I решения неполного кубического уравнения

О решении неполного кубического уравнения

Intro

Я публикую этот топик как обучающий. Собственно говоря, существенной новизны в материале нет, тема заезжена. Думаю, что интересным будет подход к решению задачи.

Помню, на первом курсе на занятиях по математическому анализу пришел в голову один интеграл. Преподаватель вызвал к доске, но прозвенел звонок. По дороге домой в автобусе сложился «скелет» решения кубического уравнения. Общая схема, конечно, не самая рациональная. Есть более эффективная — тригонометрическая формула Виета. Там сразу выписывается корень по виду уравнения, а, вообще, по объему вычислений все-таки лучше использовать численный метод Ньютона, поскольку степенные ряды для обратных тригонометрических функций сходятся медленно (по ним строятся вычисления таких функций в некоторых библиотеках). Вот что получилось.

1. Исходный интеграл и кубическое уравнение

Нужно найти неопределенный интеграл

Применяя метод неопределенных коэффициентов, представим знаменатель подынтегральной функции как

откуда получаем нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, для решения которой требуется найти положительный корень неполного кубического уравнения

Исследуя функцию в левой части уравнения на монотонность, можно выяснить, что она имеет максимум

Тогда из непрерывности функции следует, что исходное уравнение имеет три действительных корня, причем два отрицательных и один положительный, принадлежащий отрезку , .
Найдем его.

2. Поиск положительного решения

Заметим, что наше уравнение не имеет рациональных корней.
Начнем со следующего тождества, справедливость которого, наверное, многие доказывали в школе:

Преобразуем его к виду

Тогда решение кубического уравнения сводится к решению системы

причем (по условию положительности корня).
От данной системы перейдем к системе

По сути в (1) записана теорема Виета для квадратного уравнения

Дискриминант здесь отрицательный, казалось бы, можно закончить решение, но нам требуется не действительность и , а действительность их суммы. В этом помогут комплексные числа.

Тригонометрическая форма записи корней квадратного уравнения имеет вид

,
где — мнимая единица.

Может возникнуть вопрос: в системе (1) первое уравнение было получено возведением обеих частей в куб, не вызовет ли это появление дополнительных комплексных корней? Нет, поскольку если выразить через в исходной системе, то получится уже рассмотренное квадратное уравнение. При выражении через имеем тоже самое. Это и доказывает справедливость последней совокупности.
Извлечем кубический корень из и по правилу извлечения корней из комплексных чисел. Получим

где

Выберем такую пару и , чтобы их сумма в мнимой части комплексного числа давала 0, а действительная часть была бы отрицательной. При этом будем использовать формулы приведения (если требуется найти остальные корни уравнения, то лучше использовать формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение), а также учтем, что угол принадлежит первой четверти. Тогда

Откуда искомый корень

Если использовать тригонометрическую формулу Виета, то полученный корень запишется в более простой форме

Возникает вопрос: почему я не использовал формулу Кардано? Ведь в школах нам говорили, что для решения кубических уравнений используют ее. По своей форме она похожа на то, что сейчас проделал — в итоге придется извлекать кубический корень из комплексного числа. Кстати, именно при решении уравнений третьей степени комплексные числа впервые получили свое применение.

Замечу, что для выяснения состава корней кубического уравнения используют понятие дискриминанта (как и в случае квадратного уравнения). Вообще, понятие дискриминанта в алгебре введено для многочленов произвольной степени.

2. Пример физической задачи с кубическим уравнением

В журнале «Квант» мне как-то раз попалась интересная задачка по физике с выходом на решение кубического уравнения. Суть в следующем. Нужно определить, какую максимальную скорость может развить автомобиль массой (вместе с человеком) при известной наибольшей мощности двигателя?
При наибольшей скорости автомобиля его ускорение равно нулю, поскольку производная функции обращается в ноль в точке экстремума. Хотя оно равно нулю и при движении с постоянной скоростью. Тогда можно сказать так: какую максимальную постоянную скорость автомобиль может развить?
На больших скоростях пренебрегать сопротивлением воздуха уже нельзя, при этом сила лобового сопротивления выражается не по закону Стокса, а по квадратичному закону, поскольку скорость движения достаточно велика. Тогда сила тяги двигателя уравновешивается силой сопротивления воздуха и силами трения качения и скольжения, возникающими между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном:

где — суммарный коэффициент трения, — ускорение свободного падения, — коэффициент аэродинамического сопротивления, — площадь лобового сечения автомобиля, откуда и получаем неполное кубическое уравнение.

3. Вопросы и ответы

При прочтении топика у читателя могли возникнуть вопросы. Например, такие:

1. Почему автор не рассматривал полного кубического уравнения? Ответ: полное кубическое уравнение сводится к неполному заменой

где — новая переменная, — коэффициент при , — коэффициент при .

2. В начале топика был рассмотрен многочлен четвертой степени. Есть ли методы, позволяющие аналитически разрешать такие уравнения? Ответ: да, существует метод Феррари.

3. По теореме Абеля-Руффини уравнение, выше четвертой степени, не разрешимо в радикалах. А тут получается корень кубического уравнения, содержащий тригонометрические функции, который, скорее всего, нельзя выразить через радикалы, как так? Ответ: в формулировке теоремы имеется в виду общая запись корня, т.е. корни могут извлекаться и из комплексных чисел при подстановке в формулы коэффициентов уравнения.

4. После Эвариста Галуа были ли попытки получения формул корней уравнения произвольной степени? Ответ: не так давно мне попался на глаза русский перевод книги американского математика Дэвида Мамфорда «Лекции о тэта-функциях» (Мир, 1988). Там в качестве добавления приведена работа Хироси Умемура «Решение алгебраических уравнений с помощью тэта-констант», где заменяется функция извлечения корня другой функцией — модулярной функцией Зигеля, выражаемой через тэта-константы. В этой работе также освещена история исследования данного вопроса после Галуа.

5. Как я понимаю, такие формулы не применимы для использования в практических задачах решения уравнений произвольной степени. Есть ли какие-нибудь современные работы с описанием алгоритмов получения приближенных корней? Ответ: советую книгу Г.П. Кутищева «Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы» (URSS, 2010).

6. Существуют ли современные модификации численного метода Ньютона, являющегося на сегодняшний день основным для получения приближенных решений уравнений и систем уравнений? Ответ: можно посмотреть статью Janak Raj Sharma, Rangan Kumar Guha и Rajni Sharma «An efficient fourth order weighted-Newton method for systems of nonlinear equations».

7. Имеются ли какие-нибудь частные случаи уравнений высокой степени, для которых удалось получить аналитические формулы корней? Ответ: корень Бринга для поиска действительного решения уравнения пятой степени и формула Лоуренса Глассера для неполных уравнений произвольной степени.

В заключении для начинающих рекомендую книгу С.Л. Табачникова и Д.Б. Фукса «Математический дивертисмент» (МЦНМО, 2010).

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2013 Печатается по решению редакционно-издательского совета нгпу им. Козьмы Минина Глуздов В. А. Числовые многочлены

Главная > Учебно-методическое пособие

§8. Тригонометрическая форма и исследование корней неполного кубического уравнения

Вначале актуализируем необходимые для нас сведения о корнях в поле С .

Тригонометрическая форма корней n -й степени из 1 . Радикал имеет в поле С ровно n значений, которые можно записать в тригонометрической форме:

= cos + i sin , k = 0,…,n-1 (1)

Корни (1) образуют т.н. мультипликативную группу корней n-й степени из 1 — группу G(n,1). Cреди корней (1) n-й степени из 1 выделяются так называемые первообразные корни — натуральные степени от 0 до n-1 каждого из которых исчерпывают все множество этих корней. Если — первообразный корень, то

<=1, , , …, > = G(n,1) (2)

Основываясь на формуле умножения (возведения в степень) комплексных чисел в тригонометрической форме, из (1) следует, что корень

= cos + i sin (3)

является первообразным. Вообще

(корень = — первообразный) ((k,n) = 1) (4)

Если извлекается корень n–й степени из комплексного числа a и α = — одно из значений этого корня, то все значения α корня получаются по формуле:

α = αε, k = 0,…,n-1 (5)

Понятно, что в правой части (5) вместо ε можно поставить степени выбранного первообразного корня n-й степени из 1.

Если сказанное редуцировать к случаю n = 3, — а именно при этом значении n алгебраическое уравнение является кубическим, — то три значения кубического корня из 1 можно выписать явно:

: 1; cos ± i sin = ± i (6)

При этом каждый из двух комплексных ( не 1 ) корней (6) является первообразным, а второй — его квадратом . Так что если обозначить через ε — любой из комплексных корней (6)

ε = ± i , (7)

то все три значения кубического корня из 1 могут быть записаны так:

: 1; ε; ε (8)

При этом из (7) следует, что при любом выборе знака для ε (выбирается одно из двух значений ε) всегда

ε = , 1 + ε + ε = 0 (9)

Пусть теперь дано неполное кубическое уравнение (1) §7:

x + px + q = 0, p, q C (10)

и α — его корни, записанные формулами Кардано (11) §7:

α = u + v = + (11)

Это означает, что значения кубических радикалов u и v в формулах (11) удовлетворяют равенству (12) §7:

uv = — (12)

Пусть u — одно из трех значений кубического радикала, стоящего в правой части (11) (первое слагаемое). Тогда, согласно формулам (5), для случая n=3, задаваемого формулами (8), мы можем выписать все три значения этого кубического радикала:

u, uε , uε (13)

Аналогично, если v — соответствующее для u значение другого радикала в правой части (11) (второе слагаемое), то по тем же основаниям выписываются все три его значения:

v, vε , vε (14)

Помним, что каждое значение из (13) согласовано точно с одним значением (14). Инструмент согласования — равенство (12). Отсюда усматриваются следующие три пары согласованных значений (с учетом уже имеющейся согласованности u и v): u, v; uε, vε и uε, vε. Суммы значений каждой пары и есть три корня неполного кубического уравнения (10). выпишем эти корни в следующих обозначениях:

α = u + v, α = uε + vε, α = uε + vε (15)

Формулы (15) и есть искомая тригонометрическая форма корней неполного кубического уравнения. Для получения формул (15) необходимо: 1. найти согласованную (удовлетворяющую равенству (12)) пару значений u и v кубических радикалов, стоящих в правой части (11); 2. записать корни (15), где ε и ε берутся из (7).

Исследовать корни неполного кубического уравнения значит выяснить условия наличия среди них кратных (совпадающих) корней . Исследование корней незамедлительно становится прозрачным, если хотя бы один из коэффициентов уравнения (10) «зануляется»: pq = 0. Поэтому рассматривается т.н. «общий» случай:

Обратимся к формулам Кардано (11) корней уравнения (10).

Определение. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня в правой части формул Кардано

D = () + () (17)

называется дискриминантом неполного кубического уравнения.

Теорема. Неполное кубическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю :

D = () + () = 0 (18)

Доказательство . 1. Пусть уравнение (10) имеет кратные (совпадающие) корни и, для определенности (см. (15)):

α = α (19)

Необходимо доказать (18). Заменив в (19) α и α их выражениями в тригонометрической форме из (15), после естественных преобразований получим: u(1-ε) = v(ε-1). Сокращение обеих частей полученного равенства на (1-ε) дает: u = -(1+ε)v. Теперь на основании второго равенства (9) заменим, в полученном нами равенстве, -(1+ε) на ε. Окончательно получим равенство: u = εv. Возведение обеих частей этого равенства в 3-ю степень дает (помним (8)):

u = v (20)

Но (20) указывает на кратность корней квадратного уравнения (8) §8, дискриминант которого (см. (8), (9) §8) и есть дискриминант D (см. (17)) нашего неполного кубического уравнения. Следовательно, D = 0 и (18) доказано.

2. Обратно, пусть выполняется (18). Обратимся к значениям радикалов (10) §8. В силу (18) первый радикал (10) §8 примет вид, который мы сразу подвергнем достаточно очевидным преобразованиям

u = = = = (21)

Из (21) следует, что одним из значений радикала u будет значение . Cогласованное c ним значение v находится из (12): v = (- ):( ) . Найдем v, осуществляя необходимые преобразования и вновь опираясь на (18):

v = (- ):( ) = — () = — () = () = = u (22)

Итак, при нулевом дискриминанте неполного кубического уравнения (выполняется (18)) в качестве одной пары согласованных значений кубических радикалов u и v можно выбрать равные значения u = v, причем

u = v = (23)

На основании (23) находим корни неполного кубического уравнения в тригонометрической форме (15) (помним, что ε + ε = -1: см. (9)):

α = , α = α — (24)

Формулы (24) указывают на наличие кратного корня неполного кубического уравнения: это — корень α. Теорема доказана.

Более детальное прочтение формул (24) доказанной теоремы указывает на то, что нулевой дискриминант неполного кубического уравнения (при условии (16)) не только обеспечивает кратность одного из его корней, но позволяет явно записать все корни через коэффициенты уравнения.

§9. Исследование корней действительного неполного кубического уравнения

Пусть теперь неполное кубическое уравнение имеет действительные коэффициенты:

x + px + q = 0, p, q R (1)

По-прежнему рассматриваем случай pq ≠ 0 (cлучай pq = 0 в исследовании корней достаточно тривиален).

Имея нечетную степень, уравнение (1) обязательно имеет хотя бы один вещественный корень . Исследованию подлежат, поэтому, два других корня уравнения (1): условия их вещественности или комплексности (а значит — сопряженности!). Обратимся к дискриминанту уравнения (1) ((17) §8):

D = () + () (2)

Теперь D R . Ясно, что выводы по комплексному уравнению справедливы и для вещественного. В частности, при D = 0 корни уравнения (1) находятся по формулам (24) §8 (запомним!). Поэтому, исследованию подлежит случай D ≠ 0. В силу вещественности D здесь возникают два случая (которых не было в «комплексном» варианте): D > 0 и D 0 (3)

Неравенство (3) позволяет найти вещественное число a R такое, что

D = a (4)

Из формул (10) §7, в силу (4), следует, что одно из значений кубического радикала u является вещественным. Но тогда на основании (12) §7 согласованное с ним значение второго кубического радикала v так же является вещественным. Итак, промежуточный результат: При положительном дискриминанте вещественного неполного кубического уравнения для записи его корней в тригонометрической форме (по формулам Кардано) согласованные значения u и v могут быть выбраны вещественными. Считаем что указанный выбор совершен:

u, v R (5)

Воспользовавшись тригонометрической формой корней (15) §8, мы, в силу (5), усматриваем:

α = u + v R , α = uε + vε С ( R ), α = uε + vε = (6)

Как вывод формулы (6) гласят:

Вывод 1 . При положительном дискриминанте вещественное, неполное кубическое уравнение имеет один вещественный и два комплексных, сопряженных корня.

Рассмотрим теперь второй случай знака дискриминанта D:

D = -a (8)

В силу (8) формулы (10) §7 примут вид:

u = , v = (9)

Под знаками кубических радикалов (9) стоят сопряженные числа. Поэтому, значения этих радикалов попарно сопряжены (см. свойства сопряженных чисел). Пусть u — одно из значений радикала u. Тогда — одно из значений радикала v. Отсюда по формулам (13), (14) §8 получим все значения радикалов u и v:

u: u, uε, u ε (9)

v: , ε, ε (10)

Требованием (12) §8 каждое из значений (9) согласовано точно с одним значением (10) так, что суммы согласованных значений u и v (их — три пары!) и есть корни исходного уравнения (1). Но в нашем случае — в силу вещественности p (см. (1)) — такими согласованными парами могут быть только u и , uε и ε, uε и ε. Отсюда получаем три корня уравнения (1) (см. (15) §8) :

α = u + , α = uε +ε, α = uε +ε. (11)

Из (11) сразу усматривается, что α R . Далее, по первому равенству (9) §8 и свойству взаимности сопряженных чисел из (11) усматриваем, что α = и α= , т. е. α, α R . Отсюда получаем

Вывод 2 . Вещественное неполное кубическое уравнение с отрицательным дискриминантом имеет три действительных корня .