ \mu_<\ast>^<> $ матрицы $ B_<> $, что $$ |\lambda_<\ast>-\mu_ <\ast>| \le (n+2) M \sqrt[n] <\delta>\ . $$

Собственно факт непрерывной зависимости собственных чисел от элементов матрицы следует из представления характеристического полинома из теоремы ☞ ПУНКТА — коэффициенты этого полинома полиномиально (и, следовательно, непрерывно) зависят от элементов матрицы. Далее используем теорему о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов.

Выясним теперь на примере, насколько малым может быть возмущение элементов матрицы чтобы сохранились хотя бы количество вещественных корней ее характеристического полинома.

Пример [Уилкинсон] [2]. Найти собственные числа матрицы

$$ A= \left( \begin 20 & 20 & & & & \\ & 19 & 20 & & & \\ & & 18 & 20 & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 2 & 20 \\ <\color\varepsilon > & & & & & 1 \\ \end \right)_ <20\times 20>$$ при $ <\color\varepsilon >=10^ <-10>$ (все неуказанные элементы матрицы считаются равными нулю).

Решение. Характеристический полином $$ \det(A-\lambda E) = \prod_^ <20>(j-\lambda) — 20^ <19> <\color\varepsilon > = $$ $$ =\lambda^<20>—<\scriptstyle 210>\,\lambda^<19>+<\scriptstyle 20615>\,\lambda^<18>—<\scriptstyle 1256850>\, \lambda^ <17>+<\scriptstyle 53327946>\, \lambda^<16>—<\scriptstyle 1672280820>\, \lambda^<15>+ <\scriptstyle 40171771630>\, \lambda^<14>—<\scriptstyle 756111184500>\, \lambda^<13>+ $$ $$ +<\scriptstyle 11310276995381>\, \lambda^ <12>— <\scriptstyle 135585182899530>\, \lambda^ <11>+<\scriptstyle 1307535010540395>\, \lambda^<10>—<\scriptstyle 10142299865511450>\, \lambda^9 + $$ $$ +<\scriptstyle 63030812099294896>\, \lambda^8 — <\scriptstyle 311333643161390640>\, \lambda^7+<\scriptstyle 1206647803780373360>\, \lambda^6 —<\scriptstyle 3599979517947607200>\, \lambda^5 +<\scriptstyle 8037811822645051776>\, \lambda^4- $$ $$ —<\scriptstyle 12870931245150988800>\, \lambda^3 +<\scriptstyle 13803759753640704000>\, \lambda^2 —<\scriptstyle 8752948036761600000>\,\lambda + <\scriptstyle 2432377720176640000>$$ очень похож на полином из другого ☞ ПРИМЕРА Уилкинсона. Он имеет корни $$ \lambda_1=0.995754, \ \lambda_2=2.109241,\ \lambda_3=2.574881,\ $$ $$ \lambda_<4,5>=3.965331\pm 1.087735\, \mathbf i,\ \lambda_<6,7>=5.893977\pm 1.948530 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_<8,9>=8.118073 \pm 2.529182 \, \mathbf i,\ \lambda_<10,11>=10.5\pm 2.733397 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_<12,13>=12.881926\pm 2.529182 \, \mathbf i,\ \lambda_<14,15>=15.106022 \pm 1.948530 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_<16,17>=17.034669\pm 1.087735 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_<18>=18.425118,\ \lambda_<19>=18.890758,\ \lambda_<20>=20.004245 \ . $$ Итак, нановозмущение 2) в одном-единственном элементе матрицы приводит к существенному изменению спектра: из $ 20 $ вещественных собственных чисел «остаются в живых» только $ 6_<> $; кроме того, у образовавшихся мнимых корней оказываются достаточно большими мнимые части. В данном примере допустимые возмущения для $ <\color\varepsilon > $, т.е. такие, при которых сохранится свойство вещественности всех корней характеристического полинома, находятся в пределах 3) $$ -8.636174\times 10^<-14>\ ♦

Теорема 13 [Гершгорин]. 4) Обозначим $ \mathbb D_ $ круг на комплексной плоскости $ \mathbb C_<> $ с центром в точке $ a_^<> $ и радиуса

$$ r_j=\sum_<\ell=1 \atop \ell\ne j>^n \left|a_\right| \ .$$ Тогда спектр матрицы $ A_<> $ лежит внутри объединения этих кругов: $$ \ <\lambda_1,\dots, \lambda_n \>\subset \bigcup_^n \mathbb D_j \ . $$ Иными словами: любое собственное число матрицы должно удовлетворять хотя бы одному из неравенств $$ |z- a_ | ☞ ЗДЕСЬ.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_<> $.

Если все главные миноры $ A_1,A_2,\dots,A_ $ симметричной матрицы $ A_<> $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_<> $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,\dots,A_n $:

$$ \operatorname \< \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda>0 \> = <\mathcal P>(1,A_1,\dots,A_n), $$ $$ \operatorname \ < \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda ненулевойстолбец $$ X_<\ast>= \left( \begin x_<1>^ <\ast>\\ \vdots \\ x_^ <\ast>\end \right) \in \mathbb^n $$ такой, что $$ AX_<\ast>=\lambda_ <\ast>X_ <\ast>\quad \iff \quad (A -\lambda_<\ast>E) X_ <\ast>= \mathbb O_ \ . $$ По определению собственного числа, $ \det (A^<> -\lambda_<\ast>E) = 0 $ и, следовательно, система однородных уравнений $ (A -\lambda_<\ast>E) X^<> = \mathbb O $ всегда имеет нетривиальное решение; более того, этих решений бесконечно много. Таким образом, одному и тому же собственному числу матрицы принадлежит бесконечное множество собственных векторов. Эту бесконечность можно описать с помощью фундаментальной системы решений (ФСР).

Пример. Найти собственные векторы матрицы

Решение. Спектр матрицы найден выше. $$(A-0 \cdot E)X=\mathbb O \quad \Longrightarrow \ \mbox< ФСР>= \ \left\< <\mathfrak X>_1=\left(\begin 4 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end\right), \ <\mathfrak X>_2=\left(\begin 7 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end \right) \right\>.$$ Любой вектор вида $ \alpha_ <1><\mathfrak X>_1 + \alpha_2 <\mathfrak X>_2 $ будет собственным, принадлежащим $ \lambda_<>=0 $. $$ \begin (A- \mathbf i\, \sqrt <83>E)X=\mathbb O \\ \\ \Downarrow \\ \\ <\mathfrak X>_3= \left(\begin 1- \mathbf i \, \sqrt <83>\\ 8-2\, \mathbf i \, \sqrt <83>\\ 12 \\ 17+\mathbf i \, \sqrt <83>\end\right) \end \qquad \begin (A+\mathbf i \sqrt <83>E)X=\mathbb O \\ \\ \Downarrow \\ \\ <\mathfrak X>_4= \left(\begin 1+\mathbf i \, \sqrt <83>\\ 8+2\mathbf i \, \sqrt <83>\\ 12 \\ 17- \mathbf i \,\sqrt <83>\end\right) \end \ . $$ ♦

Еще один способ нахождения собственного вектора основан на теореме Гамильтона-Кэли.

Теорема 15. Пусть $ \lambda_<\ast>^<> $ — собственное число матрицы $ A_<> $. Обозначим частное от деления характеристического полинома на линейный множитель $ \lambda_<> — \lambda_ <\ast>$ через $ f_<\ast>(\lambda)^<> $:

$$ f_<\ast>(\lambda) \equiv f(\lambda) / (\lambda-\lambda_<\ast>) \ . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ является собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_<\ast>^<> $.

Доказательство следует из равенства $$(A-\lambda_ <\ast>E)f_<\ast>(A)=\mathbb O_ . $$ На основании определения любой ненулевой столбец $ f_<\ast>(A)^<> $ должен быть собственным вектором матрицы $ A_<> $. ♦

Пример. Найти собственные векторы матрицы

$$ A=\left( \begin 9 & 22 & -6 \\ -1 &-4 & 1 \\ 8 & 16 & -5 \end \right) . $$

Решение. $$ \det (A-\lambda E)=-\lambda^3+ 7\, \lambda + 6 \equiv -(\lambda_<>-3) (\lambda+2)(\lambda+1) \, .$$ Пренебрегая знаком – , имеем: $$ \begin f_1(\lambda)=\lambda^2+3\lambda+2 & u & f_1(A)= \left( \begin 40 & 80 & -20 \\ 0 &0 & 0 \\ 40 & 80 & -20 \end \right) \ , \\ f_2(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-3 & u & f_2(A)= \left( \begin -10 & -30 & 10 \\ 5 &15 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \ , \\ f_3(\lambda)=\lambda^2-\lambda-6 & u & f_3(A)= \left( \begin -4 & -8 & 4 \\ 4 & 8 & -4 \\ 8 & 16 & -8 \end \right) \ . \end $$

Если $ \lambda_<\ast>^<> $ является простым корнем характеристического полинома 5) , то ненулевые столбцы $ f_<\ast>(A)^<> $ будут пропорциональными. Или, что то же, $ \operatorname f_<\ast>(A)^<> = 1 $.

Тогда очевидно, что и строки матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ тоже должны быть пропорциональны!

Доказать, что любая ненулевая строка матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ является собственным вектором матрицы $ A^<^<\top>>_<> $, принадлежащим $ \lambda_<\ast>^<> $. Доказать, что собственный вектор матрицы $ A_<> $ ортогонален собственному вектору матрицы $ A^<\top>_<> $, если эти векторы принадлежат различным собственным числам 6) .

На практике вычисление полинома $ f_<\ast>(\lambda)^<> $ может быть осуществлено с помощью схемы Хорнера.

Пример. Вычислить собственный вектор матрицы

$$ A=\left( \begin 23 & 75 & -92 \\ 6 & 74 & 72 \\ 37 & -23 & 87 \end \right) , $$ принадлежащий ее вещественному собственному числу.

Решение. Характеристический полином $$ f(\lambda)= -\lambda^3+184\,\lambda^2-14751\,\lambda+611404 $$ имеет единственное вещественное собственное число $ \lambda_ <\ast>\approx 96.8817 $. Составляем схему Хорнера $$ \begin & -1 & 184 & -14751 & 611404 \\ \hline 96.8817 & -1 & 87.1183 & -6310.8310 & -0.0352 \end $$ За счет ошибок округления мы получили ненулевое значение для $ f(\lambda_<\ast>) $. В качестве частного от деления $ f(\lambda) $ на $ \lambda-\lambda_ <\ast>$ берем $$ f_<\ast>(\lambda)= -\lambda^2 + 87.1183\, \lambda — 6310.8310 \ . $$ Подставляем в него матрицу $ A_<> $ и вычисляем первый столбец матрицы $$ -A^2+87.1183\,A -6310\, E = \left( \begin -1882.1101 & * & * \\ -2723.2902 & * & * \\ -708.6229 & * & * \end \right) \ .$$ Проверяем: $$ \left( \begin 23 & 75 & -92 \\ 6 & 74 & 72 \\ 37 & -23 & 87 \end \right) \left( \begin -1882.1101 \\ -2723.2902 \\ -708.6229 \end \right) — 96.8817 \left( \begin -1882.1101 \\ -2723.2902 \\ -708.6229 \end \right)= \left( \begin 0.0356 \\ 0 \\ -0.0002 \end \right) \ . $$ ♦

Можно развить последний метод далее: найти универсальную формулу для собственного вектора как функции ее собственного числа. Действительно, найдем частное от деления характеристического полинома $$ f(\lambda) =a_0\lambda^n+a_0\lambda^+\dots+ a_n, \ \quad a_0=(-1)^n $$ на линейный полином $ \lambda- \lambda_ <\ast>$, где $ \lambda_ <\ast>$ — произвольное число из $ \mathbb C $. С помощью той же схемы Хорнера, получаем $$ q(\lambda)=a_0\lambda^+(a_0\lambda_<\ast>+a_1)\lambda^+(a_0\lambda_<\ast>^2+a_1\lambda_<\ast>+a_2)\lambda^+\dots+ (a_0\lambda_<\ast>^+a_1\lambda_<\ast>^+\dots+a_) \, . $$ Если $ \lambda_ <\ast>$ является собственным числом матрицы $ A_<> $, то любой ненулевой столбец матрицы $$ q(A)= a_0A^+(a_0\lambda_<\ast>+a_1)A^+(a_0\lambda_<\ast>^2+a_1\lambda_<\ast>+a_2)A^+\dots+ (a_0\lambda_<\ast>^+a_1\lambda_<\ast>^+\dots+a_)E $$ будет собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_ <\ast>$.

Пример. Найти представление всех собственных векторов матрицы

$$ A=\left( \begin 9 & 22 & -6 \\ -1 &-4 & 1 \\ 8 & 16 & -5 \end \right) $$ в виде функции ее собственных чисел.

Решение. Характеристический полином матрицы был вычислен выше: $ f(\lambda)=-\lambda^3+ 7\, \lambda + 6 $. Имеем, $$ q(\lambda)=-\lambda^2-\lambda_<\ast>\lambda+(7-\lambda_<\ast>^2) $$ и $$ q(A)=-A^2-\lambda_<\ast>A+(7-\lambda_<\ast>^2)E= \left(\begin -\lambda_<\ast>^2-9\lambda_<\ast>-4 & -22\lambda_<\ast>-14 & 6\lambda_<\ast>+2 \\ \lambda_<\ast>-3 & -\lambda_<\ast>^2+4\lambda_<\ast>-3 & -\lambda_<\ast>+3 \\ -8\lambda_<\ast>-16 & -16\lambda_<\ast>-32 & -\lambda_<\ast>^2+5\lambda_<\ast>+14 \end \right) \, . $$ Берем произвольный столбец этой матрицы, например, первый: $$ X_<\ast>(\lambda_<\ast>)= \left(\begin -\lambda_<\ast>^2-9\lambda_<\ast>-4 \\ \lambda_<\ast>-3 \\ -8\lambda_<\ast>-16 \end \right) \, . $$ Утверждается, что $ X_ <\ast>(\lambda_<\ast>) $ — универсальное представление всех собственных векторов матрицы. Действительно, $$ X_<\ast>(-1) = \left(\begin 4 \\ -4 \\ -8 \end \right),\ X_<\ast>(-2) = \left(\begin 10 \\ -5 \\ 0 \end \right),\ X_<\ast>(3) = \left(\begin -40 \\ 0 \\ -40 \end \right) \, . $$ ♦

Теорема 16. Пусть $ g(x)=b_0x^m+\dots+b_ \in <\mathbb C>[x] $ – произвольный полином. Если $ X_<\ast>\in \mathbb C^ $ — собственный вектор матрицы $ A_<> $, соответствующий собственному числу $ \lambda_<\ast>^<> $, то он же будет собственным и для матрицы $ g(A)^<> $, принадлежащим собственному числу $ g(\lambda_<\ast>)^<> $.

Доказательство. Домножим равенство $ A<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>^<><\mathfrak X>_ <\ast>$ слева на матрицу $ A_<> $: $$ A^2<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>A<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>^2<\mathfrak X>_ <\ast>.$$ По индукции доказывается и общее равенство: $$ A^k<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>^k<\mathfrak X>_ <\ast>.$$ Домножим его на $ b_^<> $ и просуммируем по $ k_<> $ от $ 0_<> $ до $ m_<> $: $$ g(A)<\mathfrak X>_<\ast>=g(\lambda_<\ast>)<\mathfrak X>_ <\ast>,$$ что и доказывает утверждение теоремы. ♦

Если матрица $ A $ невырождена, то теорема остается справедливой и для произвольного полинома от $ A^ <-1>$. В частности, собственные векторы $ A^ <-1>$ совпадают с собственными векторами матрицы $ A $.

Теорема 17. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам матрицы $ A_<> $, линейно независимы.

Теорема 18. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам вещественной симметричной матрицы $ A_<> $, ортогональны, т.е. если $ \mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ <1>$, а $ \mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ <2>$ и $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, то

$$ \langle \mathfrak X_1, \mathfrak X_2 \rangle =0 \ , $$ где $ \langle \ ,\ \rangle $ означает скалярное произведение, определяемое стандартным образом: $ \langle X,Y \rangle =x_1y_1+\dots+x_ny_n $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема Перрона-Фробениуса

Теорема 19 [Перрон, Фробениус]. Для положительной матрицы $ A_<> $ существует положительное собственное число $ \lambda_ <+>$ такое, что все остальные собственные числа этой матрицы меньше $ \lambda_ <+>$ по абсолютной величине (модулю). Соответствующий этому собственному числу собственный вектор может быть выбран положительным:

$$ \exists \mathfrak X_ <+>> \mathbb O: \quad A \mathfrak X_ <+>= \lambda_ <+>\mathfrak X_ <+>\ . $$

Число $ \lambda_ <+>$ из теоремы называется собственным числом Перрона или собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $, а соответствующий ему произвольный положительный собственный вектор — собственным вектором Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $.

Спектральный радиус положительной матрицы $ A_<> $ совпадает с ее собственным числом Перрона-Фробениуса:

Пример. Найти собственное число и вектор Перрона-Фробениуса для матрицы

$$ A= \left(\begin 2 & 7 & 18 & 28 \\ 1 & 8 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \\ 5 & 9 & 26 & 5 \end \right) \, . $$

Решение. Характеристический полином матрицы $ A_<> $ $$ \det(A-\lambda E)=\lambda^4-19\, \lambda^3-175\, \lambda^2-285\, \lambda+10390 $$ имеет корнями $$ \lambda_ <1,2>\approx -6.260463 \pm 5.452465 \mathbf i,\ \lambda_3 \approx 5.878976, \lambda_4 \approx 25.641950 \ . $$ Числом Перрона-Фробениуса является $ \lambda_4 $, а соответствующий ему собственный вектор Перрона-Фробениуса можно взять равным $$ \left( \begin 1 \\ 0.365240 \\ 0.184802 \\ 0.634244 \end \right) \quad \mbox < или >\quad \left( \begin 2.737922 \\ 1 \\ 0.505974 \\ 1.736510 \end \right) \quad \mbox < или >\left( \begin 5.411185 \\ 1.976383 \\ 1 \\ 3.432010 \end \right) \quad \mbox < или >\quad \left( \begin 1.576681 \\ 0.575868 \\ 0.291374 \\ 1 \end \right) \quad \mbox < или >\quad \left( \begin 0.798133 \\ 0.291510 \\ 0.147496\\ 0.506210 \end \right) \quad \mbox < или >\dots $$ (напоминаю: собственный вектор определяется с точностью до ненулевого сомножителя!). Последний вектор имеет длину равную $ 1_<> $. ♦

1. Собственное число Перрона-Фробениуса всегда простое для характеристического полинома матрицы $ A_<> $. Отсюда следует, что собственный вектор Перрона-Фробениуса определяется единственным образом — с точностью до домножения на положительный скаляр.

2. Любой собственный вектор положительной матрицы $ A_<> $, не соответствующий собственному числу Перрона-Фробениуса, не может состоять исключительно только из положительных элементов. Иными словами, хотя бы одна компонента такого вектора должна быть либо отрицательной либо мнимой.

3. Для собственного числа Перрона-Фробениуса справедливо неравенство $$ \min_> \sum_^n a_ \le \lambda_ <+>\le \max_> \sum_^n a_ \ . $$

4. Собственное число Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $ совпадает с собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A^ <\top>$.

Какие из перечисленных свойств можно распространить на случай неотрицательных матриц ? Каждую такую матрицу можно рассматривать как предел последовательности (строго) положительных матриц. Воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости собственных чисел матрицы от ее элементов, можем сделать вывод, о том, что для неотрицательной матрицы $ A_<> $ всегда найдется вещественное неотрицательное собственное число, которое будет являться максимальным по модулю среди всех собственных чисел матрицы. Другое дело, что в данном случае — в отличие от случая положительных матриц — такое мажорирующее собственное число может оказаться не единственным.

Пример. Спектр неотрицательной матрицы

$$ A=\left( \begin 0 & 1 \\ 1 & 0 \end \right) $$ состоит из чисел $ \lambda_1=+1 $ и $ \lambda_1=-1 $ одинакового модуля. ♦

Однако, по-прежнему, хотя бы одно неотрицательное вещественное число $ \lambda_ <+>$ со свойством $ \rho(A) = \lambda_ <+>$ существовать будет; более того, ему будет соответствовать неотрицательный собственный вектор $ \mathfrak X \ge \mathbb O $. Это число (вектор) по-прежнему называются числом (вектором) Перрона-Фробениуса 7) матрицы $ A_<> $.

Частным случаем неотрицательных матриц являются стохастические матрицы, т.е. неотрицательные матрицы, в которых сумма элементов каждой строки равна $ 1_<> $: $$ P=\left[p_\right]_^n, \\ge 0 \>_^n,\ \sum_^n p_ = 1 \ npu \quad j \in \ <1,2,\dots,n\>\ . $$

Теорема 20. Собственное число Перрона-Фробениуса стохастической матрицы равно $ 1_<> $. Этому собственному числу соответствует собственный вектор $ X=[1,1,\dots,1]^ <\top>$.

Доказательство существования собственного числа равного $ 1_<> $ и соответствующего ему собственного вектора $ X=[1,1,\dots,1]^ <\top>$ следует из равенства $$ P \left( \begin 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end \right) = \left( \begin 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end\right) \ . $$ Далее, из теоремы Гершгорина следует, что любое собственное число $ \lambda_<>\in \mathbb C $ стохастической матрицы должно удовлетворять неравенству $$|\lambda — p_|\le \sum_ |p_|=1-p_ $$ хотя бы при одном $ j_<> $. Воспользовавшись следствием к неравенству треугольника получаем: $$|\lambda| — |p_|\le |\lambda — p_| \le 1-p_ \ \Rightarrow \ |\lambda| \le 1 \ . $$ ♦

Методы вычисления характеристического полинома

Вычисление коэффициентов характеристического полинома матрицы $ A_<> $ непосредственным разложением определителя $ \det (A-\lambda_<> E) $ на $ n!_<> $ слагаемых — крайне неэффективно. Элементами этого разложения являются выражения, полиномиально зависящие от параметра $ \lambda_<> $. На каждом этапе вычислений мы получаем проблему символьных вычислений: хранения таких полиномов и действий над ними.

Основной метод вычисления числовых определителей — метод Гаусса — также неэффективен в приложении к вычислению определителя, элементы которого зависят от параметра. Источником вычислительных проблем является неудобное расположение переменной $ \lambda_<> $ — на главной диагонали матрицы. Первый же шаг метода Гаусса приводит к делению на элемент $ a_ <11>— \lambda $, и, в дальнейшем, элементы преобразованной матрицы будут уже не полиномами, а рациональными функциями относительно $ \lambda_<> $. Следующие шаги метода приводят к возрастанию степеней знаменателей. Необходимость в организации хранения рациональных функций и программировании действий с ними кажется тем более неоправданной, если вспомнить, что окончательный ответ — выражение для $ \det (A-\lambda_<> E) $ — должно быть полиномом по $ \lambda_<> $; т.е. знаменатели дробей в конечном ответе сократятся.

А в качестве усугубляющего положение обстоятельства «на заднем плане» маячит проблема точности вычислений коэффициентов характеристического полинома — чувствительность его корней к возмущению его коэффициентов бывает весьма высокой.

Какой выход предлагается? — Предварительно преобразовать определитель $ \det (A-\lambda_<> E) $ к виду, когда переменная $ \lambda_<> $ оказывается «выметенной» с диагонали на крайний ряд (в столбец или в строку). При этом допускается увеличение размеров (порядка) определителя. Такое представление дает возможность разложения определителя по этому исключительному ряду, и, тем самым, позволяет свести задачу к вычислению числовых определителей — а уж для этой задачи применение метода Гаусса вполне эффективно.

Метод Леверье

Метод основан на формуле (см. следствие к теореме $ 7 $ ☞ ЗДЕСЬ ): $$ \operatorname (A^k)=\lambda_1^k+\dots+\lambda_n^k=s_k \ , $$ т.е. след $ k_<> $-й степени матрицы $ A_<> $ равен $ k_<> $-й сумме Ньютона ее характеристического полинома $ f(\lambda)=\det (A-\lambda E ) $. Вычисляем последовательные степени матрицы $ A_<> $: $$s_1=\operatorname (A),\ s_2=\operatorname (A^2),\ \dots, s_n=\operatorname (A^n) \ .$$ Неизвестные коэффициенты $ f(\lambda)=(-1)^n(\lambda^n+a_1\lambda^+ \dots+a_n) $ находим по рекурсивным формулам Ньютона: $$ a_1=-s_1, a_2=-(s_2+a_1s_1)/2, $$ $$ a_k=-(s_+a_1s_+a_2s_+\dots+a_s_1)/k \ npu \ k \le n. $$ Очевидно, что не имеет смысла вычислять все элементы матрицы $ A^ $ — достаточно обойтись лишь элементами ее главной диагонали.

Пример [Леверье]. Найти характеристический полином матрицы

$$ A=\left(\begin -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \\ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \\ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \\ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 \end \right) \ . $$

Решение. $$ A^2=\left(\begin 30.91795128&-30.56848188&2.878480155&0.0031325713\\ -4.705449283&164.6764010&-141.3504639&-0.4143169528\\ 0.3341843103&-106.6094396&193.1869924& -6.756396001\\ 0.0022236138&-1.904168948&-41.16923134& 309.9628536 \end \right), $$ $$ A^3=\left(\begin -179.0125092&431.2849919&-198.8601505& -0.9173897610\\ 66.38829278&-2562.954533& 2771.458834& -15.49709921\\ -23.08728044&2090.291485&-3124.010318& 156.9329019\\ -0.649145142&-71.21907809&956.2502143& -5463.723497 \end \right), $$ $$ A^4=\left(\begin 1100.720103& \ast& \ast& \ast \\ \ast& 42332.23816& \ast& \ast \\ \ast& \ast& 52669.62534& \ast \\ \ast& \ast& \ast& 96355.91518 \end \right) \ . $$ Вычисляем следы матриц: $$s_1=-47.888430,\ s_2=698.7441983,\ s_3=-11329.70086,\ s_4= 192458.4988 \ ,$$ и по формулам Ньютона получаем: $$a_1= 47.888430,\ a_2 = 797.278764_ <\displaystyle 8>,\ a_3 = 5349.45551_<\displaystyle 3>,\ a_4 = 12296.550_ <\displaystyle 68>\ . $$ ♦

После нахождения коэффициентов характеристического полинома можно найти его корни каким-либо 8) методом. Если $ \lambda_<\ast>^<> $ — одно из собственных чисел, то для нахождения соответствующего собственного вектора воспользуемся алгоритмом из ☞ ПУНКТА. Предположив дополнительно, что это собственное число простое 9) , обозначим $$ f_<\ast>(\lambda)= f(\lambda)/(\lambda-\lambda_<\ast>)=(-1)^n(\lambda^ +p_1\lambda^+\dots+p_\lambda+p_) $$ т.е. частное от деления $ f(\lambda_<>) $ на $ \lambda-\lambda_ <\ast>$. Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ будет собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_<\ast>^<> $. Как правило, собственным вектором можно взять комбинацию

Степени матрицы $ A_<> $ уже нами посчитаны при вычислении коэффициентов характеристического полинома.

Пример. Для приведенного выше примера находим собственные числа:

$$ \lambda_1=-17.86326,\ \lambda_2=-17.15242,\ \lambda_3=-7.57404,\ \lambda_4= -5.29869 \ . $$ Коэффициенты $ f_1(\lambda) $ можно определить по схеме Хорнера: $$ \begin &1 & 47.888430 & 797.2787648 & 5349.455513 & 12296.55068 \\ \hline -17.86326 & 1 & \underbrace<30.025170>_>& \underbrace<260.9313465>_> &\underbrace<688.371028>_>& \approx 0 \\ \end $$ Собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_ <1>$, будет $$\left[ -0.0256_<\displaystyle 67>,\ 0.21938_<\displaystyle 0>,\ -0.24187_<\displaystyle 1>,\ 1.044526 \right]^<^<\top>> \ .$$ ♦

Теорема 21. Характеристический полином явно выражается через суммы Ньютона с помощью следующего представления:

$$ f(\lambda)=\frac<1>\left| \begin s_1 &1 & & & &\\ s_2&s_1& 2 & &\mathbb O & \\ s_3&s_2&s_1&3& & \\ \vdots& & & \ddots &\ddots & \\ s_n&s_& s_ & \dots &s_1&n \\ \lambda^n&\lambda^&\lambda^& \dots &\lambda&1 \end \right|_ <(n+1)\times (n+1)>\ . $$

Биографические заметки о Леверье ☞ ЗДЕСЬ.

Метод Крылова

Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=\left[ y_<1>^<[0]>,\dots,y_^ <[0]>\right]^<^<\top>> \in \mathbb C^n $. Cоставим итерационную векторную последовательность $$ Y_1=A\cdot Y_0,\ Y_2=A\cdot Y_1, \dots,\ Y_=A\cdot Y_ \ . $$

Теорема 22. Определитель

$$ \det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_&Y_\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^&\lambda^n \end \right]_ <(n+1)\times (n+1)>$$ совпадает — с точностью до постоянного множителя — с характеристическим полиномом матрицы $ A_<> $. Здесь $ |_<> $ означает конкатенацию.

Доказательство. Легко видеть, что $$ Y_K=A^KY_0 \quad npu \quad K \in \ <1,\dots,n\>\ . $$ Если $$ f(\lambda)=\det(A-\lambda E) =(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^+a_2 \lambda^+\dots+a_n \ , $$ то по теореме Гамильтона-Кэли: $$ (-1)^n A^n+a_1A^+\dots+a_nE=\mathbb O_ \ . $$ Это равенство останется справедливым и после умножения его на произвольный вектор, в том числе на $ Y_ <0>$: $$ (-1)^n A^n\cdot Y_0+a_1A^ \cdot Y_0 +\dots+a_n\cdot Y_0=\mathbb O_ \iff $$ $$ \iff \quad (-1)^n Y_n+a_1Y_ +\dots+a_nY_0=\mathbb O \ . $$ Последнее равенство представляет линейную систему относительно неизвестных коэффициентов характеристического полинома. Можно решать ее по формулам Крамера, но мы пойдем другим путем. Дополним эту систему тождеством $ f(\lambda)=(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^+a_2 \lambda^+\dots+a_n $. Рассмотрим получившуюся систему как линейную однородную относительно столбца $ \left[ a_n,a_,\dots,a_1,1\right]^ <\top>$. Поскольку эта система имеет нетривиальное решение, то ее определитель должен равняться нулю: $$ 0=\det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_&(-1)^nY_\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^&(-1)^n\lambda^n-f(\lambda) \end \right]= $$ (представляем последний столбец в виде суммы двух столбцов и используем свойство 5 определителя) $$ =\det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_&(-1)^nY_\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^&(-1)^n\lambda^n \end \right]-f(\lambda) \det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_ \end \right] \ . $$ Таким образом, $$ f(\lambda)=(-1)^n \frac<\det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_&Y_\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^&\lambda^n \end \right]><\det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_ \end \right]> \ , $$ если только знаменатель в этой дроби не обратится в нуль. ♦

Пример. Найти характеристический полином матрицы примера Леверье

$$ A=\left(\begin -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \\ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \\ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \\ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 \end \right) \ . $$

Решение. Возьмем $ Y_0=\left[ 1,0,0,0 \right]^ <\top>$. Имеем $$ \begin Y_1=A Y_0= & Y_2=AY_1= & Y_3=AY_2= & Y_4=AY_3= \\ \left(\begin -5.509882\\ 0.287865 \\ 0.049099 \\ 0.006235 \end \right), & \left(\begin 30.917951\\ -4.705449 \\ 0.334184 \\ 0.002223 \end \right), & \left(\begin -179.012509\\ 66.388293 \\ -23.087280\\ -0.649145 \end \right), & \left(\begin 1100.720101\\ -967.597333\\ 576.522644\\ -4.040153 \end \right)\ . \end $$ $$ \det \left[\begin Y_0&Y_<1>&Y_2& Y_<3>& Y_<4>\\ 1& \lambda&\lambda^2 &\lambda^<3>&\lambda^4 \end \right]= \left| \begin 1 & -5.509882 & 30.917951 & -179.012509 & 1100.720101 \\ 0 & 0.287865 & -4.705449 & 66.388293 & -967.597333\\ 0 & 0.049099 & 0.334184 & -23.087280 & 576.522644\\ 0 & 0.006235 & 0.002223 & -0.649145 & -4.040153 \\ 1 & \lambda & \lambda^2 & \lambda^3 & \lambda^4 \end \right|= $$ $$ =0.348621 \lambda^4+16.694915\lambda^3+277.948166\lambda^2+1864.932835\lambda+4286.836454 = $$ $$ =0.348621 \left(\lambda^4+47.888430\lambda^3+797.27876_<\displaystyle 3>\lambda^2+5349.4555_<\displaystyle 0>\lambda+12296.550_ <\displaystyle 5>\right) \ . $$ ♦

После нахождения характеристического полинома можно найти его корни каким-либо 10) методом. Пусть $ \lambda_<\ast>^<> $ — одно из собственных чисел, и оно — простое; тогда для нахождения соответствующего собственного вектора можно воспользоваться тем же приемом, что был задействован в предыдущем ПУНКТЕ. Вычислим 11) частное от деления $ f(\lambda_<>) $ на $ \lambda-\lambda_ <\ast>$ $$ f_<\ast>(\lambda)= f(\lambda)/(\lambda-\lambda_<\ast>)=(-1)^n(\lambda^ +p_1\lambda^+\dots+p_\lambda+p_) \ . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ будет собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_<\ast>^<> $. Но тогда и произвольная комбинация столбцов этой матрицы тоже будет собственным вектором (если только не обратится в нулевой вектор). В частности, это относится и к комбинации, записываемой в матричном виде $$ (-1)^n f_<\ast>(A) Y_0 = A^Y_0 +p_1A^Y_0+\dots+p_Y_0=Y_+p_1Y_+\dots+p_Y_0 \ . $$ А комбинируемые векторы уже посчитаны.

Теперь обсудим исключительные случаи. При неудачном выборе $ Y_ <0>$ определитель $$ \det \left[\begin Y_0&Y_<1>&\dots&Y_ \end \right] $$ может обратиться в нуль. Эта неприятность обязательно произойдет если, например, наш выбор пал на вектор $ Y_0 $, совпадающий с собственным вектором матрицы $ A_<> $. Вероятность такого события — нулевая. В общем же случае, трудно ожидать, чтобы $ n_<> $ почти произвольных столбцов $ Y_0,Y_<1>,\dots,Y_ $ оказались линейно зависимыми — если только сама матрица $ A_<> $ не обладает «скрытым дефектом» — типа рассмотренного в следующем примере.

Пример. Найти характеристический полином матрицы

Решение. При любом выборе $ Y_0 $ векторы $ \ $ оказываются линейно зависимыми: $$ Y_0= \left(\begin 1\\ 0\\ 0 \end \right), Y_1= \left(\begin 2\\ 1\\ 1 \end \right), Y_2= \left(\begin 6\\ 5\\ 5 \end \right),\dots ; Y_0= \left(\begin 1\\ 1\\ 1 \end \right),\ Y_1= \left(\begin 4\\ 4\\ 4 \end \right),\dots $$ Объяснение этого феномена состоит в том, что для матрицы $ A_<> $ ее аннулирующий полином имеет степень меньшую ее порядка: $$ A^2-5\ A+4 E = \mathbb O \ . $$ Домножение этого равенства на произвольный столбец $ Y_0 $ и доказывает линейную зависимость системы $ \ $. ♦

Такая ситуация возможна только в случае, когда характеристический полином матрицы $ A_<> $ имеет кратные корни (в рассмотренном выше примере $ \lambda_<>=1 $ являлся двойным корнем $ \det (A-\lambda_<> E) $); она исключительно редко встречается на практике.

Поиск всех собственных чисел

Существуют методы нахождения спектра матрицы, не требующие предварительного построения характеристического полинома.

QR-алгоритм

Этот алгоритм основан на QR-разложении матрицы $ A $.

Теорема 23. Спектр матрицы $ A $ совпадает со спектром матрицы $ P^ <\top>A P $ при произвольной ортогональной матрице $ P $.

Доказательство. $$ \det (P^ <\top>A P-\lambda E)=\det (P^ <\top>A P- \lambda P^ <\top>E P)=\det P^ <\top>(A -\lambda E ) P = \det (A -\lambda E ) P P^ <\top>= \det (A -\lambda E ) \, . $$ ♦

Пусть QR-разложение матрицы $ A $ имеет вид $$ A=Q_1R_1 \, , $$ где $ Q_1 $ — ортогональная, а $ R_1 $ — верхнетреугольная матрицы. Тогда матрица $$ A_2=R_1Q_1 $$ имеет тот же спектр, что и матрица $ A $. Действительно, поскольку $$ A_2=Q_1^ <\top>A Q_1 , $$ то сработает предыдущая теорема. Вычислим QR-разложение матрицы $ A_2 $ $$ A_2=Q_2R_2 $$ и переставим местами матрицы этого произведения: $$ A_3=R_2Q_2 \, . $$ Матрица $$ A_3= Q_2^ <\top>A_2 Q_2=Q_2^ <\top>Q_1^ <\top>A Q_1 Q_2 $$ продолжаем иметь те же собственные числа, что и матрица $ A $. Утверждается, что бесконечная последовательность матриц $$ \Q_\>_^ <\infty>$$ как правило, сходится к матрице $ A_ <\infty>$, которая будет верхнетреугольной.

Теорема 24 [4]. Если все собственные числа матрицы $ A $ различны по модулю, то матрица $ A_ <\infty>$ является верхнетреугольной и на ее главной диагонали стоят собственные числа матрицы $ A $.

Пример. Найти все собственные числа матрицы $$ A=\left(\begin 2 & 3 &-1\\ 7 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \end \right) \, . $$

Решение. $$ A_1=A\approx \underbrace<\left(\begin 0.272165 & 0.759752 & 0.590511 \\ 0.952579 & -0.299517 & -0.053683 \\ -0.136083& -0.577119 & 0.805242 \end \right)>_ \underbrace<\left(\begin 7.348469 & 3.946400 & 2.041241\\ 0 & 2.534941 & -3.966781 \\ 0 & 0 & 2.469409 \end \right)>_ $$ Теперь переставляем матрицы произведения местами и строим QR-разложение получившейся матрицы: $$ \quad \Rightarrow \quad A_2 = R_1Q_1\approx \left(\begin 5.481481 & 3.222957 & 5.771191 \\ 2.954542 & 1.530046 & -3.3303021 \\ -0.336044 & -1.425143 & 1.988472 \end \right)\approx $$ $$ \approx\underbrace<\left(\begin -0.878992 & 0.022595 & 0.476300\\ 0.473781 & -0.154267 & -0.867026 \\ 0.053886 & -0.987771 & 0.146304 \end \right)>_ \underbrace<\left(\begin -6.236096& -3.634658 & -3.387848\\ 0 & 1.244502 & -1.319999\\ 0 & 0 & 5.927198 \end \right)>_ $$ Продолжим процесс: $$ \quad \Rightarrow \quad A_3 = R_2Q_2\approx \left(\begin 7.020952& 3.766220 & -0.314568\\ -0.660752 & 1.111870 & -1.272137\\ 0.319398 & -5.854713 & 0.867177 \end \right) \approx $$ $$ \approx \underbrace<\left(\begin -0.994581 & -0.065879 & 0.080426 \\ 0.093601 & -0.230749 & 0.968501 \\ -0.045246 & 0.970780 & 0.235665 \end \right)>_ \underbrace<\left(\begin -7.059205 & -3.376839 & 0.154554 \\ 0 & -6.188319 & 1.156106 \\ 0 & 0 & -1.053002 \end \right)>_ $$ Замечаем тенденцию убывания элементов матриц $ \ $, стоящих под главной диагональю. $$ \Rightarrow \dots \Rightarrow A_ <10>\approx \left(\begin \mathbf<6.>_ <246022>& 2.758769 & -2.160057\\ -0.0467437 & \mathbf<4.4>_ <09292>& -5.341014\\ 0.000018 &-0.005924 & \mathbf<-1.6>_ <55314>\end \right) \approx $$ $$ \underbrace<\left(\begin -0.999972 & -0.007483 & 0.000007 \\ 0.007483 & -0.999971 & 0.001339 \\ -0.000003 & 0.001339 & 0.999999 \end \right)>_> \underbrace<\left(\begin -6.246197 & -2.725694 & 2.120031\\ 0 & -4.429817 & 5.354807 \\ 0 & 0 & -1.662479 \end \right)>_> \, . $$ Матрица $ Q_j $ уже близка к диагональной (с элементами $ \pm 1 $), верхнетреугольность матрицы $ A_j $ также заметна, но точность приближения еще не достаточна. $$ \Rightarrow \dots \Rightarrow A_ <20>\approx \left(\begin \mathbf<6.17>_ <5608>& 2.805821 & -2.020513 \\ -0.001776 & \mathbf<4.48>_ <4917>& -5.388407\\ 0 & 0 & -\mathbf <1.660525>\end \right) \approx $$ Точность приближения минимильного собственного числа существенно выше точностей приближения остальных чисел. $$ \Rightarrow \dots \Rightarrow A_ <30>\approx \left(\begin \mathbf<6.172>_ <778>& 2.807524 & -2.015076\\ -0.000073 & \mathbf<4.487>_ <747>& -5.390442\\ 0 & 0 & -\mathbf <1.660525>\end \right) \, . $$ ♦

К сожалению условие теоремы достаточно ограничительно: собственные числа вещественной матрицы $ A $ могут оказаться и мнимыми, но тогда они одинаковы по модулю.

Как это обстоятельство сказывается на структуре матрицы $ A_ <\infty>$ и дальнейшее развитие метода ☞ ЗДЕСЬ

Частичная проблема собственных чисел

Задача. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы $ A_<> $.

Предположение . Будем считать сначала, что максимальное по модулю собственное число матрицы единственно.

Излагаемый ниже метод поиска этого собственного числа называется методом степенны́х итераций 12) .

Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=\left[ y_<1>^<[0]>,\dots,y_^ <[0]>\right]^<^<\top>> \in \mathbb C^n $. Cоставим такую же итерационную векторную последовательность, как и в методе Крылова $$ Y_1=A\cdot Y_0,\ Y_2=A\cdot Y_1, \dots,\ Y_=A\cdot Y_,\dots , $$ (только теперь, в отличие от метода Крылова, считаем ее неограниченно продолжающейся) и выделим последовательность первых элементов этих векторов: $$y_<1>^<[1]>,y_<1>^<[2]>,\dots,y_<1>^<[K]>,\dots $$

Теорема 25. Как правило, предел

$$ \lim_\frac^<[K+1]>>^<[K]>> $$ существует и он равен максимальному по модулю собственному числу матрицы $ A_<> $.

Доказательство. Перенумеруем собственные числа $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $ матрицы $ A_<> $ так, чтобы $ \lambda_ <1>$ обозначило максимальное по модулю: $$|\lambda_1|= \max_> |\lambda_j| \ , \quad |\lambda_1|>|\lambda_j| \quad npu \quad j\in \ <2,\dots,n\>\ . $$ Очевидно, $$ Y_=A^K\cdot Y_0 \ ; $$ отсюда следует, что любой элемент столбца $ Y_ $ может быть линейно выражен через $ \lambda_<1>^K,\dots,\lambda_n^K $. В частности, это справедливо и для первого элемента: $$ y_<1>^<[K]>=C_1\lambda_1^K+C_2\lambda_2^K+\dots+C_n\lambda_n^K \ . $$ В этом представлении $ \_^n $ — будут константами из $ \mathbb C_<> $ в случае если все собственные числа являются простыми, и полиномами из $ \mathbb C[K] $ в случае, если имеются кратные собственные числа. Действительно, в первом случае существует базис пространства $ \mathbb C^n $, состоящий из собственных векторов матрицы $ A_<> $: $$ A<\mathfrak X>_j=\lambda_j<\mathfrak X>_j \quad npu \quad j\in \ <1,\dots,n\>. $$ Вектор $ Y_0 $ можно разложить по этому базису: $$Y_0=\alpha_1<\mathfrak X>_1+\dots+\alpha_n<\mathfrak X>_n \ .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_<> $ получаем : $$\begin Y_1=AY_0&=& \alpha_1 \lambda_1<\mathfrak X>_1+\dots+\alpha_n\lambda_n<\mathfrak X>_n, \\ \dots & & \dots \\ Y_K=A^KY_0&=& \alpha_1 \lambda_1^K<\mathfrak X>_1+\dots+\alpha_n\lambda_n^K<\mathfrak X>_n \end $$ откуда и следует доказываемое равенство.

Во втором случае — когда имеются кратные собственные числа матрицы $ A_<> $ — придется применять «тяжелую артиллерию» в виде жордановой нормальной формы; см. теорему $ 5 $ ☞ ЗДЕСЬ. Для простоты рассуждений, будем в оставшейся части доказательства считать все собственные числа матрицы различными. Имеем тогда $$ \lim_ \frac^<[K+1]>>^<[K]>>= \lim_ \frac <\lambda_1^\left[C_1+ C_2(\lambda_2/\lambda_1)^+\dots+ C_n(\lambda_n/\lambda_1)^ \right]> <\lambda_1^\left[C_1+C_2(\lambda_2/\lambda_1)^+\dots+ C_n(\lambda_n/\lambda_1)^ \right]> =\lambda_1 $$ поскольку $$ \lim_ \left| \frac<\lambda_j> <\lambda_1>\right|^K = 0 \quad npu \quad j\in \ <2,\dots,n\>\ . $$ Исключительным случаем является ситуация $ C_1=0 $, в этом случае утверждение теоремы может оказаться несправедливым 13) . ♦

Как правило, вектор

$$ \left[1, \lim_\frac^<[K]>>^<[K]>>,\dots, \lim_\frac^<[K]>>^<[K]>>\right]^<^<\top>> $$ будет собственным, принадлежащим максимальному по модулю собственному числу матрицы $ A_<> $.

Пример. Для матрицы

$$ A=\left(\begin 2 & 3 &-1\\ 7 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & -4 \end \right) $$ найти максимальное по модулю собственное число и принадлежащий ему собственный вектор.

Решение. Возьмем в качестве стартового столбца $ Y_0=[1,0,0]^<^<\top>> $. Имеем: $$ Y_1=AY_0=\left( \begin 2 \\ 7 \\ -1 \end \right),\ Y_2=AY_1=\left( \begin 26 \\ 32 \\ -12 \end \right),\ Y_3=AY_2=\left( \begin 160 \\ 242 \\ -42 \end \right),\dots, $$ $$ Y_<19>=\left( \begin <\scriptstyle 4259667747238636>\\ <\scriptstyle 6435097324667832>\\ <\scriptstyle -1571397155909260>\end \right),\ Y_<20>=AY_<19>=\left( \begin <\scriptstyle 29396024624390028>\\ <\scriptstyle 44408774736946168>\\ <\scriptstyle -10844273772937260>\end \right) $$ Смотрим на отношения первых элементов векторов: $$ \begin K & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 15 & \dots & 19 \\ \hline y_<1>^<[K+1]>/y_<1>^ <[K]>& 2 & 13 & 6.153846 & 6.8 & 7.180147 & \dots & 6.900726 & \dots & \mathbf<6.90101>_ <\displaystyle 3>\end $$ Далее, в соответствии со следствием, собственный вектор, принадлежащий найденному числу $$ \approx \left[1, \frac^<[20]>>^<[20]>>,\frac^<[20]>>^<[20]>>\right]^<^<\top>> \approx \left[1, 1.51070_<\displaystyle 6>, -0.368902 \right]^<^<\top>> $$ ♦

Теперь обсудим исключительные случаи алгоритма.

1. Нарушение сходимости итерационного процесса за счет неудачного выбора стартового вектора. Если в качестве $ Y_ <0>$ оказался случайно взят собственный вектор $ \mathfrak X_ <\ast>$ матрицы $ A_<> $, принадлежащий произвольному ее собственному числу $ \lambda_ <*>$, то предел последовательности из теоремы будет равен именно этому числу; если при этом $ |\lambda_ <*>| \ne \max_ <1\le j \le n>| \lambda_j | $, то мы выйдем за пределы смысла выражения «как правило». Понятно, что вероятность настолько плохого выбора нулевая, но и выбор $ Y_0 $ вблизи $ \mathfrak X_ <\ast>$ также может существенно замедлить скорость сходимости. Поэтому если возникает ситуация медленной «стабилизации» значащих цифр в десятичном приближении собственного числа, попробуйте сменить начальный вектор.

2. Нарушение условия предположения , выдвинутого в начале пункта: максимальное по модулю собственное число неединственно.

Пример. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы примера Леверье

$$ A=\left(\begin -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \\ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \\ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \\ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 \end \right) \ . $$

Решение. Для столбца $ Y_0=[1,0,0,0]^<^<\top>> $ имеем $$y_<1>^<[100]>/y_<1>^<[99]>=-17.8_ <\displaystyle 3113>\ ,$$ т.е. на $ 100 $-й итерации получаем лишь $ 3_<> $ истинные десятичные цифры в представлении собственного числа. При этом компонентами векторов $ Y_ $ являются числа порядка $ 10^ <123>$. Если мы посмотрим на ответ примера Леверье, то увидим, что имеются два собственных числа матрицы, близких по модулю. ♦

К сожалению, вероятность того факта, что у случайно выбранной матрицы два ее собственных числа будут иметь одинаковый модуль становится ненулевой если эта матрица выбирается из множества вещественных матриц. Дело в том, что в этом случае ее характеристический полином будет иметь вещественные коэффициенты, а мнимые корни такого полинома всегда пáрные — для любого невещественного корня $ \lambda_<\ast>^<> $ полинома, комплексно сопряженное к нему число $ \overline<\lambda_<\ast>> $ также будет корнем. При этом $ |\lambda_<\ast>|= |\overline<\lambda_<\ast>> | $.

Пример. Для матрицы

Предположение 2 . Пусть два максимальных по модулю собственных числа матрицы разнесены по величине, например $$ |\lambda_1| > | \lambda_2 | > | \lambda_ j | \quad npu \ j \in \ <2,\dots, n \>. $$

Обобщение степенного метода основывается на использовании последовательностей из каких-то двух компонент векторов $ Y_=AY_K $, например, наряду с уже использованной выше последовательностью первых компонент $$y_<1>^<[1]>,y_<1>^<[2]>,\dots,y_<1>^<[K]>,\dots $$ возьмем еще и аналогичную для вторых: $$y_<2>^<[1]>,y_<2>^<[2]>,\dots,y_<2>^<[K]>,\dots $$

Теорема 26 [Эйткен]. При практически любом выборе стартового вектора $ Y_0 \ne \mathbb O $ для последовательности

Доказательство. Построим квадратное уравнение $$ p_0x^2+p_1x+p_2 = 0 $$ имеющее корнями $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $. Если существует базис рпостранства $ \mathbb C^n $ $$Y_0=\alpha_1<\mathfrak X>_1+\alpha_2<\mathfrak X>_2+\dots+\alpha_n<\mathfrak X>_n \ .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_<> $ получаем : $$\begin Y_K=& \alpha_1 \lambda_1^K<\mathfrak X>_1 &+\alpha_2 \lambda_2^K<\mathfrak X>_2+\dots &+\alpha_n\lambda_n^K<\mathfrak X>_n, \\ Y_=& \alpha_1 \lambda_1^<\mathfrak X>_1 &+\alpha_2 \lambda_2^<\mathfrak X>_2+\dots &+\alpha_n\lambda_n^<\mathfrak X>_n,\\ Y_=& \alpha_1 \lambda_1^<\mathfrak X>_1 & +\alpha_2 \lambda_2^<\mathfrak X>_2+\dots &+\alpha_n\lambda_n^<\mathfrak X>_n. \end $$ Отбрасываем из правых частей равенств слагаемые порядков возрастания ниже, чем $ \lambda_2^K, \lambda_2^, \lambda_2^ $ соответственно, домножаем получившиеся приближенные равенства $$\begin Y_K & \approx \alpha_1 \lambda_1^K<\mathfrak X>_1 &+\alpha_2 \lambda_2^K<\mathfrak X>_2, & \color \times p_2 \\ Y_& \approx \alpha_1 \lambda_1^<\mathfrak X>_1 &+\alpha_2 \lambda_2^<\mathfrak X>_2, & \color \times p_1\\ Y_ & \approx \alpha_1 \lambda_1^<\mathfrak X>_1 & +\alpha_2 \lambda_2^<\mathfrak X>_2, & \color \times p_0 \end $$ и складываем: $$ p_2 Y_K + p_1Y_ + p_0 Y_ \approx \mathbb O \, . $$ В получившемся векторном равенстве выбираем первые две компоненты: $$ \left\< \begin p_2 y_1^ <[K]>+ p_1 y_1^ <[K+1]>+ p_0 y_1^ <[K+2]>\approx 0 \, , \\ p_2 y_2^ <[K]>+ p_1 y_2^ <[K+1]>+ p_0 y_2^ <[K+2]>\approx 0 \, , \end \right. $$ которые и позволят определить приближенное значение набора $ p_0,p_1,p_2 $. С точностью до числового сомножителя, искомый полином можно представить в виде определителя $$ p_0x^2+p_1x+p_2 \approx \left|\begin y_1^ <[K]>& y_1^ <[K+1]>& y_1^ <[K+2]>\\ y_2^ <[K]>& y_2^ <[K+1]>& y_2^ <[K+2]>\\ 1 & x & x^2 \end \right| \, . $$ Формулы Виета завершат доказательство. ♦

При выполнении условия предположения 2 имеет место равенство

Пример. Для матрицы

$$ A=\left(\begin 2 & 3 &-1\\ 7 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \end \right) $$ найти первые два по порядку убывания модулей собственных числа.

Задачи

Источники

[2]. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.Наука. 1970, с.93-94

[3]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ. 1960

[4]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989

Характеристический многочлен матрицы

Напомним, что характеристическим многочленом квадратной матрицы (n-го порядка) называется многочлен . Степень характеристического многочлена совпадает с порядком матрицы . Рассмотрим другие свойства характеристического многочлена.

1. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде

где — корни характеристического многочлена (собственные значения матрицы ) кратности соответственно, причем и .

Действительно, указанное разложение (7.24) имеет любой многочлен степени (см. следствие основной теоремы алгебры). Старший коэффициент характеристического многочлена вычисляется, разлагая определитель .

2. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде произведения инвариантных множителей характеристической матрицы

В самом деле, характеристическая матрица имеет нормальный диагональный вид (7.9): , так как . Наибольший общий делитель (старший коэффициент которого равен единице) единственного минора n-го порядка матрицы отличается от определителя только множителем , т.е. характеристический многочлен . Подставляя , получаем (7.25).

3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

В самом деле, пусть матрицы и подобны, т.е. существует такая матрица , что . Преобразуем характеристический многочлен матрицы по теореме 2.2 (об определителе произведения матриц) с учетом свойства 4 обратной матрицы:

что и требовалось показать.

4. Характеристический многочлен матрицы n-го порядка имеет вид

Минор k-го порядка , составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении одноименных строк и столбцов, называется главным минором. В формуле (7.26) коэффициент при равен сумме главных миноров k-го порядка, в частности, след матрицы — это сумма главных миноров 1-го порядка, определитель матрицы — это главный минор n-го порядка.

Поясним формулу (7.26). Пусть — i-й столбец матрицы , — i-й столбец единичной матрицы . В этих обозначениях запишем характеристический многочлен матрицы

Представим этот определитель в виде суммы определителей, используя его линейность по каждому столбцу. Получим

Разлагая определители, стоящие в фигурных скобках, по столбцам единичной матрицы, получаем главные миноры матрицы , например:

Таким образом, коэффициент при равен сумме главных миноров к -го порядка матрицы .

5. Подобные матрицы имеют: равные определители, равные следы, равные суммы главных миноров одного и того же порядка, совпадающие спектры.

В самом деле, подобные матрицы имеют равные характеристические многочлены (по свойству 3). У равных многочленов — одинаковые корни (т.е. спектры подобных матриц совпадают), а также равные соответствующие коэффициенты в (7.26), которые по свойству 4 выражаются через главные миноры матриц.

6. Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений (с учетом их кратности).

Действительно, характеристический многочлен можно разложить на множители (см. следствие основной теоремы алгебры):

где — корни многочлена (быть может, совпадающие). Отсюда . С другой стороны, по определению получаем