И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического
- Ростислав Новиков 4 лет назад Просмотров:
1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Простейшие тригонометрические уравнения Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического раздела. Пусть a некоторое число. Простейшие тригонометрические уравнения это уравнения следующих видов: cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a. Решить простейшее тригонометрическое уравнение это значит описать множество значений переменной x, для которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение a. Решение любого тригонометрического уравнения сводится, как правило, к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения мы будем решать с помощью тригонометрической окружности. Уравнение cos x = a Напомним, что по определению cos x это абсцисса точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x. Этого достаточно для рассмотрения уравнения cos x = a. Если a > 1 или a 2 . cos x = 1. На тригонометрической окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1: Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, то есть на целое число полных углов. Следовательно, все решения уравнения cos x = 1 записываются формулой: x = + n, n Z. Заодно вспоминаем первое правило, сформулированное нами в статье «Тригонометрическая окружность»: для описания множества углов, отвечающих одной точке тригонометрической окружности, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить n.. cos x = 0. Отмечаем на тригонометрической окружности точки с нулевой абсциссой. Их две: Эти точки образуют диаметральную пару (то есть служат концами диаметра тригонометрической окружности). Все углы, отвечающие точкам диаметральной пары, отличаются друг от друга на целое число углов (то есть на целое число полуоборотов как в одну, так и в другую сторону). Соответственно, вспоминаем второе правило из статьи «Тригонометрическая окружность»: для описания множества углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрической окружности, нужно взять один угол из этого множества и прибавить n. Следовательно, все решения уравнения cos x = 0 описываются формулой: x = + n, n Z.
3 . cos x = 1. Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1/: 1 Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой: x 1 = + n, n Z. Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой: x = + n, n Z. Обе серии решений можно описать одной формулой: x = ± + n, n Z. Именно так мы и записываем решения уравнения cos x = 1. Нижеследующие уравнения решаются совершенно аналогично. Для каждого уравнения мы приводим лишь рисунок и ответ. 5. cos x =. x = ± + n, n Z.. cos x =. x = ± + n, n Z.
4 7. cos x = 1. 1 x = ± + n, n Z. 8. cos x =. x = ± + n, n Z. 9. cos x =. 5 x = ± 5 + n, n Z. 5 До сих пор мы рассматривали уравнения, в правой части которых стояли табличные значения косинуса (а именно, 0, ±1, ±1/, ± /, ± /). Как быть в иных случаях? 10. cos x =. Имеем вертикальную пару точек с абсциссой /: arccos arccos
5 Верхняя точка отвечает углу arccos (напомним, что значения арккосинуса принадлежат отрезку [0; ]). Стало быть, решения данного уравнения описываются формулой: x = ± arccos + n, n Z. 11. cos x =. Имеем вертикальную пару точек с абсциссой /: arccos ( ) arccos ( ) Записываем ответ: ( x = ± arccos ) + n, n Z. Напомним, что арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией, поэтому знак минус у аргумента арккосинуса так и оставляем. При желании можно воспользоваться соотношением: arccos ( ) = arccos. 1. cos x = a. Теперь ясно, как выглядит решение уравнения в общем случае (разумеется, при a 1). arccos a a x = ± arccos a + n, n Z. arccos a Данная формула обобщает все случаи, рассмотренные выше. Уравнение sin x = a Для рассмотрения уравнения sin x = a достаточно определения синуса: sin x это ордината точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x. При a > 1 или a 6 1. sin x = 1. На тригонометрической окружности имеется единственная точка с ординатой 1: x = + n, n Z.. sin x = 1. x = + n, n Z.. sin x = 0. На тригонометрической окружности имеются две точки с нулевой ординатой: 0 Решения данного уравнения описываются простой формулой: x = n, n Z.. sin x = 1. Возникает горизонтальная пара точек с ординатой 1/: 5 1
7 Правой точке соответствуют углы: x 1 = + n, n Z. Левой точке соответствуют углы: x = 5 + n, n Z. Обе серии решений x 1 и x можно записать в виде совокупности: x = + n, x = 5 + n, n Z. Оказывается, существует одна-единственная формула, объединяющая обе серии. Выглядит она так: x = ( 1) k + k, k Z. Давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = n, то x = ( 1) n + n = + n. Мы получили первую серию решений x 1. А если k нечётно, k = n + 1, то x = ( 1) n+1 + (n + 1) = + n + = 5 + n. Это вторая серия x. В качестве множителя при ( 1) k обычно ставится правая точка, в данном случае /. Нижеследующие уравнения решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу. 5. sin x =. x = + n, x = + n, n Z; x = ( 1) k + k, k Z.. sin x =. x = + n, x = + n, n Z; x = ( 1) k + k, k Z. 7
8 7. sin x = 1. x = + n, x = 5 + n, n Z; 1 5 x = ( 1) k+1 + k, k Z. 8. sin x =. x = + n, x = + n, n Z; x = ( 1) k+1 + k, k Z. 9. sin x =. x = + n, x = + n, n Z; x = ( 1) k+1 + k, k Z. Теперь перейдём к уравнениям с нетабличным значением синуса в правой части. 10. sin x =. Имеем горизонтальную пару точек с ординатой /: arcsin arcsin 8
9 Правая точка отвечает углу arcsin (напомним, что значения арксинуса принадлежат отрезку [ ; ] ). Обратите внимание на выражение для угла, отвечающего левой точке! Записываем решения данного уравнения в виде совокупности: x = arcsin + n, x = arcsin + n, n Z. Объединяющая формула: x = ( 1) k arcsin + k, k Z. 11. sin x =. Смотрите рисунок и формулы. Вам уже не составит труда разобраться в этой ситуации. Мы воспользовались здесь нечётностью аркинуса. x = arcsin + n, x = + arcsin + n, n Z; + arcsin arcsin ( ) = arcsin x = ( 1) k+1 arcsin + k, k Z. 1. sin x = a. Теперь нам ясно, как выглядят решения в общем случае (разумеется, при a 1). arcsin a a arcsin a [ x = arcsin a + n, x = arcsin a + n, n Z; x = ( 1) k+1 arcsin a + k, k Z. Данные формулы обобщают разобранные выше случаи. Уравнение tg x = a Вспомним, что тангенс может принимать любые значения (область значений функции y = tg x есть всё множество R). Стало быть, уравнение tg x = a имеет решения при любом a. 1. tg x = 0. Будучи записано в виде sin x cos x = 0, данное уравнение равносильно уравнению sin x = 0. Его решения, как мы знаем, имеют вид: x = n, n Z. 9
10 . tg x = 1. Здесь нам уже понадобится линия тангенсов. Имеем диаметральную пару: 1 Пишем ответ: x = + n, n Z. Нижеследующие уравнения решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.. tg x = 1. 1 x = + n, n Z.. tg x =. x = + n, n Z. 10
11 5. tg x = 1. x = + n, n Z. 1. tg x = 1. x = + n, n Z tg x =. x = + n, n Z. 11
12 8. tg x =. arctg x = arctg + n, n Z. 9. tg x =. x = arctg + n, n Z. arctg Здесь мы воспользовались нечётностью арктангенса: arctg( ) = arctg. 1
13 Теперь ясно, что мы имеем в общем случае. 10. tg x = a. a arctg a x = arctg a + n, n Z. Данная формула обобщает случаи, рассмотренные выше. Уравнение ctg x = a Уравнение ctg x = a можно не рассматривать отдельно, поскольку: уравнение ctg x = 0, будучи записано в виде cos x/ sin x = 0, равносильно уравнению cos x = 0 и потому имеет решения x = + n (n Z); при a 0 уравнение ctg x = a равносильно уравнению tg x = 1 a x = arctg 1 + n (n Z). a и потому имеет решения 1
Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
«Уравнения будут существовать вечно».
Цели урока:
- Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
- Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
- Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
1 урок
I. Актуализация опорных знаний
Устно решить уравнения:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –
6) sin
7) tgx =
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
; 
; 
; 1) х = 2
2) х = ±
3) х =±
4) х =
5) х = (–1)
6) х = (–1)
7) х =
8) х =
+ 2
+ 2
II. Изучение нового материала
– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).
Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.
Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.
(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)
1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители
sin 4x = 3 cos 2x
Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 
= 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.
2x = 
+ 
к, к 
Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 
1
x = 
+ к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.
2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение
cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.
Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin 
= 2 sin 
сos
cos 3x + 2 sin 
сos 
= 0,
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит 
Ответ:
3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Для решения уравнения воспользуемся формулой 
Ответ: 
4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Пусть sin x = t, где | t |
. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,
. Таким образом 
. 
не удовлетворяет условию | t |.
Значит sin x = 
. Поэтому 
.
Ответ: 
III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова
1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. 
(преобразование произведения в сумму)
(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)
№ 164 (а)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t 
= – 1, t
= . Откуда 
Ответ: –
.
№ 167 (а)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.
Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.
Ответ: 
№ 168 (а )
Ответ: 
№ 174 (а )
Ответ: 
Решить уравнение: 
Ответ: 
2 урок (урок-лекция)
IV. Изучение нового материала (продолжение)
– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.
5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.
sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.
Получим tg x – 1 = 0.
Ответ: 
Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.
Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.
тогда 
Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.
В итоге x = arctg 2 + 
, x = 
Ответ: arctg 2 + ,
Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).
Ответ: arctg 2 + k,
6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.
Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде: 
Учитывая, что 
и
, получим:
Ответ: 
7 способ. Введение дополнительного аргумента
Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:
.
(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)
Введём дополнительный аргумент – угол 
такой, что 
Тогда 
Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.
Учтём, что 
. Тогда получим 
0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что 
, т.е. = arcsin 0,6. Далее получим 
Ответ: – arcsin 0,8 + +
8 способ. Уравнения вида Р 
Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .
Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.
Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = 
. Следовательно получим:
t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим 
= 1, 
=
.
sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =
Ответ: 
9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Решить уравнение: 
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида
, запишем систему, равносильную исходному уравнению:
Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.
1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.
Условию 
удовлетворяют только решения
Ответ: 
10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.
Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе: 
Решение системы 
Ответ:
V. Итог урока
Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.
(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )
Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
http://urok.1sept.ru/articles/593441
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/280