Характеристическое сопротивление четырехполюсника через коэффициенты уравнений четырехполюсника

№79 Характеристические параметры симметричного четырехполюсника.

Для симметричного четырехполюсника коэффициент A=D и система уравнений формы А имеет вид:

Характеристическим сопротивлением четырехполюсника Zc называется такое сопротивление нагрузки Z2=Zc, при котором входное сопротивление четырехполюсника со сто¬роны первичных выводов также равно сопротивлению нагрузки:

Установим связь между характеристическим сопротивлением Zc и коэффициентами четырeхполюсника А, В, С. Для этой цели преобразуем уравнения четырехполюсника:

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

где постоянная (коэффициент) передачи четырехполюсника

Вещественная часть коэффициента передачи α показывает, как изменяется модуль напряжения (тока) при переходе через четырехполюсник, поэтому называется коэффициентом затухания:

[Hп] или [Непер] – основная единица измерения затухания.

Затухание в 1Нп соответствует уменьшению модуля величины в е = 2,72 раза. На практике для измерения затухания сигналов применяется другая, более удобная для практики единица, а именно: 1 децибелл [дБ], которая определяется согласно уравнению:

Соотношение между единицами затухания: 1Нп = 8,086 дБ ; 1дБ = 0,115Нп.

Мнимая часть коэффициента передачи показывает, как изменяется фаза напряжения (тока) при переходе через четырехполюсник, поэтому называется коэффициентом фазы:

Характеристическое сопротивление Zc и коэффициент передачи g=α+jβ называются характеристическими параметрами четырехполюсника.

Выразим коэффициенты четырехполюсника через его характеристические параметры Zc и g.

Преобразуем уравнение связи между коэффициентами:

Решаем совместно полученные уравнения:

откуда следует, что

получим для коэффициентов:

С учетом этих выражений основные уравнения формы А получат окончательный вид:

Данная форма уравнений четырехполюсника используется в теории цепных схем и в теории электрических фильтров.

5.4. Собственные (характеристические) параметры четырехполюсника

5.4. Собственные (характеристические) параметры четырехполюсника

Собственное (характеристическое) сопротивление четырехполюсника. При передаче сигналов на большие расстояния электрическая цепь может состоять из большого числа каскадно включенных четырехполюсников. Основным требованием к передающей цепи является обеспечение минимальных потерь мощности передаваемого сигнала в самой цепи при условии, что мощность сигнала, выделяемая в нагрузке на приемном конце, должна быть максимально возможной.

Известно, что генератор сигналов с внутренним сопротивлением Zг, отдает максимальную мощность в такую нагрузку, сопротивление которой Zн согласованно с его внутренним сопротивлением, т.е. при Zг = Zн. Для выполнения этого условия необходимо обеспечить передачу максимальной мощности от генератора в четырехполюсник и передачу максимальной мощности от четырехполюсника в нагрузку. Это означает, что необходимо согласовать входное сопротивление четырехполюсникаZвх1 с внутренним сопротивлением генератора, т.е. выполнить условие Zвх1 = Zг и согласовать входное сопротивление четырехполюсника Zвх2 с сопротивлением нагрузки, т.е. выполнить условие Zвх2 = Zн. Если при включении четырехполюсника выполняется условие Zвх1=Zг и Zвх2 = Zн, то четырехполюсник будет работать в режиме согласованного включения.

Входные сопротивления четырехполюсника Zвх1 и Zвх2, при которых наступает режим согласованного включения, называются собственными (характеристическими) сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Zс1 и Zс2.

Выразим собственные сопротивления четырехполюсника через А-параметры. Для этого в выражениях (5.9) и (5.10) примем Zвх1 = Zг = Zс1 и Zвх2= Zн = Zс2 получим:

;

.

Совместное решение этих уравнений относительно Zс1 и Zс2 дает следующие выражения:

, (5.15)

. (5.16)

Учитывая связь А-параметров с параметрами холостого хода и короткого замыкания, которая определяется выражениями (5.11 – 5.14) уравнения (5.15) и (5.16) можно записать в следующем виде:

, (5.17)

. (5.18)

Из уравнений (5.15 – 5.18) видно, что собственные (характеристические) сопротивления четырехполюсника можно рассчитать с помощью А-параметров, или определить экспериментально методами холостого хода и короткого замыкания.

Пример. Резистивный четырехполюсник (рис. 5.2) с элементами Z1 = R1 = 2000 Ом, Z2= R2 = 1000 Ом включить согласованно с генератором, который имеет внутреннее сопротивление Zг, и нагрузкой Zн.

Рис. 5.2. Резистивный четырехполюсник.

Для согласования четырехполюсника с генератором и нагрузкой необходимо выполнить условие Zг = Zс1, и Zн = Zс2, следовательно, необходимо определить собственные сопротивления четырехполюсника со стороны генератора Zс1 и со стороны нагрузки Zс2. Эти величины можно рассчитать по формулам (5.15) и (5.16).

А-параметры, входящие в формулы (5.15) и (5.16), определим из матрицы, которую на основании рис. 5.2 и исходных данных можно записать в следующем виде:

,

откуда А11 = 3; А12 = 2000; A21 = 0,001; A22=1.

Зная А-параметры по формулам (5.17) и (5.18) определяем собственные сопротивления четырехполюсника:

Ом.

Ом.

На основании полученных расчетов следует, что для согласованного включения четырехполюсника необходимо внутреннее сопротивление генератора взять равнымZг=Zс1=2449 Ом, а сопротивление нагрузки Zн = Zс2 = 816.4 Ом.

Аналогичный результат можно получить, используя выражения (5.17) и (5.18). Для этого необходимо определить параметры холостого хода и короткого замыкания. Из схемы (рис.5.2) видно, что:

Ом Ом, тогда

Ом, а Ом

Ом и Ом.

Собственная (характеристическая) постоянная передачи четырехполюсника. При согласованном включении четырехполюсника потерь энергии на стыках соединения генератора с четырехполюсника и четырехполюсника с нагрузкой не будет. В этом случае потери энергии в цепи будут обусловлены только собственными потерями четырехполюсника, например, потерями энергии на его резистивных элементах.

Для оценки собственных потерь энергии в четырехполюснике вводят в качестве меры, характеризующей, как передает четырехполюсник энергию (с потерями или без), понятиехарактеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника. В качестве такой характеристики используют логарифмическое отношение мощностей на входе S1 = U1I1 и выходе S2 = U2I2 четырехполюсника, которое записывается в виде следующего выражения:

. (5.19)

Из определения следует, что все токи и напряжения должны измеряться или вычисляться в режиме согласованного включения четырехполюсника, т.е. приZг = Zс1 и Zн = Zс2. Так как

, (5.20)

то уравнение (5.19) примет вид:

. (5.21)

Для симметричного четырехполюсника Zс1 = Zс2 = Zс, тогда из (5.21) следует:

. (5.22)

Выясним физический смысл характеристической постоянной передачи четырехполюсника. Пусть на входе четырехполюсника действует гармонический сигнал и . Тогда для выходного сигнала можно записать следующие выражения и . Подставляя эти выражения для токов и напряжений в формулу (5.19) получим:

, (5.23)

(5.24)

называется собственным (характеристическим) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при согласованном включении четырехполюсника. Из выражения (5.22) видно, что для симметричного четырехполюсникаαс показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.

Отношение двух величин в масштабе натуральных логарифмов называют непером (Нп). Из выражения (5.24) следует, что ослабление будет равно одному неперу, если:

, откуда раз.

Следовательно, ослаблению в 1Нп соответствует уменьшение мощности в е2 = 7,39 раз.

На основании выражения (5.22) для симметричного четырехполюсника имеем:

или

т.е. ослаблению в 1Нп соответствует уменьшение напряжения или тока в е=2.718 раз.

На практике ослабление оценивают не в масштабе натуральных логарифмов (неперах), а в масштабе десятичных логарифмов – белах(Б) и децибелах(дБ).

При оценке ослабления в белах выражение (5.24) принимает вид:

(5.25)

Из этого выражения следует, что ослабление будет равно 1Б, если откуда S1/S2 = 10, т.е. ослаблению в 1Б соответствует уменьшение мощности в 10 раз.

Бел достаточно крупная единица, поэтому на практике используют в 10 раз меньшую единицу – децибел. Поскольку по определению 1Б = 10дБ, то при оценке ослабления в децибелах выражение (5.25) примет вид:

. (5.26)

Поскольку мощность пропорциональна квадрату напряжения или тока (S-U2, S-I2), то при оценке ослабления напряжений и токов в децибелах вместо формулы (5.26) используют выражение:

. (5.27)

Используя формулы пересчета натуральных логарифмов в десятичные можно установить, что 1Нп = 8.7дБ, а 1дБ = 0.115Нп.

Вычисление собственного (характеристического) ослабления несимметричного четырехполюсника поясним на примере.

Пример. Пусть несимметричный четырехполюсник включен в согласованном режиме. Мощность сигнала на его входе S1 = 1Вт, а на выходе S2 = 10мВт. Необходимо определить характеристическое ослабление четырехполюсника в децибелах по мощности.

Ослабление по мощности согласно формуле (5.26) составляет

Из выражения (5.23) видно, что второе слагаемое

(5.28)

определяет, как изменяются фазы напряжения и тока входного сигнала при передаче его через четырехполюсник, работающий в режиме согласованного включения и называетсясобственной (характеристической) фазой или фазовой постоянной четырехполюсника. Для симметричного четырехполюсника βс = φu1 – φu2 = φi1 – φi2 равна разности фаз входного и выходного напряжений или токов. Фазовая постоянная четырехполюсника измеряется в радианах(рад.) или градусах(град).

Характеристические параметры

При исследовании работы четырехполюсника в качестве различных устройств автоматики, телемеханики и связи удобно пользоваться характеристическими параметрами.

К характеристическим параметрам относятся: характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи.

Характеристическое сопротивление — это такое сопротивление, при подключении которого в качестве нагрузки входное сопротивление четырехполюсника становится равным соответственно характеристическому сопротивлению.

Выразим сопротивление через сопротивления ХХ и КЗ:

Характеристическое сопротивление при прямой и обратной передаче равно, так как ЧП симметричный:

; (16)

.

Пусть , тогда:

Проведем контрольный расчет характеристического сопротивления на частоте w = 5000 рад/с.:

Остальные значения характеристического сопротивления приведены в таблице (3).

Таблица 3 — Зависимость характеристических сопротивлений от частоты

ω, рад/с	f, Гц	, Ом
318.471
796.178
11484,77
18248,3

Характеристическая постоянная передачи ( )

Характеристическая постоянная передачи g_C оценивает потери мощности в четырёхполюснике, не зависит от направления передачи энергии через четырёхполюсник.

Аналогичный результат даёт расчёт и через входные сопротивления холостого хода и короткого замыкания:

,(21)

(22)

(23)

.(24)

Подставив выражения и в формулу (21) и проведя некоторые математические преобразования, получим:

((25)

Повторные параметры четырехполюсника

Повторным сопротивлением называется такое, при подключении которого в качестве нагрузки значение входного сопротивления ЧП становится равным значению нагрузочного. Следует отметить, что в симметричных четырехполюсниках повторные параметры совпадают с характеристическими.

Поскольку исследуемый ЧП — симметричный, повторное сопротивление при прямом и обратном направлении передачи одинаково и находится по формуле:

(27)

Повторная постоянная передачи характеризует соотношение между входными и выходными значениями тока, напряжения и мощности в режиме, при котором ЧП нагружен на соответствующее выбранному направлению передачи повторное сопротивление:

(28)

Проведём расчет на частоте w = 5000 рад/с., используя рассчитанные ранее A-параметры:

Рабочие параметры

Расчет входных сопротивлений

Входным сопротивлением четырёхполюсника называется то полное сопротивление четырёхполюсника переменному току, которое может быть измерено со стороны его входных зажимов при условии замыкания его выходных зажимов на заранее заданное сопротивление.

При прямом направлении передачи:

(29)

При обратном направлении передачи:

.(30)

Так как четырёхполюсник симметричный, то входные сопротивления при прямой и при обратной передаче совпадают и равны характеристическому сопротивлению.

Проведём расчет выражения (29) на частоте w = 5000 рад/с., используя рассчитанные ранее A-параметры и Z_Н = 1400 Ом:

Расчет сопротивлений передачи

Рассчитаем сопротивление передачи — это отношение входного сопротивления к выходному току.

При прямой передаче сопротивление рассчитывается по формуле:

(31)

При обратной передаче сопротивление рассчитывается по формуле (32).

(32)

Четырехполюсник симметричный, поэтому:

Проведём расчет на контрольной частоте w = 5000 рад/с.:

В ряде случаев при определении условий передачи энергии от входа к выходу четырёхполюсника требуется учитывать . Тогда используют приведённое сопротивление четырёхполюсника — отношение ЭДС генератора к току в нагрузке.

Для прямого направления передачи энергии приведенное сопротивление определяется по формуле:

(33)

Для обратного направления передачи энергии приведенное сопротивление определяется по формуле:

(34)

Так как четырёхполюсник симметричный, то приведенное сопротивление при прямой и при обратной передаче совпадают.

Проведём расчет на контрольной частоте w = 5000 рад/с.:

Для характеристики условий передачи мощности сигнала через ЧП используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности четырехполюсника — рабочую постоянную передачи.

При прямом направлении передачи сигнала рабочая постоянная передачи будет вычисляться по следующей формуле:

; (35)

Произведем расчет рабочей постоянной передачи на контрольной частоте w = 5000 рад/с.:

Вносимая постоянная передачи:

; (36)

Подставляя в формулу (36) значения рабочих постоянных передачи получаем:

Заключение

В ходе выполнения данного курсового проекта были рассчитаны элементы двухполюсников, составляющих исследуемый четырехполюсник; были рассчитаны собственные, повторные и рабочие параметры исследуемого четырехполюсника. Приведены графики частотной зависимости сопротивлений двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника; графики частотной зависимости сопротивлений холостого хода и короткого замыкания; графики частотной зависимости характеристических сопротивлений, характеристического ослабления, характеристической фазовой постоянной. Произведен расчет элементов эквивалентного активного четырехполюсника. Экспериментально была проверена частотная зависимость постоянного затухания исследуемого четырехполюсника при прямом направлении передачи.

Выполнение данного курсового проекта способствовало закреплению теоретических знаний по разделам «Двухполюсники» и «Четырехполюсники» курса теории линейных электрических цепей и появлению практических навыков, необходимых при эксплуатации проектировании, разработке и усовершенствовании устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.