Итоговое повторение темы «Решение уравнений» в курсе алгебры 11-го класса
Разделы: Математика
На первом, мотивационном этапе с учащимися обговорили, почему и для чего необходимо повторить эту тему. Дали оценку своих возможностей, составили план предстоящей работы:
- повторить тему за 6 уроков.
- повторить тему «Общие сведения об уравнениях»; (1 ч)
- обратить внимание на виды уравнений; (1 ч)
- повторить теоремы равносильности уравнений; (1 ч)
- повторить способы решений уравнений. (1 ч)
Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимися в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.
В процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому, сделав для себя открытия в этой теме.
Какова мотивация учащихся? Готовиться к выпускным экзаменам и вступительным экзаменам в вузы, расширять и углублять знания по этой теме.
Учащиеся получили творческую работу: подобрать из разных источников такие уравнения, которые выходили бы за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьных учебниках.
В результате выполнения этой работы мы решили рассмотреть 13 уравнений.
Учащиеся должны были поработать дома с этими уравнениями и выполнить задания.
- Задание №1.Провести классификацию уравнений по методам решения.
- Задание №2. Провести классификацию уравнений по виду.
- Задание №3. Решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор и объединиться в группы по методам решения уравнений).
Урок-семинар (2 часа)
Тема: «Решение уравнений».
- Повторить и расширить сведения об уравнениях и способах их решения;
- Формировать умения выполнять обобщения и конкретизацию, правильно отбирать способы решения уравнений;
- Развивать качества мышления, гибкость, целенаправленность, рациональность, воспитание чувства ответственности за коллектив в процессе творческой работы.
Формы организации познавательной деятельности:
по источнику приобретенных знаний:
по уровню познавательной активности:
- Организационный момент;
- Актуализация опорных знаний;
- Работа в творческих группах;
- Защита каждой группой своего способа решения уравнений;
- Зачетная работа;
- Домашнее задание;
- Итог урока.
Ход урока
1. Организационный момент: Девиз урока:
Посредством уравнений, теорем
Он уйму разрешал проблем.
И засуху предсказывал, и ливни
Поистине его познанья дивны.
Генрих Госсен.
2. Актуализация опорных знаний:
В результате выполнения первого задания получилась схема классификации уравнений.
Классификация уравнений по виду
При выполнении задания № 2 выяснили, что данные уравнения можно решить:
- Разложением на множители (№ 1, 2, 4);
- Заменой переменных (№ 4, 5, 6. 7, 10);
- Однородные (№ 8,13);
- Использование свойств функции(№ 3, 9. 11, 12)
3. Работа в творческих группах.
Класс разбивается на четыре группы (в каждой группе 5 учеников).
После того как каждой группе дано задание, идет обсуждение и поиск решения уравнений. Группа решает: какое уравнение, и кто представляет решение у доски для всего класса.
4. Представление и защита своего задания каждой группой.
Представили уравнение Решили методом разложения на множители.
Сгруппировали
Ответ:
Рассуждали так: Если раскрыть скобки получится уравнение 4-ой степени. Нужно найти делители свободного члена, разложить на множители левую часть и найти 4 корня уравнения, но это не рационально.
Предложили решить это уравнение способом замены переменной.
Пусть
Получили уравнение
Решим его как квадратное относительно t. Получим t =4x или t = x. Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
Ответ: -1; 9;
Представили показательное уравнение, сводящееся к однородному.
.
Перепишем уравнение в виде
Получилось уравнение однородное относительно . Разделим обе части уравнения на
Пусть , причем >0. Получим , откуда
Вернемся к исходной переменной и решим уравнения
Ответ:
Представили уравнение: Это уравнение можно решить вполне стандартным способом. Но мы применили свойство монотонности функции. В левой части уравнения – возрастающая функция, в правой части — убывающая функция. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 5- корень уравнения, что проверяется подстановкой.
5. Зачетная работа:
6 Итог урока.
7. Задание на дом
№ 120 (1; 7;17) №129 (3;4)№130 (1; 3) учебник Алгебра и начала анализа. Н. Я. Виленкин и др.
С зачетной работой справились все 20 учащихся класса.
В результате проделанной работы ученики испытали радость победы над трудностями, преодоленными ими, познали новые (для них) приемы решений уравнений, дали самооценку своей деятельности и убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию глубокого познавательного интереса к учебной деятельности.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Уравнения. Методы решения уравнений.
Уравнения. Методы решения уравнений
Необходимо запомнить
Итак, на уроке мы вспомнили основные методы решения уравнений. Эти методы применимы к различным видам уравнений: алгебраическим, логарифмическим, показательным и тригонометрическим.
Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.
Метод решения однородных уравнений
$$64 \cdot <9>^
Конспект урока 11 класс «Решение показательных уравнений и систем уравнений».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема: «Решение показательных уравнений и систем уравнений».
Цель: 1. Систематизировать виды показательных выражений,
рассмотреть способы решений уравнений и систем уравнений.
Научить систематизировать показательные уравнения и их системы.
Развить умение применять алгоритмы решений показательных уравнений к различным видам уравнений и их систем.
Воспитывать ответственное отношение к изучаемой теме.
Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
Повторение и закрепление пройденного материала.
ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).
Устный фронтальный опрос по теме «Показательная функция».
В.1. Какая функция называется показательной?
(ответ: Функция вида у = а х , где а о, а ≠ 1, х — переменная, называется показательной функцией).
В.2. Почему основание а не должно быть равным 1 (а ≠ 1)?
(ответ: т.к при а=1 степень а х при любом значении х равнялась бы 1 и тогда она не зависела бы от х).
В.3. Почему основание а должно быть обязательно положительным (а о)? (ответ: т.к. при а о степень а х для многих значений х не была бы действительным числом. Например а = — 5, , то а х будет , что не является действительным числом).
В.4. Какое число берётся из всех значений, если х равен дроби, а х означает корень некоторой степени?
(ответ: берётся только одно арифметическое значение, т.е. неотрицательное число).
В.5. Повторить свойства:
m =
Изучение нового материала
Определение: Показательным уравнением называется уравнение котором неизвестное Х входит только в показатель степени при некоторых постоянных основаниях.
а) 2 х = ; б) х = ; в) 3 х+1 + 3 х = 108
Способы решения показательных уравнений
Способ приведения к общему основанию
1) обе части уравнения приводим к одинаковому основанию;
2) приравниваем показатели степеней левой и правой частей уравнения, в результате чего получаем уравнение, способ решения которого известен;
3) Решаем полученное уравнение;
4) с помощью проверки определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями данного показательного уравнения.
ПРИМЕР: 27 х = ;
1. Обе части уравнения приводим к основанию 3 (3 3 ) х =3 — 4
2. Приравниваем показатели 3х = — 4
3. Решив полученное уравнение имеем Х= —
4. Проверим:
=
=
Ответ: —
Способ введения новой переменной
Делаем замену переменной, приводящую к алгебраическому уравнению;
Решаем полученное алгебраическое уравнение;
Найденные значения корней алгебраического уравнения подставив в равенство, определяющее замену;
Найдём корни полученного уравнения;
С помощью проверки определяем, какие из этих корней являются корнями данного показательного уравнения.
ПРИМЕР: 3 2х+5 = 3 х+2 + 2
3 2х * 3 5 = 3 х * 3 2 +2
(3 х ) 2 * 243 = 3 х *9+2
243у 2 – 9*у-2 = 0 решив это уравнение, имеем
у 1 = ; у 2 = —
не может быть 3 х 0.
берём только у = 3 х = 3 х = 3 -2 х = -2
Используется в тех случаях, когда в показательном уравнении а х = в, число В нельзя представить в виде степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости строят графики функций у=а х и у=в. Абсциссы точек пересечения графиков указанных функций будут решениями данного показательного уравнения.
Решение системы показательных уравнений.
умножим обе части второго уравнения на 2
+ почленно сложим уравнения
5 * =
2 х =
2 х = х=2 –подставим во второе уравнение системы
;
— ;
— ;
;
Первое уравнение почленно умножим на второе
(2 * 3) х+у =
=
у = 3 – х подставим в первое уравнение:
* = 12
= 12
= 12
х = 12
( ) х =
( ) х = ( ) 2
х = 2, у = 3 – 2 = 1. Ответ: (2;1)
Решение показательных уравнений, требующие применения различных алгебраических приёмов преобразования уравнений.
— 3 * — 10 * = 4
— можно вынести за скобки
* — * * 3 – 10 * = 4
( ) = 4
* 100 = 4
= —
Сгруппируем члены уравнение, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2, — в правой.
+ = +
+ = +
* (3+1) = * (1+ )
* 9
* = * разделим обе части этого уравнения на правую часть
= 1 по свойствам степени
= 1
= 1
= 1
( = ( ) 0
х — = 0
х =
Уравнение, решаемые разложением на множители
* * = 5400
* * = * *
Разделим обе части уравнения на его правую часть, получим
= 1 по свойствам степеней
* * = 1
* * = 1
= 90 0
Уравнения, содержащие помимо показательных другие функции.
2 *
Перенесём все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки и имеем:
2 * = 0
(2 * + (1- ) = 0
2 * ( ) = 0
( ) * (2 ) = 0
т.к. произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.
= 0 или 2 = 0
2
=
х = 0 х = (-1) n arcsin + π n ,
х = (-1) n π n , n € z
Есть показательные уравнения, в которых для решения приходится вводить две новые переменные.
+ ² — 2 *
( ) 2 + ( ) 2 – 2 * * = 0
= а
получаем
а 2 + b 2 – 2 а b = 0
по формуле сокращенного умножения
(а — b ) 2 = 0 следовательно а = b
т.е. =
Уравнения, решаемые с помощью их специфики.
7 х + 24 х = 25 х
Можно угадать, что корень уравнения равен 2.
х = 2, действительно 7 2 + 24 2 = 25 2
Разделим все члены уравнения на его правую часть, получим
( ) х + ( ) х = 2
Функции ( ) х и ( ) х убывающие, т.к. основания меньше 1.
Сумма этих функций является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. у
Уравнения, решаемые графически.
3 у 2
построим график функции у 1 = и у 2 = у 1 х
Видно, что графики этих функций пересекаются 2
в единственной точке А, абсцисса х = 2 которой
является решением данного уравнения.
Закрепление новой темы. Решить в классе упр.596,598,600,602(нечетные)
http://resh.edu.ru/subject/lesson/4932/main/
http://infourok.ru/konspekt-uroka-klass-reshenie-pokazatelnih-uravneniy-i-sistem-uravneniy-991582.html