Характеристическое уравнение из передаточной функции онлайн

Характеристический многочлен онлайн

Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:

| A &#x2212 &#x03BB E |

где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .

Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:

тогда выражение A &#x2212 &#x03BB E имеет вид:

Наконец, нам нужно найти определитель:

Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от &#x03BB :

P &#x2006 ( &#x03BB ) = c _n &#x03BB &#x2006 n + c _{n &#x2212 1} &#x03BB &#x2006 n &#x2212 1 + . + c _i &#x03BB &#x2006 i + . + c ₁ &#x03BB &#x2006 + c ₀

Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.

Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.

Контрольная работа: Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а) ; б).

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

.

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

.

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) =.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:

, и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y , x и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

.

Если обозначить передаточные функции объекта как

и ,

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

Характеристическая функция имеет вид:

,

а характеристическое уравнение:

.

Корни этого уравнения равны:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

Зная, что по определению, , получим:

, тогда:

.

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

.

Практическая работа № 2

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

.

Определим передаточную функцию объекта:

W об( s ) .

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристическое выражение замкнутой системы:

;

Передаточные функции замкнутой системы:

— по заданию;

— по ошибке;

— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек

Корни характеристического уравнения

По заданным элементам матрицы вычисляется его характеристическое уравнение, и находятся его корни. Ограничение сверху — матрица не больше 4 на 4, так как только для уравнения 4 степени, создан калькулятор.

Чем хорош данный калькулятор? Тем что работает в поле комплексных чисел, то есть исходные данные могут быть и вещественными и мнимыми.

Кроме этого, кроме значений можно писать любое математическое уравнение, которое корректно вычислется универсальным калькулятором комплексных чисел, что очень упрощает работу

Для чего нужны характеристические уравнения?

— Приведение поверхности или кривой 2 порядка в канонический вид

— Исследование дифференциальных уравнений на устойчивость

— Определение Жордановой формы матрицы

и многое другое.

Рассмотрим несколько примеров:

Найти общее характеристическое уравнение и его корни, если дана матрица

Введя данные слева направо, сверху снизу мы получим следующий результат

Корни полинома 2, 3 и 6. Идет небольшая погрешность, в 15 знаке, но я считаю что это некритично.