I урок решение иррациональных уравнений 10 кл

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие иррационального уравнения;

2) понятие иррационального неравенства;

3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;

4) методы решения иррациональных неравенств.

Глоссарий по теме

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что а≥0, тогда

Для нашего случая получим

или

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

Подчеркните корни данного уравнения

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Решите уравнение:

Рассмотрим область определения функций:

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Конспект к урокам №1 и №2 по теме: Иррациональные уравнения и неравенства
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема уроков № 1-2 : Иррациональные уравнения и неравенства.

Формы работы на уроках : фронтальная, групповая, индивидуальная.

• Используемые педагогические технологии : проблемного обучения, личностно-ориентированные технологии, развитие информационно-технологической компетенции( ИКТ).

• ввести понятие иррационального уравнения
• показать способы его решения
• показать универсальный способ записи ОДЗ
• показать способы решения иррациональных неравенств всех возможных видов.

• развитие интеллектуальных способностей, умение переносить знания в новые ситуации.

• активизация работы учащихся на уроке за счет работы в паре (группе), воспитания интереса к предмету, воспитание ответственности к своему образованию, как закладке фундамента знаний для успешной сдачи выпускного экзамена.

Тип урока : Урок первичного предъявления новых знаний

Оборудование : индивидуальные конспекты, индивидуальные листы самоконтроля, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин Москва «Просвещение» 2011г.

К конспекту урока приложен раздаточный материал.

Проверить готовность класса. Сообщить тему урока, образовательную цель урока, краткий план урока, рассадить учащихся по группам, в каждой из которых есть капитан, раздать каждому ученику опорно — схематический конспект, маршрутный лист.

II. Работа в группах по маршрутному листу.

1. Прочитать определение иррационального уравнения и привести два три своих примера, можно пользоваться учебником.

2. Решить в группе самое простое иррациональное уравнение и сделать проверку.

3. Записать О.Д.З. этого уравнения.

4. Один ученик из группы записывает выполненное задание на доске.

5. Рассмотреть способы решения иррациональных неравенств , когда правая часть неравенства число.

6. Придумать в группе свои примеры и записать их на доске.

7. Рассмотреть и придумать иррациональные неравенства , когда обе части являются функциям.

8. Записать решение в виде системы.

10 класс алгебра опорно- схематический конспект

тема: ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

Уравнение называется иррациональным если неизвестное находится под знаком корня. Решение любого иррационального уравнения состоит из трех частей :

2) Решить уравнение соответствующим способом. Чаще всего возведением обеих частей иррационального уравнения в квадрат.

3) Сделать письменно проверку и записать ответ.

При решении иррациональных уравнений с квадратными корнями рассматривают только арифметическое значение корня, то есть положительное значение корня например: =7 , =2 , =│1- │= -1 .

Отрицательное значение квадратного корня считается невозможным и не рассматривается.

ЗАКОН ЗАПИСИ ОДЗ:

1) знаменатель дроби не равен нулю

2) то, что стоит внутри квадратного корня или корня четной степени ≥ 0

Кубические корни и корни нечетной степени в ОДЗ не нуждаются.

Решение иррациональных неравенств вида:

1) │a│ , Решение: так как корень не может быть меньше отрицательного числа, то это неравенство решений не имеет.

Например: , решений нет .

2) │a│ например: , решение

ВЫВОД: РЕШЕНИЕМ ЯВЛЯЕТСЯ О.Д.З.

3) │a│ например: , решение

4) │a │ например: , решение

Если обе части неравенства являются функциями, то возможны два случая

Решение: возможны два случая

Домашнее задание : §9,10 №№ 152-155, 165-170.

Лист самоконтроля № 6 10 класс алгебра

1) Определение иррационального уравнения.

2)Способ решения иррационального уравнения.

3)Закон записи ограничений или, что, то же самое ОДЗ. (Каким может быть х ?)

4)Решение иррациональных неравенств, если корень меньше положительного числа.

5) Решение иррациональных неравенств , если корень больше положительного числа.

6)Когда иррациональное неравенство не имеет решений?

7) Когда иррациональное неравенство имеет решением свое ОДЗ?

8)Случай, когда корень меньше функции от х.

9) Два случая, когда корень больше функции от х.

III.Коллективное создание продукта

Капитаны или ученик по желанию каждой группы записывают выполненные задания на доске и комментируют в соответствии с конспектом отвечая на вопросы из листа самоконтроля .(Данные ответы желательно оценить).

IV.Подведение итогов урока.

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике.За активную работу и ответы на доске выставляются хорошие оценки учащимся.

V. Домашнее задание : §9,10 №№ 152-155, 165-170 .Дополнительно №№156-154,171-174,189-191.

Выучить опорно- схематический конспект №6.

Теоретическая часть домашнего задания должна быть выполнена к следующему уроку обязательно! НЕ менее 7 примеров из разных номеров основного задания.

Урок №2 Иррациональные уравнения и неравенства.

. проверка знаний учащихся, обобщение знаний учащихся по данной теме

. демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений

. учить подходить к решению уравнений и неравенств с исследовательских позиций.

.активизация работы учащихся на уроке за счет работы в паре (группе), воспитания интереса к предмету, воспитание ответственности к своему образованию , как закладке фундамента знаний для успешной сдачи выпускного экзамена.

.развитие логического мышления ,навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при решении примеров, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, делать самопроверку..

Оборудование : компьютер, проектор, дидактический материал, состоящий из 42 иррациональных уравнений, разбитых по способам решения на 12 разделов, образцы решений 11 иррациональных уравнений по одному из 11 разделов.

Тип урока : Урок общения и систематизации предметных знаний, умений, навыков.

(Сообщение темы урока)

II.Анализ методов решения домашнего задания.

(Перед началом занятия учащиеся из групп записали на доске решение №№ 152-155, 165-170,174. Другие учащиеся анализируют способы решения, дополняют, если необходимо, делают выводы. Работа учащихся оценивается. Обходом проверяется наличие этих номеров в домашних тетрадях.

Учащимся выдается дидактический материал, в котором выделены цветом номера примеров, решение которых будет разбираться на этом уроке. Так как лучшим учеником в классе является учитель, то решение образцов примеров производится учителем. На экран построчно проектируется под комментарии учителя (можно пользоваться и пояснениями учащихся) решение выделенных примеров. После разбора учащиеся самостоятельно повторяют решение в тетрадях, работая при этом в группах.

В конце урока каждому ученику раздаются разобранные образцы решения иррациональных уравнений ,разбитых по способам решения.

IV. Домашнее задание : решить оставшиеся иррациональные уравнения, ПОЛЬЗУЯСЬ ОБРАЗЦАМИ

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: «Решение иррациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе

Тема урока: «Иррациональные уравнения»

Оборудование проектор, слайды по теме урока, доска на три человека, карточки-раздаточный материал.

обучающая — обобщить и систематизировать знания учащихся по применению различных способов решения иррациональных уравнений с одним корнем или с двумя.

развивающая — развить нестандартное мышление через умение находить рациональные пути решения, научить переключаться с одного способа на другой.

воспитательная — воспитать культуру соблюдения всех этапов аргументации при решении уравнений, терпение, упорство в достижении цели.

1. Введение в урок, организационный этап.

Здравствуйте ребята! Тема нашего урока: «Способы решения иррациональных уравнений».

Цель урока состоит в том, чтобы обобщить и систематизировать методы решения иррациональных уравнений; познакомить вас с новым типом иррациональных уравнений, состоящих из двух радикалов; на этом уроке мы попытаемся научиться определять оптимальный способ решения того или иного иррационального уравнения.

2. Устный счет, проверка домашнего задания.

Начнем с обзора домашнего задания. Откройте тетради с домашней работой. На дом вам было задано решить уравнения различными способами: методом равносильных переходов и методом проверки. Кто покажет свое решение на доске? Пожалуйста. ( Выходят два ученика и приступают к оформлению решений уравнений, решенных различными способами ).

А остальные включаются в устный счет ( работа с классом )

1) Имеет ли уравнение корни

Ответ: Нет. Почему? (Так как правая и левая части принимают разные значения).

2) Решите уравнение

Ответ :

3) Решите уравнение

Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как корень квадратный ни при каких значениях х не может принимать значение равное – 2.)

4) Решите уравнение

Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как сумма двух неотрицательных выражений не может принимать отрицательное значение).

5) Решите уравнение

Ответ : х=3. Поясните ход решения. (Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если только оба слагаемых одновременно равны нулю).

Итак, как вы уже заметили, уравнение может иметь единственный корень или несколько корней, а может совсем не иметь решений. Вы так же поняли, что, иногда, только по виду уравнения можно сразу определить количество его корней. В большинстве же случаев, которые вы изучали уже ранее, только доведя решение задачи до конца, можно однозначно ответить на этот вопрос.

Напомню, что решениями или корнями уравнения называют те значения переменной, при подстановке которых в него, обе части уравнения одновременно принимают одно и тоже значение. Обратите внимание, что к решениям уравнения используется устоявшийся термин «корень». И сегодня мы будем рассматривать иррациональные уравнения, содержащие только квадратные корни.

Наши отвечающие у доски уже готовы, давайте посмотрим на их решения.

Уравнение на доске 1-го ученика. Решить: .

Решение:

. Ответ: .

Учитель: Ответьте, ребята, почему этот пример не был проверен способом подстановки?

Ученик 1: В таком способе отбора корней необходимо вычислить значения обеих частей уравнения и убедиться, что они принимают равные значения. Очевидно, что достаточно трудно вычислить значение левой части уравнения при .

Учитель : Да, но не надо забывать и достоинства способа проверки корней уравнения с помощью их подстановки в него. Ведь этим способом мы заодно проверяем, не допустили ли мы арифметической ошибки? Давайте разберем другое уравнение, приведенное на доске и проверенное методом подстановки.

Уравнение на доске 2-го ученика. Решить: .

Решение:

.

Проверка :

равенство неверное.

— не является корнем исходного уравнения.

Ответ: корней нет.

Учитель: Скажите, обязательно ли было записывать проверку в решении, если вы сделали ее устно?

Ученик 2: Здесь очень важно было доказать, что данное уравнение решений не имеет, поэтому проверка является доказательством того, что найденный корень как раз посторонний, поэтому эту часть решений приводят обязательно.

Учитель: А если бы этот корень при подстановке подходил и превращал уравнение в верное числовое равенство, надо было бы выписывать в решении проверку и почему? Кто из класса ответит?

Ученик 3: Конечно надо, так как при возведении в квадрат мы переходили к уравнению, которое может иметь посторонние для исходного уравнения корни. Надо проверить, какие именно корни являются решениями исходного иррационального уравнения.

Учитель: Молодцы все, кто был у доски и активно участвовал в обсуждении и устном счете!

3. Сравнительный анализ аналитических способов решений иррационального уравнения имеющего стандартный вид.

Учитель: Давайте теперь перейдем к обзору многочисленных способов решения иррациональных уравнений. Для начала вспомним, какие именно уравнения называются иррациональными?

Ученик: Уравнения, содержащие переменную под знаком корня.

Учитель: Верно, иногда еще говорят, что это уравнения, содержащие знак радикала, и это тоже будет правильно, так как знак самого корня произошел от латинской буквы r . Дело в том, что первыми «нерациональными» числами считались числа, содержащие корень, «который не извлекался». Например, Поэтому и уравнения, содержащие под корнем переменную, стали называть иррациональными. Однако в конце урока я напомню вам еще об одном «важном» для математиков иррациональном числе, которое вы прекрасно знаете. Однако, «иррациональным» оно стало считаться намного позже чисел, указанных выше, то есть содержащих радикал.

Итак, давайте обобщим наблюдения по использованию различных способов отбора корней при возведении в квадрат стандартного иррационального уравнения, выделим их достоинства и недостатки.

1) если проверять корни « подстановкой» их в исходное уравнение, то в случае равенства левой и правой части мы убеждаемся, что в решении мы не допускали арифметических ошибок. Помните, как именно для этого производилась проверка при решении уравнений в младших классах?

Недостаток способа решения «подстановкой» проявляется в случае, если корни «неудобные» с точки зрения арифметики.

2) если найденные корни дробные, многозначные или иррациональные, то, как вы уже знаете, можно проверить только неотрицательность правой части стандартного иррационального уравнения. В этом и заключается достоинство метода «равносильного перехода».

3) напомню теперь третий способ, который мы сегодня не приводили на примерах. Если при возведении в квадрат получаются трудоемкие упрощения и вычисления, тогда обратите внимание на решение системы условий, при которых одновременно и подкоренное выражение и правая часть, которой этот корень равен, являются неотрицательными. Посмотрите, пожалуйста, на следующий слайд:

Решить уравнение .

Ответ: решений нет.

Учитель: Кто прокомментирует решение?

Ученик: Так как корень уравнения при подстановке в уравнение превращает его в верное числовое равенство, то, прежде всего, этот корень должен удовлетворять выписанной системе условий. Достаточно заметить, что эта система решений не имеет, а это значит, что и само уравнение не имеет корней.

Учитель: Давайте этот метод назовем «метод пристального взгляда», так как если вовремя обратить на такую систему внимание, это значительно сэкономит время при решении такого уравнения.

4. Сравнительный анализ различных способов решения уравнений, содержащих один корень.

Учитель: Ранее мы обсудили различные способы отбора корней стандартного иррационального уравнения, повторив их дома. Давайте теперь решим одно уравнение различными способами в тетрадях и на доске. Открыли тетради, записали число и задание. Решить уравнение . Каждый ряд решает это уравнение своим способом: 1 ряд – возведением в квадрат, 2 ряд – введением новой переменной, 3 ряд – графическим способом. По одному ученику из каждого ряда выполнят эту же работу у доски. Кто к доске?

(Три ученика одновременно вызываются к доске)

(После пяти минут работы, происходит анализ решений со всем классом)

1-й способ решения, «Возведением в квадрат».

Решить уравнение.

Решение :

Отсюда, Ответ: 4.

Учитель: Вопрос ряду 2 и 3. Скажите, а почему важно было сначала уединить корень перед возведением в квадрат?

Ученик: Если уединить корень мы сразу от него избавляемся, для чего и возводим его в квадрат.

Учитель: Правильно. Давайте теперь посмотрим, как можно свести уравнение с корнем к квадратному методом «подстановки».

2-й способ решения. «Введения новой переменной».

Решить уравнение .

Решение: Пусть , где , тогда .

. Отсюда, ; . Ответ: 4.

Учитель: Вопрос ряду 1 и 3. А если не выписывали бы условие на новую переменную, как тогда нужно оформлять решение?

Ученик: Тогда бы при возвращении к х нужно было бы записать, что уравнение не имеет решений.

Учитель: Правильно. Посмотрим теперь другое решение этого же уравнения.

3-й способ решения. «Графический».

Решить уравнение.

Решение:

Проверка : подставим в систему — система верна.

Из рисунка 1 видно, что найденная точка их пересечения единственная, то есть единственный корень исходного уравнения.

Учитель : Вопрос 1 и 2 ряду. Скажите, а почему «из чертежа очевидно», что будет только одна точка пересечения?

Ученик: Обе эти функции монотонно возрастают, причем прямая быстрее увеличивает свои значения, чем функция . Это значит, что график последней функции никогда не догонит прямую после того, как они пересеклись при .

Учитель: Тем более, что при прямая лежала ниже графика .

Все молодцы! Мы рассмотрели различные способы решения уравнений с одним корнем. Как видите графический способ нагляднее, но трудный в угадывании корней, а так же, в обосновании их количества. В этом он и проигрывает любому аналитическому способу.

Давайте теперь проанализируем приведенные на слайде три решения одного иррационального уравнения и выберем самое красивое из них.

Слайд 1. Решить уравнение

Решение. «Возведение в квадрат » перейдем к системе:

Так как первое уравнение имеет D = — 3

Ответ: нет решений.

Слайд 2 . Решить уравнение

Решение: «Пристальным взглядом» можно заметить, что корень уравнения должен удовлетворять системе условий:

Так как система не имеет решений ни при одном значении x , то корней нет.

Ответ: нет решений.

Слайд 3 . Решить уравнение

Решение: «Графический способ» применим к системе:

Так как при функция монотонно возрастает, а монотонно убывает. С учетом, что при прямая лежит ниже нуля, то графики рассматриваемых функций не пересекутся.

Ответ: нет решений.

Учитель: Каким же способом рациональнее было решать данное уравнение?

Класс: Вторым способом.

5 . Индивидуальная работа. А теперь попробуйте решить уравнения методом введения новой переменной. Решаем уравнение, поднимаем руки и сверяем свои решения с приведенным на слайде.

6 . Применение изученных способов к решению уравнений с двумя радикалами.

Учитель: Давайте теперь попробуем решить уравнение с двумя квадратными корнями различными способами. Все пишут в тетрадях, я у доски.

Решить уравнение.

Решение 1: Перед тем, как возвести обе части уравнения в квадрат часто целесообразно сначала уединить корень, как это уже мы делали ранее.

Методом равносильных переходов решить полученное уравнение достаточно тяжело, а значит не рационально. Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения и затем проверим корень подстановкой.

Проверка. Подставим в уравнение; — верное равенство, то есть 2 является решением исходного уравнения.

Графически представить части уравнения, даже переносом радикалов в разные стороны достаточно сложно, хотя и можно построить с помощью переносов осей графики частей уравнения Но из этого все равно следует, что корень придется угадывать и проверять, а его единственность обосновывать монотонностью функций. В этом случае есть способ попроще, но, по сути, он аналогичен графическому.

Решение 2: Так как каждое из слагаемых левой части уравнения монотонно возрастает при увеличении переменной, то и их сумма монотонно возрастает, а, значит, любое свое значение правая часть уравнения принимает только при одном значении . Подбором можно проверить, что при левая часть равна пяти, следовательно, других таких значений х не существует. Ответ: 2.

Учитель: Какой из способов решения наиболее оптимален?

Класс: Второй способ.

Учитель: Еще раз отметим, что метод возведения в квадрат значительно упрощается во многих случаях, если уединить корень. Но этот аналитический способ универсальный, так как графический способ «монотонности левой части»» не всегда применим. Тем более если корень попросту не угадывается. А доказать, что его не существует вообще не возможно. Например, кто может сказать, почему последний способ не применим к уравнению , в котором надо найти все целые решения?

Ученик: Так как один корень левой части является монотонно возрастающей функцией, а второй — убывающей, то их сумма может не быть монотонной при любых х . А значит и значение равное 1 может принимать два раза.

Учитель: Остается только уединять один из корней, возводить в квадрат и выполнить проверку. Но это я предлагаю вам сделать дома. Скажите лучше, а нельзя ли здесь «пристально посмотреть» на данное уравнение. Ведь если вернуться к предыдущему «графическому» способу, в случае, если бы мы не заметили, что правая часть не монотонная, то подбор корня мы бы осуществляли, ориентируясь на область определения функции, то есть левой части уравнения. Кто теперь решит эту задачу?

Ученик: Найдем область определения левой части, решив систему . Так как по условию задачи надо найти только целые корни уравнения, то остается проверить все три целых числа, найденной области определения, числа: 2, 3, 4. Подстановкой не трудно проверить, что только является корнем исходного уравнения.

Учитель: Молодец! Думаю, что, прорешав это задание дома возведением в квадрат, вы еще больше убедитесь в красоте только что разобранного решения.

7. Самостоятельная работа. Давайте посмотрим, как быстро вы теперь решите уравнения, не возводя их в квадрат.

Выписывайте ответы себе в тетрадку, а листочки с работой сдаете мне.

У кого 3 правильных ответа? Это 5. Вы получаете право сегодня называться УМНИКОМ.

2 ответа? – 4. Почти умник.

1 ответ? Хоть и тройка, но тоже не плохо.

8. Задание на дом. Итог урока.

— Дома вы решите приведенные на розданных вам листиках уравнения различными способами решения. На следующий урок ответите, каким именно способом рациональнее всего было решать каждое.

14 марта — Всемирный день числа . Именно это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру вы прекрасно знаете из геометрии. Как раз оно так же является иррациональным, хотя и не содержит в своей записи корень.