If в дифференциальных уравнениях матлаб

Решение ОДУ в Matlab

Доброго времени суток! Сегодня мы поговорим о решении ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений) в Matlab. Перед тем как мы начнём обсуждать данную тему, советую вам ознакомиться с темой: Численное дифференцирование в Matlab, чтобы лучше понимать теоретическую составляющую решения ОДУ.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

С помощью дифференциальных уравнений можно описать разные задачи: движения системы, взаимодействующих материальных точек, химической кинетики и т.д. Различают три типа задач для систем диф. уравнений:

• Задача Коши
• Краевая задача
• Задача на собственные значения

Кратко расскажу о их сути:

Задача Коши предполагает дополнительные условия в виде значения функции в определённой точке.
Краевая задача подразумевает поиск решения на заданном отрезке с краевыми (граничными) условиями в концах интервала или на границе области.
Задача на собственные значения — помимо искомых функций и их производных, в уравнение входят дополнительное несколько неизвестных параметров, которые являются собственными значениями.

Методы решения дифференциальных уравнений

Решение ОДУ в Matlab и не только, в первую очередь, сводится к выбору порядка численного метода решения. Порядок численного метода не связан с порядком дифференциального уравнения. Высокий порядок у численного метода означает его скорость сходимости.

В случае большого интервала, с помощью алгоритмов с низким порядком сжимают интервал с решениями и находят приблизительные корни, а затем уже уточняют корни с помощью методов с высоким порядком.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Matlab можно реализовать «своими ручками», прописав алгоритм по разным схемам. Но также в Matlab есть встроенные функции, выполняющие все стандартные задачи.

Метод Рунге-Кутта первого порядка

Методы Рунге-Кутта представляют собой разложения в ряд Тейлора и от количества использованных элементов ряда зависит порядок этого метода. Следовательно, помимо Рунге-Кутта первого порядка, вы сможете увидеть методы других порядков. Иногда их называют другими именами.

Например, Метод Рунге-Кутта первого порядка, также известен как Метод Эйлера или Метод ломаных. Информацию о его математическом и графическом представлении советую поискать в гугл. Мы же поговорим о том, как Метод Рунге-Кутта первого порядка реализуется в Matlab для решения ОДУ. Например:

Решить и привести график ошибки уравнения y’ = y*x методом Рунге-Кутта первого порядка (Методом Эйлера, Методом ломаных).

Погрешность Метода Рунге-Кутта 1 порядка

» data-medium-file=»https://i2.wp.com/codetown.ru/wp-content/uploads/2017/02/Рунге-1-погрешность.png?fit=300%2C236&ssl=1″ data-large-file=»https://i2.wp.com/codetown.ru/wp-content/uploads/2017/02/Рунге-1-погрешность.png?fit=622%2C489&ssl=1″ loading=»lazy» src=»https://i2.wp.com/codetown.ru/wp-content/uploads/2017/02/%D0%A0%D1%83%D0%BD%D0%B3%D0%B5-1-%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C.png?resize=622%2C489″ alt=»Погрешность метода 1 порядка» width=»622″ height=»489″ srcset=»https://i2.wp.com/codetown.ru/wp-content/uploads/2017/02/Рунге-1-погрешность.png?w=629&ssl=1 629w, https://i2.wp.com/codetown.ru/wp-content/uploads/2017/02/Рунге-1-погрешность.png?resize=300%2C236&ssl=1 300w» sizes=»(max-width: 622px) 100vw, 622px» data-recalc-dims=»1″ />
На данном графике показана зависимость величины ошибки от шага.

Метод Рунге-Кутта второго порядка

Также известен как Метод Эйлера-Коши. Как видите, во второй части уравнения происходит обращения к следующему шагу. Но как тогда быть, если нам ещё не известен следующий шаг? Всё просто. Метод Рунге-Кутта второго порядка — это всё тот же метод первого порядка, однако, на половине шага происходит нахождение «первичного» решения, а затем происходит его уточнение. Это позволяет поднять порядок скорости сходимости до двух.

Решить и привести график ошибки уравнения u’ = u*x методом Рунге-Кутта второго порядка.

По сравнению с Рунге-Куттом первого порядка изначальная ошибка уже гораздо меньше.

Мы не будем говорить о третьем порядке, потому что задачи на третий порядок встречаются редко, но если будет необходимо, пишите в комментариях, выложу.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка считается самым распространённым. Тем не менее, работает он аналогично второму и третьему порядку.

Решить и привести график ошибки уравнения u’ = u*x методом Рунге-Кутта четвёртого порядка.

Как видите, на последней картинке размерность ошибки на столько мала, что пришлось воспользоваться loglog() для лучшей видимости.

Решение ОДУ в Matlab стандартными средствами

Стоит отметить, что мы с вами разобрали только один самый известный метод решения ОДУ с разными порядками. Однако, методов очень много.

Для решения дифференциальных уравнений и систем в MATLAB предусмотрены следующие функции:

ode45 (f, interval, X0, [options])
ode23 (f, interval, X0, [options])
ode113 (f, interval, X0, [options])
ode15s (f, interval, X0, [options])
ode23s (f, interval, X0, [options])
ode23t (f, interval, X0, [options])
ode23tb (f, interval, X0, [options])

Входными параметрами этих функций являются:

• f — вектор-функция для вычисления правой части уравнения системы уравнений;
• interval — массив из двух чисел, определяющий интервал интегрирования дифференциального уравнения или системы;
• Х0 — вектор начальных условий системы дифференциальных уравнений;
• options — параметры управления ходом решения дифференциального уравнения или системы.

Все функции возвращают:

• массив Т — координаты узлов сетки, в которых ищется решение;
• матрицу X, i-й столбец которой является значением вектор-функции решения в узле Тi.

В функции ode45 реализован метод Рунге-Кутта 4-5 порядка точности, в функции ode23 также реализован метод Рунге-Кутта, но 2-3 порядка, а функция ode113 реализует метод Адамса.

Для решения жёстких систем предназначены функция ode15s, в которой реализован метод Гира, и функция ode23s, реализующая метод Розенброка. Для получения более точного решения жёсткой системы лучше использовать функцию ode15s. Для решения системы с небольшим числом жёсткости можно использовать функцию ode23t, а для грубой оценки подобных систем служит функция ode23tb.

Символьное решение обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка осуществляет функция dsolve r = dsolve(‘eq1,eq2,…’, ‘cond1,cond2,…‘, ‘v’)
Пример использования:

На этом мы закончим. Если остались вопросы, задавайте их в комментариях. Также вы можете скачать исходники чтобы лучше понять тему: «Решение ОДУ в Matlab».

If в дифференциальных уравнениях матлаб

Вторым шагом создания полноценных программ на языке MatLab является изучение операторов ветвления и циклов. С их помощью можно реализовывать логику выполнения математических алгоритмов и создавать повторяющиеся (итерационные, рекуррентные) вычисления.

2.1. Условный оператор if

Для того чтобы иметь возможность реализовать логику в программе используются условные операторы. Умозрительно эти операторы можно представить в виде узловых пунктов, достигая которых программа делает выбор по какому из возможных направлений двигаться дальше. Например, требуется определить, содержит ли некоторая переменная arg положительное или отрицательное число и вывести соответствующее сообщение на экран. Для этого можно воспользоваться оператором if (если), который и выполняет подобные проверки.

В самом простом случае синтаксис данного оператора if имеет вид:

Если значение параметра «выражение» соответствует значению «истинно», то выполняется оператор, иначе он пропускается программой. Следует отметить, что «выражение» является условным выражением, в котором выполняется проверка некоторого условия. В табл. 2.1 представлены варианты простых логических выражений оператора if.

Таблица 2.1. Простые логические выражения

if a b

Истинно, если переменная a больше переменной b и ложно в противном случае.

if a == b

Истинно, если переменная a равна переменной b и ложно в противном случае.

if a = b

Истинно, если переменная a больше либо равна переменной b и ложно в противном случае.

Истинно, если переменная a не равна переменной b и ложно в противном случае.

Ниже представлен пример реализации функции sign(), которая возвращает +1, если число больше нуля, -1 – если число меньше нуля и 0, если число равно нулю:

function my_sign
x = 5;
if x > 0
disp(1);
end
if x

Анализ приведенного примера показывает, что все эти три условия являются взаимоисключающими, т.е. при срабатывании одного из них нет необходимости проверять другие. Реализация именно такой логики позволит увеличить скорость выполнения программы. Этого можно добиться путем использования конструкции

if
% выполняются, если истинно условие
else
% выполняются, если условие ложно
end

Тогда приведенный выше пример можно записать следующим образом:

function my_sign
x = 5;
if x > 0
disp(1);
else
if x

В данной программе сначала выполняется проверка на положительность переменной x, и если это так, то на экран выводится значение 1, а все другие условия игнорируются. Если же первое условие оказалось ложным, то выполнение программы переходит по else (иначе) на второе условие, где выполняется проверка переменной x на отрицательность, и в случае истинности условия, на экран выводится значение -1. Если оба условия оказались ложными, то выводится значение 0.

Приведенный выше пример можно записать в более простой форме, используя еще одну конструкцию оператора if языка MatLab:

if
% выполняются, если истинно выражение1
elseif
% выполняются, если истинно выражение2
.
elseif
% выполняются, если истинно выражениеN
end

и записывается следующим образом:

function my_sign
x = 5;
if x > 0
disp(1); % выполняется, если x > 0
elseif x

С помощью условного оператора if можно выполнять проверку более сложных (составных) условий. Например, необходимо определить: попадает ли переменная x в диапазон значений от 0 до 2? Это можно реализовать одновременной проверкой сразу двух условий: x >= 0 и x

function my_if
x = 1;
if x >= 0 & x

Во втором примере выполним проверку на не принадлежность переменной x диапазону от 0 до 2. Это достигается срабатыванием одного из двух условий: x 2:

function my_if
x = 1;
if x 2
disp(‘x не принадлежит диапазону от 0 до 2’);
else
disp(‘x принадлежит диапазону от 0 до 2’);
end

Используя логические операторы И, ИЛИ, НЕ, можно создавать разнообразные составные условия. Например, можно сделать проверку, что переменная x попадает в диапазон от -5 до 5, но не принадлежит диапазону от 0 до 1. Очевидно, это можно реализовать следующим образом:

Обратите внимание, что при сложном составном условии были использованы круглые скобки. Дело в том, что приоритет операции И выше приоритета операции ИЛИ, и если бы не было круглых скобок, то условие выглядело бы так: (x >= -5 и x 1. Очевидно, что такая проверка давала бы другой результат от ожидаемого.

Круглые скобки в программировании используются для изменения приоритетов выполнения операторов. Подобно арифметическим операторам, логические также могут быть изменены по желанию программиста. Благодаря использованию круглых скобок, сначала выполняется проверка внутри них, а, затем, за их пределами. Именно поэтому в приведенном выше примере они необходимы для достижения требуемого результата.

Приоритет логических операций следующий:

) – самый высокий приоритет;
И (&) – средний приоритет;
ИЛИ (|) – самый низкий приоритет.

if , elseif , else

Execute statements if condition is true

Syntax

Description

if expression , statements , end evaluates an expression, and executes a group of statements when the expression is true. An expression is true when its result is nonempty and contains only nonzero elements (logical or real numeric). Otherwise, the expression is false.

The elseif and else blocks are optional. The statements execute only if previous expressions in the if. end block are false. An if block can include multiple elseif blocks.

Examples

Use if, elseif, and else for Conditional Assignment

Create a matrix of 1s.

Loop through the matrix and assign each element a new value. Assign 2 on the main diagonal, -1 on the adjacent diagonals, and 0 everywhere else.

Compare Arrays

Expressions that include relational operators on arrays, such as A > 0 , are true only when every element in the result is nonzero.

Test if any results are true using the any function.

Test Arrays for Equality

Compare arrays using isequal rather than the == operator to test for equality, because == results in an error when the arrays are different sizes.

Create two arrays.

If size(A) and size(B) are the same, concatenate the arrays; otherwise, display a warning and return an empty array.

Compare Character Vectors

Use strcmp to compare character vectors. Using == to test for equality results in an error when the character vectors are different sizes.

Test Values for Inequality

Determine if a value is nonzero. Use the

= operator to test for inequality.

Evaluate Multiple Conditions in Expression

Determine if a value falls within a specified range.

More About

Expression

An expression can include relational operators (such as or == ) and logical operators (such as && , || , or

). Use the logical operators and and or to create compound expressions. MATLAB ® evaluates compound expressions from left to right, adhering to operator precedence rules.

Within the conditional expression of an if. end block, logical operators & and | behave as short-circuit operators. This behavior is the same as && and || , respectively. Since && and || consistently short-circuit in conditional expressions and statements, it is good practice to use && and || instead of & and | within the expression. For example,

The first part of the expression evaluates to false. Therefore, MATLAB does not need to evaluate the second part of the expression, which would result in an undefined function error.

You can nest any number of if statements. Each if statement requires an end keyword.

Avoid adding a space after else within the elseif keyword ( else if ). The space creates a nested if statement that requires its own end keyword.

Extended Capabilities

C/C++ Code Generation
Generate C and C++ code using MATLAB® Coder™.

HDL Code Generation
Generate Verilog and VHDL code for FPGA and ASIC designs using HDL Coder™.

Do not use the & and | operators within conditions of an if statement. Instead, use the && and || operators.

HDL Coder™ does not support nonscalar expressions in the conditions of if statements. Instead, use the all or any functions to collapse logical vectors into scalars.