Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения
Пусть дана однородная система
где 
— постоянные. Будем искать частные решения системы в виде 
, где 
и 
— неопределенные коэффициенты, которые следует найти. Уравнение
называется характеристическим уравнением системы. Отыскав корни этого уравнения, и поочередно подставляя их в исходную систему, определим коэффициенты .
Пример №1
Найти общее решение системы
Решение:
Система в данном случае имеет вид: 
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Для 
Решением этой системы будут, например, числа 
(здесь 
выбрано произвольно). Следовательно, 
. Для 
Решая эту систему, получим 
тогда 
.
Наконец, для 
Здесь можно положить 
и будем иметь 
.
Общее решение данной системы дифференциальных уравнений таково:
Пример №2
Решение:
Чаще системы дифференциальных уравнений записывают в виде: 
Составим характеристическое уравнение 
и найдем его корни 
. Так как эти корни комплексные, система уравнений будет иметь комплексные коэффициенты и даст комплексные значения для чисел 
и 
. В этом случае, учитывая возможность произвольного выбора 
и 
, целесообразно сразу положить 
и, записав функцию 
или, что то же самое, 
, найти функцию 
, используя первое уравнение системы: 
. Для этого найдем 
или 
. Подставляя 
и 
в первое уравнение системы, получим 
. Общим решением системы будет 
и 
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института