I сборник уравнений высших степеней

Алгебраические уравнения высших степеней

Главная > Литература

Алгебраические уравнения высших степеней

Составитель Волкова Н.О. Руководитель Будко Л.Ф.

МБОУ СОШ №1, х. Маяк. 2014г.

II Нестандартные способы решения квадратных уравнений…………………………………….4-8

III Решение уравнений высших степеней

3.1 Способы разложения на множители группировкой…..……………………………9-11

3.3. Метод неопределённых коэффициентов…………………………..…23-24

3.4.Введение новой переменной…………..25-29

3.4 Применение формул сокращённого умножения…………………………………..30-33

3.5 Применение теоремы Виета……………. 34

4.1Для самостоятельного решения………. 35-36

Каждый выпускник основной школы должен уметь решать алгебраические уравнения первой и второй степени, иначе, он не преодолеет порог в восемь баллов на ГИА по математике. В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс основной и средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Такие уравнения называются уравнениями высших степеней, изучение их выходит за рамки программы средней школы.

Материал данного сборника предназначен для самообразования учеников, которые любят математику и хотят знать больше.

В сборнике представлено 25 задач с решениями. Причём, решение каждого следующего задания отличается от предыдущего дополнительным «шагом» в решении, что заставляет , каждый раз, расширять теоретические знания по этой теме.

Этот материал можно использовать также для элективных занятий по математике в 9-11 классах.

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Общий вид квадратного уравнения — ах 2 + bx + c =0, где a ≠0, b , c –любые числа.

При решении квадратных уравнений можно использовать различные методы: разложение на множители, выделение полного квадрата, по формулам корней квадратного уравнения, по теореме Виета, графический способ, метод введения новой переменной (при решении биквадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным).

Решить уравнение (2х 2 -х-1)( 2х 2 -х-5)-5=0.

введём новую переменную t=2х 2 -х, тогда (t-1)( t-5)-5=0,

t 2 -6t=0, t(t-6)=0, t=0, t=6. Вернёмся к исходной переменной.

1. 2х 2 -х=0, х(2х-1)=0, х=0, х=. 2. 2х 2 -х=6, 2х 2 -х-6=0, D=49, х 1 =2, х 2 =-.

Ответ. х=0, х=, х=2, х=-.

Метод коэффициентов для квадратных

Зависимость между коэффициентами или вид квадратного уравнения

х 1 =1, х 2 =

х 1 = -1, х 2 =

х 1 =-а, х 2 =

х 1 = а, х 2 =

х 1 =-а, х 2 =

ax 2 — (a 2 +1)x — a=0

х 1 = а, х 2 =

ах 2 +bx +c=0 → у 2 +by+ c∙a=0

х 1 =, х 2 =

1.Если a + b + c =0, то х 1 =1, х 2 =.

Решить уравнение: 538х+841-1379=0.

Решение : введём новую переменную у =, получим уравнение538у 2 +841у -1379=0, Сумма его коэффициентов равна нулю (538+841 -1379=0), значит 1 –корень уравнения. Так как 1∙у 2 = -1379 ( по теореме Виета), то второй корень уравнения – отрицательное число. Его находить нет смысла, поскольку уравнение =а не имеет действительных корней при а Ответ: х=1.

. Если b = a + c ,то х 1 = -1, х 2 =.

Решить уравнение: 1784х 2 + 583х -1201=0.

Решение: а=1784, b=583, c=-1201, b= a+c (1784+(-1201)=583),значит, х 1 =-1, х 2 =, х 2 =. Ответ: х 1 =-1, х 2 =.

.Если уравнение имеет вид ax 2 +( a 2 +1) x + a =0,то х 1 =-а, х 2 =.

Решить уравнение 13x 2 +170x+13=0.

Решение: a=13, b= (13 2 +1)= 170 ,c=13. Выполняется зависимость между коэффициентами: b=a 2 +1, a=c. Используем формулы х 1 =-а, х 2 =, получим

х =-13, х 2 =. Ответ: х =-13, х 2 =.

4.В уравнении вида ax 2 — ( a 2 +1) x + a =0 х 1 = а, х 2 =.

Решить уравнение 21x 2 — 442x+21=0.

Решение: a=21, b=- (21 2 +1)= 442,c=21. Выполняется зависимость между коэффициентами: b=-(a 2 +1), a=c. Используем формулы х 1 =а, х 2 =, получим

х =21, х 2 =.

Ответ: х =21, х 2 =.

.В уравнении вида ax 2 +( a 2 +1) x — a =0 х 1 =-а, х 2 =.

Решить уравнение 17x 2 +290x — 17=0.

Решение: a=17, b= (17 2 +1)= 290,c=-17. Выполняется зависимость между коэффициентами: b=a 2 +1, a= -c. Используем формулы х 1 =-а, х 2 =, получим

х =-17, х 2 =.

Ответ: х =-17, х 2 =.

6.Если уравнение имеет вид ax 2 — ( a 2 +1) x — a =0,то х 1 = а, х 2 =.

Решить уравнение 34x 2 — 1156x — 34=0.

Решение: a=34 , b= -(34 2 +1)= 1156 ,c=-34. Выполняется зависимость между коэффициентами: b=-(a 2 +1), a= -c. Используем формулы х 1 =а, х 2 =, получим х 1 =34, х 2 =. Ответ: х =34, х =.

7. Приём «переброски» старшего коэффициента

Решить уравнение 7х 2 -12х+ 5=0.

Решение: «перебросим» старший коэффициент и получим уравнение

у 2 -12у+35=0, по т. Виета у 1 =5, у 2 =7. Воспользуемся формулами х 1 =, х 2 =и получим х 1 =, х 2 = 1.

Ответ: х 1 =, х 2 = 1.

Решение уравнений высших степеней

3.1 Способы разложения на множители группировкой.

1. Неполные кубические уравнения.

а). d =0, с=0, b =0, ах 3 =0, x =0.

б). d =0, с=0, ах 3 + bx 2 =0, x 2 (ах+ b )=0, x =0, ax + b =0, x = .

в). d =0, ах 3 + bx 2 + cx =0, x (ах 2 + bx + c )=0, x =0, ах 2 + bx + c =0, х 1,2 =.

г). d =0, b =0, ах 3 + cx =0, x (ах 2 + c )=0, x =0, ах 2 + c =0, x 2 = . Если >0,то х 1,2= .Если

д). b =0, ах 3 + cx + d =0,

e ).с=0, ах 3 + bx 2 + d =0.

При решении выше перечисленных видов уравнений многочлен в левой части можно разложить на множители. В уравнениях 1(а-г)─ путём вынесения общего множителя за скобки. В уравнениях 1(д,е) и 2 – это группировка, и, в конечном итоге, вынесение общего множителя.

Решить уравнение вида 1(д) -х 3 +16х-15=0.

2. х(х+1)+15=0, х 2 +х+15=0, D=61, х 1,2 =.

Ответ. х=1, х 1,2 =.

Решить уравнение вида 1(е) 2х 3 +х 2 -3=0.

Преобразуем левую часть:

3х 3 -х 3 +х 2 -3=0, (3х 3 -3)+(- х 3 +х 2 )=0,

3(х 3 -1)-х 2 ( х-1)=0, 3(х-1)(х 2 +х+1)- х 2 ( х-1)=0,

(х-1)(3(х 2 +х+1)- х 2 )=0,

х-1=0, 3х 2 +3х+3- х 2 =0, 2х 2 +3х+3=0, D =-15, действительных корней нет.

2.Полные кубические уравнения.

ах 3 + bx 2 + cx + d =0, а≠0

Решить уравнение -6х 3 -х 2 +5х+2=0

Преобразуем левую часть: (-6х 3 -3х 2 ) +3х 2 -х 2 +5х+2=0, -3х 2 (2х+1) +(2х 2 +х) +(4х+2)=0, -3х 2 (2х+1) + х(2х+1) + 2(2х+1)=0, (2х+1)( -3х 2 +х+2)=0,

2х+1=0, х=-. -3х 2 +х+2=0, D=25, х 1 =1, х 2 = —. Ответ. х=1, х = —, х = —.

Решить уравнение вида ах 3 +bх 2 +bх+а=0. Такие уравнения называют возвратными. Они обладают своеобразной «симметрией»: коэффициент при х 3 равен свободному члену, коэффициент при х 2 равен коэффициенту при х. Возвратные уравнения также решаются с помощью разложения на множители.[3]

Решение: 4х 3 -6х 2 -6х+4=0, 4(х 3 +1)-

6(х 2 +х)=0, 4(х+1)(х 2 -х+1)-6х(х+1)=0,

(х+1)(4х 2 -4х+4-6х)=0, (х+1)( 4х 2 -10х+4)=0, х+1 =0, 4х 2 -10х+4=0,

х=-1, х=2,х=. Ответ. х=-1, х=2,х=.

3.2 Cпособ разложения на множители очень эффективный, но при видимой простоте группировки очень не просто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что приходится каждый раз экспериментировать.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р n (х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а)= R .

Следствие1. Если х=а ─корень уравнения Р n (х)=0, то R =0 и многочлен Р n (х) делится на двучлен х-а.

Следствие 2. Если многочлен Р n (х) делится на двучлен х-а, то

х=а ─ корень уравнения Р n (х)=0. [3]

Другой способ разложения левой части уравнения ах 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 на множители – применить теорему Безу и следствия из этой теоремы.

Чтобы использовать теорему Безу и следствия, необходимо изучить тему: «Деление многочленов нацело» и научиться делить многочлены «уголком».

Разделить многочлен на многочлен .

Деление можно выполнять уголком.

Остаток равен 0, поэтому многочлен делится нацело на многочлен . В результате деления многочленов также получился многочлен. Итак,

Выполнить деление многочленов:

Процесс деления продолжается до тех пор, пока остаток не будет равен нулю или степень очередного остатка не окажется меньше степени делителя.

Процесс подбора корня облегчает теорема.

а 0 х n + a 1 x n -1 + a 2 x n -2 . + a n -2 x + a n =0 c целыми коэффициентами а 0 , a 1 , a 2 , . a n -2 , a n ,где а 0≠ 0, имеет целые корни, то этот корень является делителем числа a n (свободного члена). [3]

Уравнение высших степеней. (Работа полезна студентам и начинающим трудовю деятельность педагогам)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Первомайская средняя общеобразовательная школа

Исследование видов и методов решения алгебраических уравнений высших степеней

Выполнил: Кугутко Николай,

обучающийся 10А класса

Руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории

МБОУ Первомайская СОШ

Забелина Галина Михайловна

Глава 2. Методы решения алгебраических уравнений

2.1. Схема Горнера (деление уголком)…………………………………………………………7

2.2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся……………………………………………..11

2.5. Уравнения вида , где ………………………17

2.6. В уравнениях вида ……………………………………20

2.7. В уравнениях вида …………………………………. 22

2.8. Выделение полного квадрата……………………………………………………………..23

2.9. Решение уравнений с помощью формулы ……………………25

2.10. Уравнения вида …………………………………………………..25

2.11. Уравнения вида ……………………………25

2.12. Метод разложения на простейшие дроби. …………………………………………….26

2.13. Метод введения параметра………………………………………………………………28

Приложение 1. Задания для самостоятельного решения «Проверь себя»………………….30

Приложение 2. Ответы к заданиям «Проверь себя»…………………………………………30

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладев способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями степени выше второй. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. Как решить эту проблему? В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрал тему «Исследование методов решения алгебраических уравнений высших степеней». На будущий год мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной.

Передо мной встала проблема: при помощи дополнительной литературы, образовательных порталов выявить виды и методы решения алгебраических уравнений высших степеней, не рассматривающиеся в школьном курсе математики, затем освоить найденные методы.

Цель моей исследовательской работы заключается в исследовании видов и методов решения алгебраических уравнений высших степеней и формировании знаний по теме исследования.

Для достижения цели я поставил следующие задачи:

Исследовать литературу, образовательные порталы по теории решения алгебраических уравнений высших степеней.

Отобрать, обработать и классифицировать исследуемый материал.

Составить сборник уравнений высших степеней.

Подготовиться к решению конкурсных заданий по данной теме.

Гипотеза: Возможно ли найти применение выбранной темы в олимпиадных заданиях и ЕГЭ.

Объект исследования: алгебраические уравнения высших степеней.

поисково-исследовательский;

аналитический.

Глава 1. История вопроса

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.

Омар Хайям (1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

Николо Тарталья (1499 – 1557)

решил уравнение в радикалах

Джероламо Кардано (1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней («формула Кардано»).

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах.

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

На сегодняшний день нет особых формул решения уравнений высших степеней (степень больше 3-х). Существует некоторое множество видов и методов решения этих уравнений. При разборе решений мне удалось систематизировать некоторый материал по теме исследования.

Обобщённая таблица видов и методов решения уравнений высших степеней.

чётная степень — делим обе части на х 2 и вводим новую переменную

нечётная степень – сводим к чётной степени

решаются, как и возвратные

2х 2 + 16ху +14у 2 = 0,

все члены уравнения делятся на dg 3

Уравнения вида , где

эффективно решать перемножением и , а затем делать замену.

Уравнения вида

в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

Уравнения вида

обе части уравнения делятся на

Уравнения вида

=8

выделение полного квадрата.

Уравнение вида

с помощью формулы

Уравнения вида

решаются при помощи замены

делим обе части на х 2 и вводим новую переменную

сведение левой части к сумме более простых дробей

х 3 –(√3 + 1) х 2 + 3.

метод введения параметра

Исходя из таблицы, выделяю следующие методы решения:

1. Разложение на множители

2. Введение новой переменной

1. Деление на подходящее выражение с переменной

2. Выделение полного квадрата

3. Схема Горнера

4. Деление уголком

5. Группировка скобок

6. Специальная замена

7. Представление дроби в виде двух дробей

8. Метод введения параметра

Глава 2. Методы решения алгебраических уравнений

2.1. Схема Горнера (деление уголком)

Теорема: Пусть несократимая дробь q/p является корнем уравнения a₀x_n+a₁x_n−1++a _{n -1} x+a_n=0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a₀, а число р является делителем свободного члена a_n.

Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 . Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют — целые.

Корнем многочлена f(x)=a₀x_n+a₁x_n−1++a _{n -1} x+a_n является x=c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x=c корень многочлена f(x)= a₀x_n+a₁x_n−1++a _{n -1} x+a_n, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(x−c)q(x) , где q(x)=b₀x_n−1+b₁x_n−2++b_n−2х+b _{n −1} это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x — c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f ( x )= a ₀ x _n + a ₁ x _n −1++ a _{n -1} x + a _n , а_{0 0}, g ( x )= x − c , то при делении f ( x ) на g ( x ) частное q ( x ) имеет вид q ( x )= b₀x_n−1+b₁x_n−2++b_n−2х+b _{n −1}, где b ₀= a ₀ , b _k = c b _{k −1}+ a _k , k =12 n −1 . Остаток r находится по формуле r=cb_n−1+a_n

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b₀=a₀ . Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример 1. Решить уравнение .

равно ±1, , тогда при х = 1:

2 – 5 – 1 + 3 + 1 = 0 => х = 1- корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

Имеем:

(х — 1)=0 или ,

х = 1 равно ±1, , тогда при х = -0,5:

-0,25 — 0,75 + 2 – 1 = 0 => х = -0,5 — корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

х = 1 или х = -0,5 или

Ответ: х = 1, х = — 0,5, .

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)( x2+x−6)=0(x−2)2(x−3)=0x=2; x=3

Одним из способов решения УВС является способ разложения на множители многочлена в левой части. Так как, если известен хотя бы один корень уравнения, то с помощью схемы Горнера можно разложить многочлен на множители и понизить степень уравнения.

Значит, основная задача — задача нахождения корня (подбором)!

Пример 3. Решить уравнение .

Старший коэффициент равен 1, коэффициенты целые числа, значит, корнями могут быть делители числа 6, т.е. . Используем схему Горнера

Так как уравнение третьей степени, значит, уравнение может иметь только три корня. По схеме Горнера мы их нашли: -1; -2; -3.

Можно было найти один корень с помощью проверки и разделить многочлен, расположенный в левой части уравнения на (х- х₀), где х₀ найденный корень.

Тогда получим следующее уравнение: ( х + 1 )( х 2 + 5х + 6 ) = 0. Квадратные уравнения мы решать умеем.

Ответ: .

Если старший коэффициент не равен 1, то уравнение с целыми коэффициентами имеет вид: а₀х п + а₁х п-1 + а₂х п-2 + .. + а_п = 0. Если несократимая дробь () является корнем этого уравнения, то р является делителем свободного члена, т.е. а_п , а п является делителем старшего коэффициента а₀.

Пример 4. Решить уравнение .

Делители свободного члена: , делители старшего коэффициента:.

Тогда корнями уравнения могут быть: . Проверка: — корни

Ответ:

Очень часто по свободному члену найти корни подбором бывает невозможно. Но и в этом случае иногда можно воспользоваться данным способом с помощью метода переброски.

Пример 5. Решить уравнение .

Корнями могут быть .

Тогда воспользуемся переброской коэффициентов и получим:

Пусть , тогда

Корнями могут быть: .

Подбором — корень

Тогда разделим многочлен на ()

Воспользуемся схемой Горнера:

а 3636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636 Тогда: у 2 + 2у + 7= 0, решая, находим у_1,2 = -1± . Теперь находим х.

Ответ:

Удобно найдя корень х=а, разделить левую часть уравнения на х — а

Пример 6. Решить уравнение x 3 – 2 x 2 – 9 = 0.

Делители 9: ±1: ±3: ±9

х = 3 27 – 18 – 9 = 0 0 = 0

х = 3 – корень уравнения

x 3 – 2 x 2 – 9 х – 3

х 2 – 3х

3х – 9

(х 2 + х + 3)(х – 3) = 0

х 2 + х + 3 = 0 или х – 3 = 0

D = 1 – 12 = — 11 (корней нет) х = 3

Пример 7. Решить уравнение 6х 3 — х 2 – 20х + 12 = 0.

– несократимая дробь,

p – делитель 12 ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

q – делитель 6 1; 2; 3; 6.

х = -2 – корень уравнения, т.к. — 48 – 4 + 40 + 12 = 0 0 = 0

6х 3 — х 2 – 20х + 12 х + 2

-13х 2 – 26х

6х + 12

(6х 2 – 13х +6)(х + 2) = 0

6х 2 – 13х +6 = 0 или х + 2 = 0

D = 169 – 144 = 25 х = -2

х₁ = = 1,5 х₂ = =

Ответ: х₁ = 1,5: х₂ = : х₃ = -2.

Пример 8. Решить уравнение х 3 — 6х 2 + 5х + 12 = 0.

Делители12: ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

х = 1 – корень уравнения т.к. — 1 – 6 – 5 + 12 = 0

х 3 — 6х 2 + 5х + 12 х +1

х 3 + х 2 х 2 – 7х + 12

—7х 2 – 7х

12х +12

(х 2 – 7х + 12)(х +1) = 0

х 2 – 7х + 12 = 0 или х + 1 = 0

Пример 9. Решить уравнение .

Очевидно — корень уравнения

Очевидно — корень уравнения

2.2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

Пример 10. Решить уравнение .

т.к. — не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Пусть , , получим

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1

Пример 11 Решить уравнение .

Очевидно — корень уравнения.

или

т.к — не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Пусть , , , получим

или или

корней нет

Ответ: , ,

2.3. Симметрические уравнения.

Определение: уравнение n -ой степени называется симметриче­ским, если у него равны коэффициенты при x R и при х n — R .Таким образом симметрическое уравнение имеет вид:

Симметрические уравнения являются частным видом возвратного уравнения, поэтому симметрические уравнения решаются тем же способом, что и возвратные.

Различают симметрические уравнения 3-ого порядка и 4-ого по­рядка.

Некоторые свойства симметрических уравнений:

Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень -1.

В результате деления симметрического уравнения нечетной сте­пени на (х + 1) получается симметрическое уравнение чет­ной степени на единицу меньше

Симметрическое уравнение четной степени 2 n подстановкой y = x + может сводиться в области действительных чисел к уравнению степени n и к уравнениям второй степени.

Пример 12. Решить уравнение .

Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х 2 . Тогда

Пусть , тогда . Получаем уравнение:

Чтобы найти х надо решить два уравнения:

и

Пример 13. Решить уравнение .

Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим: ( х – 1 )( х 6 — 3х 5 + 6х 4 – 7х 3 + 6х 2 -3х + +1) = 0, х 6 -3х 5 + 6х 4 — 7х 3 +6х 2 — 3х + 1 = 0. Разделим обе части уравнения на х 3 и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим:

Пусть , тогда , .

Получаем: , ( у – 1 ) 3 = 0, значит у=1

Т.к. , тогда , . Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень -1. Ответ: -1

Пример 14. Решить уравнение

Ответ:

Пример 15. Решить уравнение (6)

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х = 0 не является его корнем, то, разделив уравнение (6) на х 2 , получим равносильное ему уравнение:

(7)

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде

Положив , получим уравнение

имеющее два корня у₁ = 2 и у₂ = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

и

Решение первого уравнения этой совокупности есть х₁ = 1, а решение второго есть и .

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х₁, х₂ и х₃.

Ответ: х₁=1, , .

2.4. Однородные уравнения.

Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю.

— это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разде­лить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с уче­том, что он не равен нулю.

Пример 16. Решить уравнение .

Это уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х 2 = а; (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени: а 2 + 5ав = 6в 2 , разделим обе части уравнения на в 2 . Получаем: , пусть , тогда , где с₁ = 1, с₂ = -6. Получаем зависимость для а и в: . Т.е. а=в, значит х 2 = х+ 1 и а = -6в, значит х 2 = -6( х + 1 )

х 2 – х – 1 = 0 х 2 + 6х + 6х = 0

ответ

Это однородное уравнение второй степени относительно х и у.

( 0;0) является решением уравнения.

Пусть у, тогда разделим обе части уравнения на у 2 .

Получаем: . Пусть , . Где а₁= -1,

и -7

Ответ: ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).

Пример 18. Решить уравнение .

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

Пример 19. Решить уравнение ,

Пусть , , тогда

Найдем

Решая систему подстановкой, получим

или

корней нет ;

Ответ: ;

Пример 20. Решить уравнение .

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Пусть , тогда

;

или

; ;

Ответ: ; ; ;

Пример 21. Решить уравнение .

Проверим, является ли корнем уравнения:

можно разделить обе части уравнения на . Получаем:

.

Пусть , тогда

,

, .

1) , 2) ,

, ,

. ,

.

Ответ: .

2.5. Уравнения вида , где

эффективно решать перемножением и , а затем делать замену.

Пример 22. Решить уравнение.

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

Пусть , тогда получим уравнение:

Тогда и х 2 + 5х = — 12

Биквадратное уравнение (10) имеет два корня . Следовательно, уравнение (9) так же имеет два корня:

Ответ:

Пример 24. Решить уравнение

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

1. Организационный момент.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
2. Актуализация знаний учащихся.
   Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решения уравнения.
• Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
• Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
• Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
• Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : P_n(x) = 0 , где P_n(x) = a_nx n + a_n-1x n-1 + a₁x + a₀ – многочлен n-й степени от x, a_n ≠ 0 . Если a_n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x₁ = -1, x₂ = 3 + 2, x₃ = 3 – 2.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3; +5; +15>. Применим схему Горнера:

Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3>. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. <+1; +3; +9> Следовательно, корни будем искать среди значений <+1; +; +; +3>. Применим схему Горнера:

x 3	x 2	x 1	x 0	вывод
9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не корень
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не корень
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корень
x 2	x 1	x 0

Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x₁ = , x₂ = — , x₃ = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

• Если можно воспользоваться заменой вида y = kx.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3 ) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x₁ = -2, x₂ = 1.

Метод замены переменной.

• Возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

• Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней. Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x 8 – x 3 + 1 = 0 не имеет корней.
• Использование свойства монотонности функций. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
  Пример 1: уравнение x 5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
  Пример 2: уравнение x 4 + (x – 1) 4 = 97 имеет корни x₁ = -2 и x₂ = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

• Формула Кардано
• Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М., Просвещение, 2007 – 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
9. Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
10. Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
12. Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
13. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., Педагогика, 1985 – 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
15. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
16. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.