Характеристическое уравнение симметрической матрицы имеет только корни

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Страница — в разработке. Начало работ — 08.03.2014, окончание — .

Симметричная матрица

Теорема. Для любой матрицы $ A_<> $ матрицы $ A_<>A^ <\top>$ и $ A^ <\top>A $ — симметричны. Для любой квадратной матрицы $ A_<> $ матрица $ A_<>+A^ <\top>$ — симметрична.

Определитель

Теорема [Кэли]. В полном разложении определителя симметричной матрицы порядка $ n $ обозначим $ \mathfrak s_n $ число слагаемых, $ \mathfrak s_n^ <(+)>$ — число слагаемых с положительным знаком, $ \mathfrak s_n^ <(-)>$ — число слагаемых с отрицательным знаком, а $ \mathfrak d_n =\mathfrak s_n^ <(+)>— \mathfrak s_n^ <(-)>$. Имеют место соотношения:

$$ \mathfrak s_=(n+1)\mathfrak s_n- C_n^2 \mathfrak s_ \ ; $$ $$ \mathfrak d_=-(n-1)\mathfrak d_n- C_n^2 \mathfrak d_ \ . $$

Имеют место пределы:

Миноры: тождества Кронекера

Теорема [Кронекер]. Для симметричной матрицы $ A_<> $ порядка $ n \ge k+1 $ имеет место тождество

$$ A\left(\begin 1 & 2 & \dots & k-2 & k \\ 2 & 3 & \dots & k-1 & k+1 \end \right)- A\left(\begin 2 & 3 & \dots & k-1 & k \\ 1 & 2 & \dots & k-2 & k+1 \end \right)= $$ $$ = A\left(\begin 1 & 2 & \dots & k-3 & k-2 & k-1 \\ 2 & 3 & \dots & k-2 & k & k+1 \end \right) \ , $$ связывающее три ее минора порядка $ k-1 $.

Пример. Для $ k=4 $:

$$ A\left(\begin 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end \right)- A\left(\begin 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \end \right)= A\left(\begin 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end \right) $$ $$ \iff \ \left| \begin a_ <12>& a_ <13>& a_ <15>\\ a_ <22>& a_ <23>& a_ <25>\\ a_ <24>& a_ <34>& a_ <45>\end \right|- \left| \begin a_ <12>& a_ <22>& a_ <25>\\ a_ <13>& a_ <23>& a_ <35>\\ a_ <14>& a_ <24>& a_ <45>\end \right|= \left| \begin a_ <12>& a_ <14>& a_ <15>\\ a_ <22>& a_ <24>& a_ <25>\\ a_ <23>& a_ <34>& a_ <35>\end \right| \ . $$

В настоящем разделе минор матрицы $ A $ $$ A\left( \begin j_1 & \dots & j_k \\ j_1 & \dots & j_k \end \right) = \left|\begin a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & a_ & \dots & a_ \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| , \quad 1\le j_1 ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема. Если $ \mathfrak r = \operatorname (A)\ge 1 $, то в матрице $ A $ существует ненулевой ведущий минор порядка $ \mathfrak r $.

Произведение

Теорема. Для того, чтобы произведение симметричных матриц $ A $ и $ B $ было симметричной матрицей необходимо и достаточно, чтобы матрицы $ A $ и $ B $ коммутировали: $ AB = BA $.

Обратная матрица

Теорема. Обратная к симметричной матрице (если существует) будет симметричной матрицей.

Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы

Теорема 1. Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если $ \lambda=0 $ корень кратности $ \mathfrak m $ характеристического полинома симметричной матрицы $ A $, т.е.

$$ \det (A-\lambda E)\equiv(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^+\dots+a_ \lambda^ <\mathfrak m>\quad npu \ a_\ne 0 $$ то $ \operatorname (A)=n-\mathfrak m $.

Если в характеристическом полиноме некоторый коэффициент $ a_j $ при $ j \not\in \ <0,n\>$ обращается в нуль, то соседние с ним в нуль не обращаются и имеют различные знаки: $ a_ a_ ♦

Локализация собственных чисел

Теорема [Коши]. Для симметричной матрицы $ A_<> $ число ее собственных чисел, лежащих на интервале $ ]a,b_<>[ $, определяется по формуле:

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_<> $.

$$ A_1,A_2,\dots,A_ $$ симметричной матрицы $ A_<> $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_<> $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,\dots,A_n $:

Часто в приложениях требуется вычислить значения не всех собственных чисел симметричной матрицы, а только небольшого (по сравнению с порядком матрицы) количества максимальных по модулю. Численный метод решения этой задачи изложен ☞ ЗДЕСЬ.

Диагонализуемость

Теорема. Существует ортогональная матрица $ P_<> $, приводящая симметричную матрицу $ A_<> $ к диагональному виду:

$$ P^<-1>AP=P^<^<\top>>AP= \left( \begin \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end \right). $$

Доказательство особенно просто в случае когда все собственные числа $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ различны. На основании теоремы 1 матрица $ A_<> $ диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании теоремы 2 матрица $ P $, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.

Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку $ n $ матрицы $ A $. Окончание доказательства ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Теорема утверждает что даже при наличии кратных корней у характеристического полинома $$ f(\lambda)=(-1)^n(\lambda — \lambda_1)^<<\mathfrak m>_1> \times \dots \times (\lambda — \lambda_<\mathfrak r>)^<<\mathfrak m>_<\mathfrak r>>, \quad <\mathfrak m>_1+\dots+<\mathfrak m>_<<\mathfrak r>>=n, \ \lambda_k \ne \lambda_ <\ell>\ npu \ k \ne \ell $$ алгебраическая кратность собственного числа $ \lambda_j $ совпадает с его геометрической кратностью: $$\operatorname \, (A-\lambda_j\, E)= <\mathfrak m>_j\, npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,\mathfrak r\>.$$ Или, что то же: размерность собственного подпространства $$ \left\ \right\> $$ равна $ <\mathfrak m>_j $. При нахождении фундаментальной системы решений (ФСР) указанной системы уравнений мы получим $ <\mathfrak m>_j $ линейно независимых собственных векторов $ \<<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \> $ , принадлежащих $ \lambda_j $. Однако при традиционных способах построения ФСР вовсе не гарантирована ортогональность этих векторов. Как построить ФСР так, чтобы она удовлетворяла условию теоремы, т.е. была ортонормированной? Воспользуемся для этого процессом ортогонализации Грама-Шмидта, применив его к системе $ \<<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \> $. Результатом процесса будет новая система векторов $ \<<\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> \> $ такая что ее линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой исходной системы: $$ <\mathcal L>\left(<\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> \right)= <\mathcal L>\left(<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \right) \quad \mbox < и >\quad \langle <\mathfrak Y>_,<\mathfrak Y>_ \rangle =0 \ \mbox < при >\ k \ne \ell \, , $$ т.е. векторы $ <\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> $ остаются собственными векторами, принадлежащими $ \lambda_j $. Но теперь эти новые векторы попарно ортогональны. Нормировав их, мы получим требуемую теоремой систему из $ <\mathfrak m>_j $ ортогонормированных столбцов матрицы $ P $, соответствующих кратному собственному числу $ \lambda_j $.

Пример. Диагонализовать матрицу

$$ A=\left( \begin 0&1&0&1&0&0&0&-1 \\ 1&0&1&0&0&0&-1&0 \\ 0&1&0&1&0&-1&0&0 \\ 1&0&1&0&-1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1&0&1&0&1 \\ 0&0&-1&0&1&0&1&0 \\ 0&-1&0&0&0&1&0&1 \\ -1&0&0&0&1&0&1&0 \end \right) $$ с помощью ортогональной матрицы.

Решение. Имеем: $$ \det (A-\lambda E) \equiv (\lambda-3)(\lambda+3)(\lambda-1)^3(\lambda+1)^3 \, . $$ Ищем собственные векторы. Для простых собственных чисел: $$ \lambda_1=-3 \ \Rightarrow \ \mathfrak X_1=\left[1,-1,1,,-1,-1,1,-1,1\right]^ <\top>\ ; $$ $$ \lambda_2=3 \ \Rightarrow \ \mathfrak X_2=\left[-1,-1,-1,-1,1,1,1,1\right]^ <\top>\ . $$ Эти столбцы войдут в состав матрицы $ P $, только их надо нормировать: $ \mathfrak X_ /|\mathfrak X_| $. Для кратных собственных чисел $ \lambda_j \in \ <-1,1\>$ сначала находим произвольные ФСР $$ \lambda_3=1 \ \Rightarrow \ \left\<\begin x_1&-x_2 & &-x_4 & & & &+x_8 & =0 \\ & x_2 &-x_3 & +x_4 & & -x_6 & & & =0 \\ & & x_3 & +x_4 & & & -x_7 &-x_8& =0 \\ & & & 3\,x_4 &+x_5 & -x_6 & -2\,x_7 & -x_8 & =0 \\ & & & & x_5 & -x_6 & +x_7 & -x_8 & =0 \end \right. $$ $$ \Rightarrow \mathfrak X_ <3,1>=\left[1,1,0,0,1,1,0,0 \right]^<\top>\ ;\mathfrak X_ <3,2>=\left[ 0,-1,0,1,-1,0,1,0 \right]^<\top>;\ \mathfrak X_ <3,3>=\left[0,1,1,0,1,0,0,1 \right]^ <\top>\ . $$ $$ \lambda_4=-1 \ \Rightarrow \quad \left\< \begin \mathfrak X_ <4,1>=\left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 \right]^<\top>\\ \mathfrak X_ <4,2>=\left[ 0,1,-1,0,-1,0,0,1 \right]^ <\top>\\ \mathfrak X_ <4,3>=\left[0,1,0,-1,-1,0,1,0 \right]^ <\top>\end \right\>\, . $$ Применяем к каждой из них алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта: $$\mathfrak Y_<3,1>=\mathfrak X_<3,1>=\left[1,1,0,0,1,1,0,0 \right]^<\top>; $$ $$ \mathfrak Y_<3,2>=\mathfrak X_<3,2>+ <\color\alpha > \mathfrak Y_<3,1>, \quad \langle \mathfrak Y_<3,2>,\mathfrak Y_ <3,1>\rangle =0 \quad \Rightarrow \ <\color\alpha >=-\frac<\langle \mathfrak X_<3,2>,\mathfrak Y_ <3,1>\rangle><\langle \mathfrak Y_<3,1>,\mathfrak Y_ <3,1>\rangle >=\frac<1> <2>\quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mathfrak Y_<3,2>=\left[\frac<1><2>,-\frac<1><2>,0,1,-\frac<1><2>,\frac<1><2>,1,0 \right]^ <\top>; $$ $$ \mathfrak Y_<3,3>=\mathfrak X_<3,3>+ <\color\beta > \mathfrak Y_<3,1>+ <\color\gamma > \mathfrak Y_<3,2>, \quad \langle \mathfrak Y_<3,3>,\mathfrak Y_ <3,1>\rangle =0, \langle \mathfrak Y_<3,3>,\mathfrak Y_ <3,2>\rangle =0 \quad \Rightarrow \ $$ $$ <\color\beta > =-\frac<\langle \mathfrak X_<3,3>,\mathfrak Y_ <3,1>\rangle><\langle \mathfrak Y_<3,1>,\mathfrak Y_ <3,1>\rangle>=-\frac<1><2>,\ <\color\gamma > =-\frac<\langle \mathfrak X_<3,3>,\mathfrak Y_ <3,2>\rangle ><\langle \mathfrak Y_<3,2>,\mathfrak Y_ <3,2>\rangle >=\frac<1> <3>\quad \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \mathfrak Y_<3,3>=\left[-\frac<1><3>,\frac<1><3>,1,\frac<1><3>,\frac<1><3>,-\frac<1><3>,\frac<1><3>,1 \right]^ <\top>\, . $$ $$ \mathfrak Y_<4,1>=\mathfrak X_<4,1>=\left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 \right]^<\top>, \mathfrak Y_<4,2>=\left[\frac<1><2>,\frac<1><2>,-1,0,-\frac<1><2>,-\frac<1><2>,0,1 \right]^<\top>, $$ $$ \mathfrak Y_<4,3>=\left[\frac<1><3>,\frac<1><3>,\frac<1><3>,-1,-\frac<1><3>,-\frac<1><3>,1,-\frac<1> <3>\right]^ <\top>\, . $$ После нормирования, составляем из этих векторов ортогональную матрицу: $$ P= \left(\begin -\sqrt<2>/4 & \sqrt<2>/4 & 1/2 & \sqrt<3>/6 & -\sqrt<6>/12 & -1/2 & \sqrt<3>/6 & \sqrt<6>/12 \\ -\sqrt<2>/4 & -\sqrt<2>/4 & 1/2 & -\sqrt<3>/6 & \sqrt<6>/12 & 1/2 & \sqrt<3>/6 & \sqrt<6>/12 \\ -\sqrt<2>/4 & \sqrt<2>/4 & 0 & 0 & \sqrt<6>/4 & 0 & -\sqrt<3>/3 & \sqrt<6>/12 \\ -\sqrt<2>/4 & -\sqrt<2>/4 & 0 & \sqrt<3>/3 & \sqrt<6>/12 & 0 & 0 & -\sqrt<6>/4 \\ \sqrt<2>/4 & -\sqrt<2>/4 & 1/2 & -\sqrt<3>/6 & \sqrt<6>/12 & -1/2 & -\sqrt<3>/6 & -\sqrt<6>/12 \\ \sqrt<2>/4 & \sqrt<2>/4 & 1/2 & \sqrt<3>/6 & -\sqrt<6>/12 & 1/2 & -\sqrt<3>/6 & -\sqrt<6>/12 \\ \sqrt<2>/4 & -\sqrt<2>/4 & 0 & \sqrt<3>/3 & \sqrt<6>/12 & 0 & 0 & \sqrt<6>/4 \\ \sqrt<2>/4 & \sqrt<2>/4 & 0 & 0 & \sqrt<6>/4 & 0 & \sqrt<3>/3 & -\sqrt<6>/12 \end \right) \, . $$ $$ P^<\top>AP= \left( \begin 3&&&&&&& \\ &-3&&&&&& \\ &&1&&&&& \\ &&&1&&&& \\ &&&&1&&& \\ &&&&&-1&& \\ &&&&&&-1& \\ &&&&&&&-1 \end \right) \, . $$ ♦

Квадратичная форма

Экстремальное свойство собственных чисел

Пусть уравнение $ X^<^<\top>>A X=1 $ задает эллипсоид в $ \mathbb R^3 $, т.е. квадратичная форма положительно определена. Построить посылочный ящик минимального объема (минимальный параллелепипед), содержащий данный эллипсоид.

Решение. Если уравнение эллипсоида приведено к каноническому виду $$ \frac+\frac+\frac=1, $$ то ответ геометрически очевиден: эллипсоид «шире всего» в направлении оси, соответствующей максимальному из трех чисел $ a,b,c $, и «уже всего» в направлении оси, соответствующей минимальному из этих чисел. То есть размер оптимального посылочного ящика — $ (2\,a, 2\,b, 2\,c) $. В случае, если уравнение $ X^<^<\top>>A X=1 $ не приведено к каноническому виду, его можно привести к нему с помощью ортогональной замены переменных. Такая замена оставляет инвариантными размеры эллипсоида, а результатом ее становится уравнение эллипсоида в каноническом виде $$ \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2=1 \, . $$ Здесь $ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 $ — собственные числа матрицы $ A $, они являются положительными ввиду предположения о положительной определенности этой матрицы. Соответствующие собственные векторы матрицы определяют главные оси эллипсоида 1) . Сравнивая два канонических вида уравнения эллипсоида, можем размеры посылочного ящика сформулировать в терминах собственных чисел матрицы: максимальный размер эллипсоид имеет равным $ 2/\sqrt<\min \<\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\>> $, а минимальный — равным $ 2/\sqrt<\max \<\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\>> $. Если эллипсоид нельзя поворачивать вокруг начала координат, то для того, чтобы поместить его в ящик размеров $ 2/\sqrt<\lambda_1>, 2/\sqrt<\lambda_2>, 2/\sqrt <\lambda_3>$ последний надо ориентировать в пространстве: рёбра должны быть параллельны собственным векторам матрицы $ A $. ♦

Замеченное свойство собственных чисел симметричной матрицы распространяется и в многомерное пространство. Традиционно его формулируют в несколько ином виде — хотя и менее наглядном, но более ориентированном на приложения в задачах механики и статистики.

Задача. Найти условные экстремумы квадратичной формы $ F(X)=X^<^<\top>>A X $ на единичной сфере $$ \mathbb S= \< X\in \mathbb R^n \mid x_1^2+\dots+ x_n^2=1 \>\, . $$

В курсе математического анализа показывается, что, во-первых, указанные экстремумы существуют 2) , и, во-вторых, могут быть найдены применением метода множителей Лагранжа.

Теорема. Если $ \lambda_ <\max>$ — максимальное, а $ \lambda_ <\min>$ — минимальное собственные числа матрицы $ A $, то

$$ \max_ X^<^<\top>>A X =\lambda_<\max>, \qquad \min_ X^<^<\top>>A X =\lambda_ <\min>\, . $$ Указанные экстремумы квадратичная форма достигает на соответствующих собственных векторах матрицы $ A $ единичной длины.

Доказательство. Применяем метод множителей Лагранжа, т.е. составляем функцию $$L(X,\lambda) = F(X)- \lambda (X^<\top>X-1)$$ и ищем ее абсолютные экстремумы (как функции $ (n+1) $-го аргумента). На основании теоремы о стационарных точках полинома эти экстремумы должны достигаться на вещественных решениях системы уравнений $$ \left\< \begin <\partial L >\big/<\partial x_1 >=&2\left(a_<11>x_1+a_<12>x_2+\dots+a_<1n>x_n \right)-2 \lambda x_1 &=0, \\ \dots & & \dots \\ <\partial L >\big/<\partial x_n>=&2\left(a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n \right)-2 \lambda x_n &=0, \\ <\partial L >\big/<\partial \lambda >=&x_1^2+\dots +x_n^2-1 &= 0 \, . \end \right. $$ Решаем эту систему. Первые $ n $ уравнений перепишем в матричном виде $$AX-\lambda X=\mathbb O \ \iff \ (A-\lambda \, E) X=\mathbb O \, . $$ Из последнего уравнения системы следует, что $ X \ne \mathbb O $. Следовательно, решениями системы будут исключительно только собственные векторы $ <\mathfrak X>_j $ матрицы $ A $, при $ \lambda $ равном соответствующему собственному числу $ \lambda_j $ этой матрицы. При $ X=<\mathfrak X>_j $ и $ \lambda=\lambda_j $ получаем экстремальные значения функции $ F(X) $: $$F(<\mathfrak X>_j)=<\mathfrak X>_j^<^<\top>>A <\mathfrak X>_j = \lambda_j <\mathfrak X>_j^<^<\top>><\mathfrak X>_j=\lambda_j \, . $$ Откуда и следует утверждение теоремы. ♦

Еще один вариант экстремального свойства симметричной матрицы излагается ☞ ЗДЕСЬ.

Характеристическое уравнение симметрической матрицы имеет только корни

Пример 13. В замечании после теоремы 10 мы напомнили о том, что любая матрица даёт нам пример линейного преобразования. В теореме 11 утверждается, что если взять симметрическую матрицу, то и преобразование будет симметрическим. Возьмём, например, A. Она задаёт симметрическое преобразование A пространства R 2 :

или, в другой записи:

Теорема 12. Характеристические числа симметрической матрицы — действительные числа.

Доказательство. Пусть A = (aij) — симметрическая матрица 3-го порядка, λ — её характеристическое число, т. е. |A — λE| = 0 (см. раздел 3.6).

Рассмотрим однородную систему уравнений:

Её определитель |A — λE| = 0, поэтому она имеет ненулевое решение (см. раздел 3.4):

Так как пока не доказано, что A — действительное число, то числа t1, t2, t3 могут быть комплексными. Подставляя эти числа в систему уравнений и перенося слагаемые с A в правую часть, получим соотношения:

Умножим первое соотношение на сопряженное число к t1, второе — на t2*, третье — на t3*. Полученные равенства сложим:

Используем свойства сопряжённых чисел (см. 6.1.3). Сумма в правой части (*) — действительное число, (так как zz ∈ R Vz ∈ C). Вычислим

Please wait.

We are checking your browser. gufo.me

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6e0a4b7e8e197b53 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare