Ибрагимов групповой анализ дифференциальных уравнений

Н. Х. Ибрагимов
Группы преобразований
в математической физике

Книга отражает современное развитие теоретико-групповых методов применительно к задачам математической физики. Она включает теорию инвариантов групп преобразований в римановых пространствах и групповой анализ уравнений Эйнштейна. Изучаются алгебро-геометрические аспекты принципа Гюйгенса и законов сохранения. Излагаются основы теории формальных групп преобразований Ли—Беклунда, инвариантных дифференциальных многообразий и проводится групповая классификация нелинейных дифференциальных уравнений. Рассчитана на математиков, физиков и механиков, интересующихся вопросами качественного анализа дифференциальных уравнений.

Часть первая. ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Вводная глава. Группы и дифференциальные уравнения

1.1. Топологические группы
1.2. Группы Ли
1.3. Локальные группы
1.4. Локальные группы Ли

2.1. Определения
2.2. Алгебры Ли и локальные группы Ли
2.3. Внутренние автоморфизмы
2.4. Теорема Леви — Мальцева

3.1. Локальные группы преобразований
3.2. Уравнение Ли
3.3. Инварианты
3.4. Инвариантные многообразия

4.1. Продолжение точечных преобразований
4.2. Определяющее уравнение
4.3. Инвариантные и частично инвариантные решения
4.4. Метод инвариантных мажорант

Глава 1. Движения в римановых пространствах

6.1. Локальные римановы многообразия
6.2. Произвольные движения в V_n
6.3. Дефект группы движений в V_n
6.4. Инвариантное семейство пространств

7.1. Изометрии
7.2. Конформные движения
7.3. Движения с δ=2
7.4. Неконформные движения с δ=1
7.5. Движения с заданными инвариантами

8.1. Конформные пространства
8.2. Пространства постоянной кривизны
8.3. Конформно-плоские пространства
8.4. Пространства с определенной метрикой
8.5. Лоренцевы пространства

9.1. Гармонические координаты
9.2. Группа, допускаемая уравнениями Эйнштейна
9.3. Разложение Ли — Вессио
9.4. Точные решения

10.1. Предварительные рассмотрения
10.2. Линейные уравнения в S_n
10.3. Полулинейные уравнения в S_n
10.4. Уравнения с группой изометрий максимального порядка
10.5. Волновое уравнение в лоренцевых пространствах

Глава 2. Принцип Гюйгенса с групповой точки зрения

11.1. Проблема Адамара
11.2. Критерий Адамара
11.3. Теорема Матиссона — Асгейрссона
11.4. Необходимые условия Гюнтера и Макленагана
11.5. Преобразование Лагнеза — Штельмахера
11.6. Современное состояние и обобщения проблемы Адамара

12.1. Вычисление геодезического расстояния в метрике плоской волны
12.2. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса
12.3. Решение задачи Коши
12.4. Случай тривиальной конформной группы

13.1. Предварительный анализ решения
13.2. Преобразование Фурье функции Бесселя J₀(a|μ|)
13.3. Метод спуска. Представление решения для произвольных п
13.4. Обсуждение принципа Гюйгенса
13.5. Нарушение связи принципа Гюйгенса с конформной инвариантностью

Часть вторая. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Глава 3. Введение в теорию групп Ли-Беклунда

14.1. Контактные преобразования
14.2. Касательные преобразования конечного порядка
14.3. Преобразование Бианки — Ли
14.4. Преобразования Беклунда. Примеры
14.5. Понятие касательных преобразований бесконечного порядка

15.1. Уравнение Ли для формальных однопараметрических групп
15.2. Инварианты и инвариантные многообразия

16.1. Определение и инфинитезимальный критерий
16.2. Операторы Ли — Беклунда. Канонический оператор
16.3. Примеры

17.1. Критерий инвариантности
17.2. Примеры решения определяющего уравнения
17.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
17.4. Теорема об изоморфизме
17.5. Линеаризация преобразованиями Ли — Беклунда

Глава 4. Уравнения с бесконечной группой Ли — Беклунда

18.1. Уравнение теплопроводности
18.2. Уравнение Кортевега — де Фриза
18.3. Уравнение пятого порядка
18.4. Волновое уравнение

19.1. Алгебра A_F
19.2. Формула Фаа де Бруно
19.3. Алгебра L_F
19.4. Преобразования эквивалентности

20.1. m=2
20.2. m=3
20.3. Две системы нелинейных уравнений

21.1. Анализ общего случая
21.2. Классификация уравнений s=F(z)
21.3. Система двух нелинейных уравнений

Глава 5. Законы сохранения

22.1. Тождество Нётер
22.2. Теорема Нётер
22.3. Инвариантность на экстремалях
22.4. Действие присоединенной алгебры
22.5. Интегралы эволюционных уравнений

23.1. Движение в пространстве де Ситтера
23.2. Уравнение u_tt+Δ 2 u=0
23.3. Нестационарное околозвуковое течение газа
23.4. Короткие волны

24.1. Законы сохранения в релятивистской механике
24.2. Нелинейное волновое уравнение
24.3. Уравнение Дирака

25.1. Свободное движение частицы
25.2. Идеальный газ
25.3. Несжимаемая жидкость
25.4. Течение мелкой воды
25.5. Базис законов сохранения для уравнения КдФ

Ибрагимов групповой анализ дифференциальных уравнений

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842–1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958–1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]). Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.

К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа. Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания. Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.

Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника. При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И. Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.

При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона — одного из бывших слушателей

Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Заключительные замечания Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана ОПЫТ Предисловие 3 Глава первая . Исходные понятия и алгоритмы 3 Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли Глава вторая . Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу 12 Глава третья . Групповая классификация уравнений второго порядка 21 Глава четвертая . Инвариантные решения 28 Литература 42 Приложение 43

Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла — дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений. Я стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём. Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.

Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов. Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп. Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.

Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.

которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.

1. Э.Л.Айнс . Обыкновенные дифференциальные уравнения . — Харьков: ОНТИ, 1939. — Гл. IV. — С. 127–153.
2. В.А.Байков , Р.К.Газизов , Н.X.Ибрагимов . Приближённые симметрии // Матем. сб. — 1988. — Т. 136. — Вып. 4. — С. 435–450.
3. В.А.Галактионов , В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин , С.П.Курдюмов , А.А.Самарский . Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 28. — С. 95–205.
4. Э.Гурса . Курс математического анализа . — М.—Л.: ГТТИ, 1933. — Т. II. — Ч. II. гл. XIX. — Разд. IV. — С. 92–104.
5. L.E.Dickson . Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. — 1924. — V. 25. — P. 287–378. назад к тексту
6. В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин . Симметрия в решениях уравнений математической физики . — М.: Знание, 1984. — 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988. — С. 123–191.
7. Н.X.Ибрагимов . Группы преобразований в математической физике . — М.: Наука, 1983.— 280 с. назад к тексту
8. S.Lie . Vorlesungen über continuierliche Gruppen . — Leipzig: Teubner, 1893. — 805 c. назад к тексту
9. Л.В.Овсянников .
   1. Групповые свойства дифференциальных уравнений . — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 240 с.
   2. Групповой анализ дифференциальных уравнений . — М.: Наука, 1978. — 400 с. назад к тексту

10. Л.В.Овсянников , Н.X.Ибрагимов . Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. — С. 5–52. назад к тексту
11. Е.М.Полищук . Софус Ли . — Л.: Наука, 1983. — 214 с.
12. Н.Г.Чеботарев . Теория групп Ли . — М.—Л.: ГИТТЛ, 1940. — 396 с.

Добавлю сюда ещё одну книгу — П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М., Мир, 1989), — которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка.

Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений

Скачать книгу в формате:

Аннотация

Ибрагимов Н. X. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Знание, 1991. — 48 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 7). ISBN 5-07-002045-5 55 к.

Одним из впечатляющих достижений С. Ли (1842—1899) явилось открытие, что известные частные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, казавшиеся искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп. Настоящая брошюра поможет читателю освоиться с совокупностью знаний и навыков по групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений. Она может служить в качестве краткого практического руководства для широкого круга научных работников, преподавателей и студентов.

Отзывы

Популярные книги

• 56036
• 10
• 5

Ольга Громыко Профессия: ведьма Профессия: ведьма СТАРМИНСКАЯ ШКОЛА ЧАРОДЕЕВ, ПИФИЙ И ТРАВНИ.

Профессия: ведьма (Тетралогия)

• 39999
• 5
• 2

Александр Солженицын Матренин двор Эта редакция является истинной и окончательной. Никакие приж.

Матрёнин двор

• 64183
• 8
• 0

Дмитрий Глуховский Метро 2033 Когда-то давно Московское метро замышлялось как гигантское бомбоубе.

Метро 2033

• 118166
• 13
• 2

Анджей Сапковский Последнее желание ГЛАС РАССУДКА I Она пришла под утро. Вошла осторожно, тихо.

Последнее желание

• 38817
• 26
• 11

Вот насколько странной может быть судьба? Совсем недавно ты был на коне: хорошая работа, неплохая .

Забытый осколок

• 64692
• 16
• 0

Джон ГРЕЙ МУЖЧИНЫ С МАРСА, ЖЕНЩИНЫ С ВЕНЕРЫ С глубочайшей любовью и нежностью посвящаю эту книгу .

Мужчины с Марса, женщины с Венеры

Привет тебе, любитель чтения. Не советуем тебе открывать «Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений» Ибрагимов Наиль Хайруллович утром перед выходом на работу, можешь существенно опоздать. Не остаются и без внимания сквозные образы, появляясь в разных местах текста они великолепно гармонируют с основной линией. В ходе истории наблюдается заметное внутреннее изменение главного героя, от импульсивности и эмоциональности в сторону взвешенности и рассудительности. Место событий настолько детально и красочно описано, что у читающего невольно возникает эффект присутствия. Что ни говори, а все-таки есть некая изюминка, которая выделяет данный masterpiece среди множества подобного рода и жанра. Приятно окунуться в «золотое время», где обитают счастливые люди со своими мелочными и пустяковыми, но кажущимися им огромными неурядицами. С помощью намеков, малозначимых деталей постепенно вырастает главное целое, убеждая читателя в реальности прочитанного. Мягкая ирония наряду с комическими ситуациями настолько гармонично вплетены в сюжет, что становятся неразрывной его частью. Сюжет произведения захватывающий, стилистически яркий, интригующий с первых же страниц. В заключении раскрываются все загадки, тайны и намеки, которые были умело расставлены на протяжении всей сюжетной линии. Положительная загадочность висит над сюжетом, но слово за словом она выводится в потрясающе интересную картину, понятную для всех. «Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений» Ибрагимов Наиль Хайруллович читать бесплатно онлайн можно с восхищением, можно с негодованием, но невозможно с равнодушием.

• Понравилось: 0
• В библиотеках: 0

Новинки

Черт, милая, ты выглядишь счастливее. Тео сказал мне, что однажды я почувствую себя также. Однажды.