Икрамов численное решение матричных уравнений

—>

Икрамов Х.Д. «Численное решение матричных уравнений» М., Наука, 1984г., 192с.

Справочное пособие содержит описание методов решения матричных уравнений, сопровождаемое примерами. Такие уравнения часто возникают в приложениях, особенно в задачах управления и автоматического регулирования.

Стоимость доставки согласно почтовым тарифам (заказная бандероль или обыкновенная посылка без оценки). За работу почты ответственность не несу — по Вашему желанию могу застраховать (+4% от оценки к стоимости почтовых услуг).

При покупке нескольких лотов возможен некоторый ТОРГ.

Возможен обмен на интересующие меня книги (старые научно-популярные книги по физике, математике до 1940 года, академические труды по физике-математике до 1917 года). Также скупаю подобные книги.

ВСЕ вопросы и уточнения ДО СТАВКИ.

Покупатель первым выходит на связь в течение 3 дней с момента завершения аукциона.
Оплата в течение 3-х дней с момента получения реквизитов (Карта Сбербанка или телефон).

Гарантирую качественную упаковку и предоставление почтового трека после отправки.

научная статья по теме ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СТЕЙНА В САМОСОПРЯЖЕННОМ СЛУЧАЕ Математика

Цена:

Авторы работы:

Научный журнал:

Год выхода:

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СТЕЙНА В САМОСОПРЯЖЕННОМ СЛУЧАЕ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 5, с. 723-727

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СТЕЙНА

В САМОСОПРЯЖЕННОМ СЛУЧАЕ

© 2014 г. Ю. О. Воронцов, X. Д. Икрамов

(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК) e-mail: vv@cs.msu.su, ikramov@cs.msu.su Поступила в редакцию 13.05.2013 г.

Алгоритмы, предложенные авторами ранее для численного решения уравнений вида X — — AXTB = C и X — AX*B = C, модифицируются для случаев, когда такие уравнения можно рассматривать как самосопряженные. Приведены численные результаты, иллюстрирующие экономию времени и вычислительной работы, достигаемую посредством этих модификаций. Библ. 6. Фиг. 3.

Ключевые слова: матричное уравнение, сопряженный оператор, самосопряженность, полулинейный оператор, численное решение матричных уравнений.

Дискретным уравнением Сильвестра, или уравнением Стейна, называется матричное уравнение

По этой причине мы называем уравнения

уравнениями типа Стейна. В общем случае все четыре матрицы A, B, C и Xв уравнениях (2) и (3) могут быть прямоугольными одного и того же размера m х п.

В [1]—[4] были установлены условия однозначной разрешимости матричных уравнений типа Стейна, а также предложены алгоритмы численного решения таких уравнений. Краткое описание этих алгоритмов дано в разд. 2.

Мы рассматриваем множество Mm, п(С) комплексных m х n-матриц как унитарное пространство со скалярным произведением

Сопоставим левым частям уравнений (2) и (3) операторы

FA, B : X X- AXB (4)

Ga, b : X — X- AX*B, (5)

действующие в этом пространстве. Оператор FA, B — линейный, тогда как GA B лишь полулинеен. В [5] доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть обе матрицы A и B ненулевые. Оператор (4) тогда и только тогда является самосопряженным, когда

для некоторого числа r е R, где A — стандартное обозначение матрицы с элементами a¡,.

Теорема 2. Пусть обе матрицы А и В ненулевые. Оператор (5) тогда и только тогда является самосопряженным, когда

В разд. 3 мы описываем алгоритмы численного решения уравнений (2) и (3) в самосопряженном случае. Результаты тестовых расчетов, обсуждаемые в разд. 4, показывают, какую экономию времени и вычислений дают эти алгоритмы по сравнению с методами, предназначенными для уравнений общего вида.

2. АЛГОРИТМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ОБЩЕГО ВИДА

В дальнейшем будем считать матричные коэффициенты уравнений (2) и (3) квадратными матрицами порядка п. К случаю прямоугольных матричных коэффициентов применимы соображения, высказанные в [6].

Пусть для уравнения (2) выполнены условия однозначной разрешимости, как они сформулированы в [6]. Алгоритм ёВ8Т, предложенный в [1] для численного решения такого уравнения, имеет ту же структуру, что и алгоритм Бартелса-Стьюарта для матричных уравнений Стейна. Подобно последнему, ёВ8Т состоит из четырех этапов.

1. Приведение матриц А и В к треугольной форме. Речь здесь идет об определении унитарных матриц и и Vтаких, что матрицы

Я = иАУ, Б = V Вти*

верхнетреугольные. В алгоритме ёВ8Т средством вычисления указанных матриц служат разложение Шура и последующее ЯР-разложение. Подробное обсуждение этого этапа дано в [1, раздел 2].

2. Преобразование правой части. На этом этапе вычисляется матрица

Результатом первых двух этапов является замена исходного уравнения (2) новым уравнением того же типа, а именно

Неизвестная матрица Усвязана с X соотношением

3. Решение уравнения (7). Это матричное уравнение представляет собой блочно-треугольную систему линейных уравнений относительно п2 коэффициентов у у матрицы У. Диагональные блоки этой системы имеют порядки 1 и 2. Детали, относящиеся к ее решению, можно найти в [1], [3].

4. Возврат к исходной матрице X. Обращая соотношение (8), получаем

Отметим, что имеется и еще один прямой (т.е. не итерационный) способ решения уравнения (2). В [4] доказана

Теорема 3. Уравнение (2) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение Стейна

У — АВ ТУАТ В = С + АС В. (9)

При этом если X—решение уравнения (2), то У= Хестьрешение уравнения (9).

Уравнение (9) имеет чуть более узкую область однозначной разрешимости, чем уравнение (2) (см. об этом подробнее в [2]). Если же оба уравнения однозначно разрешимы, то сведение исходного уравнения (2) к уравнению Стейна (9) имеет важное достоинство: оно позволяет воспользоваться чрезвычайно эффективно реализованной МаНаЪ-функцией ё1уар для решения дискретных уравнений Сильвестра.

Что касается уравнения (3), то результат, полученный в [4], исчерпывающе описывает условия однозначной разрешимости и алгоритм решения этого уравнения.

Теорема 4. Уравнение (3) разрешимо единственным образом тогда и только тогда, когда единственным образом разрешимо уравнение Стейна

У — АВ* УА*В = С + АС*В. (10)

При этом если X—решение уравнения (3), то У= Хестьрешение уравнения (10).

3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Согласно теореме 1 самосопряженное уравнение (2) выглядит следующим образом:

где г — некоторое вещественное число.

Уравнение (11) может быть решено значительно проще общего уравнения (2). Модифицированный алгоритм по-прежнему удобно разбить на четыре этапа.

1. Сингулярное разложение матрицы А. На этом этапе вычисляются унитарные матрицы и, Vи неотрицательная диагональная матрица Е такие, что

2. Преобразование правой части. На этом этапе вычисляется матрица

Результатом первых двух этапов является замена уравнения (11) уравнением

У — гЕ У Е = Б. (12)

Неизвестная матрица Усвязана с X соотношением

3. Решение уравнения (12). Это матричное уравнение есть блочно-диагональная система линейных уравнений относительно п2 коэффициентов уц матрицы У. Диагональные блоки этой системы имеют порядки 1 и 2. Отсюда следует, что сложность этапа 3 составляет теперь всего лишь 0(п2) арифметических операций.

4. Возврат к исходной матрице X. Обращая соотношение (13), получаем

Рассмотрим теперь самосопряженное уравнение (3). Согласно теореме 2 оно имеет вид

Для определенности будем рассматривать уравнение (14) со знаком минус. Тогда в описанный выше алгоритм нужно внести такие изменения:

♦ на этапе 2 правая часть пересчитывается в соответствии с формулой

♦ матрицы X и У связаны соотношением

поэтому этап 4 описывается теперь формулой

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Алгоритмы для решения уравнения (2), описанные во втором разделе, были реализованы в виде функций языка МаНаЪ ёВ8Т и 81етТ (алгоритм типа Бартелса—Стьюарта и алгоритм на основе сведения к уравнению Стейна соответственно), алгоритм решения уравнения (3) из того же раздела — в виде функции 81ет81аг. Алгоритмы для решения самосопряженных уравнений (2) и (3), описанные в третьем разделе, таким же образом были реализованы в виде функций 81етТ88 и 81ет81агз8.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Фиг. 1.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Фиг. 2.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Фиг. 3.

В наших экспериментах мы интересовались ускорением, которое можно получить, решая самосопряженные уравнения (2) и (3) алгоритмами из разд. 3 вместо использования алгоритмов для уравнений общего вида.

Для самосопряженного уравнения (2) были проведены три серии расчетов, в первой из которых использовалась функция dBST, во второй — SteinT, в третьей — SteinTss. В каждой из серий матрицы A и C уравнения (11) генерировались как матрицы с псевдослучайными элементами, равномерно распределенными в круге радиусом 10. Порядок n этих матриц возрастал от 50 до 950 с шагом 100. Для каждого из этих значений n было измерено время работы программ dBST, SteinT и SteinTss: t1(n), t2(n) и t3(n), с усреднением по 10 однотипным уравнениям. Интерес представляют отношения (t1(n))/(t3(n)) и (t2(n))/(t3(n)), зависимость которых от порядка n показана на фиг. 1 и 2.

На фиг. 1 наблюдается линейная зависимость, хотя оба алгоритма, dBST и SteinTss, имеют сложность O(n3) арифметических операций. Эта зависимость объясняется неоптимизированно-стью третьего этапа алгоритма dBST для среды Matlab, что неблагоприятным образом сказывается на времени работы этого метода.

Такие же серии расчетов были проведены для самосопряженного уравнения (3) с использованием функций SteinStar и SteinStarss. Зависимость отношения (t4(n))/(t5(n)) времени работы этих программ от порядка n показана на фиг. 3.

1. ИкрамовХ.Д., Воронцов Ю.О. Матричное уравнение X+ AXTB = C: условия однозначной разрешимости и алгоритм численного решения // Докл. АН. 2012. Т. 443. № 5. С. 545—548.

2. Воронцов Ю.О., Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений вида X + AXIB = C // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. № 3. С. 331—335.

3. Воронцов Ю.О. Модификация численного алгоритма для решения матричного уравнения X + АХтВ = C // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. № 6. С. 853—856.

4. Zhou В., Lam J., Duan C.-R. Toward solution of matrix equation X = Af(X)B + C // Linear Algebra Appl. 2011. V. 435. № 11. P. 1370-1398.

5. Икрамов Х.Д. Условия самосопряженности матричных уравнений типа Стейна // Докл. АН. 2013. Т. 451. № 5. С. 498-500.

6. Воронцов Ю.О., Икрамов Х.Д. О численном решении матричных уравнений AX + XrB = C и X + AXIB = C с прямоугольными коэффициентами А и В// Зап. научн. семин. ПОМИ. 2012. Т. 405. С. 54-58.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.