Характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы

Квадратичные формы

Содержание:

Квадратичные формы и их определение

Определение. Квадратичной формой L (x₁, x₂, . x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из переменных, или произведением двух различных переменных, взятых с некоторым коэффициентом, то есть
(2.44)

Допускаем, что в квадратичной форме (2.44) a_ij — действительные числа. Распишем квадратичную форму (2.44), разбив слагаемые, содержащие произведения переменных, на две равные части:

Матрица
(2.45)

или A = _ij> (i, j = 1, 2, . n) является симметричной, так как a_ij = a_ji, называется матрицей квадратичной формы (2.44).

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
Если то квадратичную форму можно переписать в матричном виде L (x₁, x₂, . x_n) = X T AX.

Выражение X T AX представляет собой квадратичную форму в матричном виде.

Пример 1. Записать в матричном виде квадратичную форму

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид

А =

Значит,

Квадратичная форма называется канонической (или другими словами, имеет канонический вид), если все a_ij = 0, когда i ≠ j. Тогда квадратичная форма будет иметь вид

Рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Произвольная квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Доказательство. Пусть задана квадратичная форма (2.44) с матрицей (2.45) в базисе . Так как A — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица B такая, что.

Матрица B является матрицей перехода от базиса
(2.46)
к некоторому базису
. (2.47)

Примечание. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы В является условие В T ⋅ B = Е.

Пусть X и Y являются векторами-столбцами из координат вектора соответственно в базисах (2.46) и (2.47). Тогда X = BY и

или
(2.48)

Примечание. При доказательстве данной теоремы использовали транспонирование произведения матриц по формуле (СY) T = Y T ⋅ C T .

Заметим, что в канонической форме (2.48) λ₁, λ₂, . λ_n являются собственными числами матрицы A.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁ = 6, λ₂ = 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является .
Найдем ортогональную матрицу.

Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.

Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁ = 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂ = 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец является собственным вектором матрицы A. Столбец является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа. Сначала выделим полный квадрат при переменной x₁, коэффициент при которой отличен от нуля.

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные разными способами квадратичные формы имеют ряд общих свойств.

Сформулируем одно из этих свойств, которое выражает закон инерции квадратичных форм, и заключается в следующем: все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, имеют:
1) одно и то же число нулевых коэффициентов;
2) одно и то же число положительных коэффициентов;
3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Определение 1. Квадратичная форма L (x₁, x₂, . x_n) называется положительно определенной, если для всех действительных значений x₁, x₂, . x_n используется неравенство L (x₁, x₂, . x_n) > 0.

Определение 2. Если L (x₁, x₂, . x_n) является положительно определенной формой, то квадратичная формаL (x₁, x₂, . x_n) T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, . n) матрицы A были положительными (отрицательными).

Данную теорему приводим без доказательства.

Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде:

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей которая называется матрицей квадратичной формы (1.26).

Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду:

где — новые переменные, что линейно выражаются через (1.28), — собственные значения матрицы

Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).

Рассмотрим квадратичную форму где — матрица коэффициентов

Тогда квадратичную форму можно записать так:

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех действительных значений выполняется неравенство и отрицательной, если для всех действительных значений выполняется неравенство

Если положительно определена, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Решение примеров:

Пример 1.99

является отрицательно определенной.

Пример 1.100

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнения линии второго порядка

Решение. Уравнение линии запишем в виде в котором

Сложим характеристическое уравнение матрицы и найдем ее собственные значения.

или

Корни уравнения являются собственными значениями. Следует, уравнение линии преобразуется в вид или Полученная линия — гипербола.

Свойства квадратичной формы (1.30) связаны с собственными числами матрицы

Пример 1.101

Привести к каноническому виду уравнения линии

Решение. Группа старших членов этого уравнения квадратическую форму Ее матрица

Собственными значениями будут числа Следует квадратичная форма преобразуется к виду а данное уравнение — к виду или Это эллипс.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Квадратичные формы в матричной записи в математике

Квадратичные формы

Квадратичной формой от переменных называют сумму парных произведений переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

где все коэффициенты — действительные числа, причем . Т.е. матрица , составленная из этих коэффициентов, и называемая матрицей квадратичной формы, является симметрической. В матричной записи квадратичная форма имеет вид

где — матрица-столбец переменных :

Пример:

Представить квадратичную форму

в матричном виде.

► Для построения матрицы квадратичной формы следует учитывать, что ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 7,1,-5. Остальные элементы, в силу симметричности матрицы, равны половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Можно доказать, что если матрица невырожденная, то при линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид , и что любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к виду, который называется каноническим, содержащему только квадраты переменных:

Матрица квадратичной формы в каноническом виде является диагональной.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным. Однако полученные разными способами канонические формы имеют общие свойства.

Закон инерции квадратичных форм. Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы в каноническом виде не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Теорема 1.1. Ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она принимает положительное (отрицательное) значение. Например, форма

является положительно определенной, а форма

Критерий 1 знакоопределенности квадратичной формы. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были положительны (отрицательны).

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. где

Заметим, что у отрицательно определенной квадратичной формы знаки главных миноров чередуются, начиная со знака минус.

Пример:

Исследовать знакоопределенность квадратичной формы

► 1-й способ. Матрица квадратичной формы имеет вид

Составим для характеристическое уравнение:

Решая уравнение 3-й степени, получаем

Собственные числа положительны, следовательно, квадратичная форма является положительно определенной.

► 2-й способ. Вычислим главные миноры квадратичной формы

Все главные миноры положительны. По критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной.

► 3-й способ. Приведем квадратичную форму к каноническому виду с помощью алгебраических преобразований:

Последнее выражение представляет собой сумму квадратов и обращается в нуль только при В остальных случаях форма положительна.

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Если в действительном линейном пространстве $L_n$ фиксирован некоторый базис $B=(e_1, . e_n),$ то квадратичная форма $A(x, x)$ в этом базисе имеет вид $$A(x, x)=\sum\limits_^n a_x_ix_j,$$ где $$A=(a_)=\begina_<11>&a_<12>&\cdots&a_<1n>\\a_<21>&a_<22>&\cdots&a_<2n>\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_&a_&\cdots&a_\end$$ — матрица квадратичной формы и $x=x_1e_1+. +x_ne_n.$

Квадратичная форма $A(x, x),$ определенная в действительном линейном пространстве $L_n,$ называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого $x\in L_n\,\,\, (x\neq 0)$ $$A(x, x)>0 \qquad (

Пусть $A=(a_) — $ матрица квадратичной формы $A(x, x)$ и $$D_1=a_<11>, \quad D_2=\begina_<11>&a_<12>\\a_<21>&a_<22>\end,\,\,\cdots,\,\, D_n=\begina_<11>&a_<12>&\cdots&a_<1n>\\a_<21>&a_<22>&\cdots&a_<2n>\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_&a_&\cdots&a_\end -$$ последовательность главных миноров матрицы $A.$

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следуещее утверждение (критерий Сильвестра): для того, чтобы квадратичная форма $A(x, x)$ была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы $A$ были положительны, то есть $D_k>0,\,\,k=1, 2, \cdots, n.$

Можно доказать, что для того, чтобы квадратичная форма $A(x, x)$ была отрицательно определнной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства $(-1)^kD_k>0,\,\,k=1, 2, \cdots, n.$

Примеры.

В следующих задачах определить, какие квадратичные формы являются положительно или отрицательно определенными, а какие — нет.

4.218. $x_1^2+26x_2^2+10x_1x_2.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=\begin1&5\\5&26\end.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

Таким образом, все главные миноры ее матрицы $A$ были положительны, а это значит, что заданная квадратичная форма положительно определенная.

Ответ: положительно определенная.

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=\begin-1&1\\1&-4\end.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

Таким образом, выполняются неравенсва $(-1)^kD_k>0,\,\,k=1, 2, \cdots, n,$ то есть заданная квадратичная форма отрицательно определенная.

Ответ: отрицательно определенная.

4.223.$2x_4^2+x_1x_2+x_1x_3-2x_2x_3+2x_2x_4.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=\begin0&0,5&0,5&0\\0,5&0&-1&1\\0,5&-1&0&0\\0&0&0&2\end.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

Следовательно, квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной.

Ответ: общего вида.

Домашнее задание.

В следующих задачах определить, какие квадратичные формы являются полопжительно или отрицательно определенными, а какие — нет.

4.220.$x_1^2-15x_2^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3.$

Ответ: общего вида.

4.221.$12x_1x_2-12x_1x_3+6x_2x_3-11x_1^2-6x_2^2-6x_3^2.$

Ответ: отрицательно определенная.

4.222.$9x_1^2+6x_2^2+6x_3^2+12x_1x_2-10x_1x_3-2x_2x_3.$

Ответ: положительно определенная.

4.224.$x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+8x_4^2+8x^2x_4.$