Ильин в а методы решения функциональных уравнений
Итерационные методы решения функциональных уравнений (Ильин В.А. , 2001), МАТЕМАТИКА
Изложен итерационный метод решения функционального уравнения вида x = F(x) и на его базе метод касательных отыскания корней уравнения f (x) = 0.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Главная цель статьи — познакомить читателя с итерационным методом отыскания корней функционального уравнения x = F (x), и особенно со случаем, когда оператор, задаваемый функцией F (x), является оператором сжатия. На базе рассмотрения этого метода излагается метод касательных, являющийся одним из наиболее распространенных методов решения функционального уравнения f (x) = 0.
Для чтения статьи не требуется ничего выходящего за рамки программы средней школы. Некоторые предположения из математического анализа, носящие вспомогательный характер и вместе с тем имеющие самостоятельный общематематический интерес, мы приводим с доказательствами, вполне доступными школьникам.
Докажем несколько вспомогательных утверждений, имеющих в курсе математического анализа большой самостоятельный интерес.
1. Будем говорить, что определенная в некоторой окрестности точки x = x0 функция f (x) возрастает (соответственно убывает) в точке x0 , если существует такая достаточно малая окрестность точки x0 , в пределах которой f (x) > f (x0) при x > x0 , f (x) x0 , f (x) > f (x0) при x 0 (соответственно f ‘(x0) 0 (случай f ‘(x0) 0, то в достаточно малой окрестности точки x0 разностное отношение (1) положительно. Это означает, что в указанной достаточно малой окрестности этой точки f (x) — f (x0) > 0 при x — x0 > 0 и f (x) — f (x0) f (x0) при x > x0 и f (x) f (a). Тогда максимальное значение функции f (x) на сегменте a # x # b достигается в некоторой внутренней точке x этого сегмента и функция f (x) имеет в этой точке x локальный максимум. По теореме 2 f ‘(x) = 0.
4. Теорема 4 (теорема Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна в каждой точке сегмента a # x # b и имеет производную во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри этого сегмента найдется точка x, такая, что справедливо равенство
f (b) — f (a) = f ‘(x)(b — a),
называемое формулой Лагранжа.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим на сегменте a # x # b вспомогательную функцию
и заметим, что для этой функции выполнены на сегменте a # x # b все условия теоремы 3. Действительно, функция F (x) непрерывна на сегменте a # x # b (как разность непрерывной функции f (x) и линейной функции) и имеет во внутренних точках этого сегмента производную
Из равенства (3) очевидно, что F (a) = F (b) = 0. В силу теоремы 3 внутри сегмента a # x # b найдется точка x, такая, что
ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ)
Этот метод мы применим для отыскания корня функционального уравнения
Введем для этого уравнения понятие итерационной последовательности.
Последовательность чисел x0 , x1 , _, xn _, коротко обозначаемую символом
Мы установим, что при определенных условиях итерационная последовательность
Теорема 5. Если функция F (x) непрерывна в каждой точке сегмента a # x # b, все элементы итерационной последовательности
Доказательству теоремы 5 предпошлем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Если последовательность
Пусть
Остановимся на случае xn # b, ибо случай xn $ a рассматривается аналогично. Положим yn = xn — b и заметим, что последовательность
Переходя к доказательству теоремы 5, мы теперь в силу леммы можем утверждать, что предел c итерационной последовательности
Переходя теперь к пределу при n ? в равенстве xn = F (xn — 1), мы получим в пределе из этого равенства, что c = F (c), то есть c является корнем уравнения (4).
Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Пусть число «c» является корнем уравнения (4) и пусть в каждой точке некоторого симметричного относительно «c» сегмента [c — e, c + e], где e > 0, функция F (x) имеет производную F ‘(x) и эта производная всюду на этом сегменте удовлетворяет условию
| F ‘(x) | # a 0) первую производную и ограниченную (то есть удовлетворяющую условию | f «(x) | # M ) вторую производную, то существует e > 0, такое, что итерационная последовательность (11), в котором за нулевое приближение x0 взята любая точка сегмента [c — e, c + e], сходится со скоростью геометрической прогрессии к корню x = c уравнения f (x) = 0.
В силу теоремы 6 достаточно доказать, что для функции F (x), определяемой равенством (12), при достаточно малом e > 0 всюду на сегменте [c — e, c + e] справедливо неравенство (5). Так как в силу (12)
то всюду в достаточно малой окрестности точки c
Далее так как f (c) = 0 и функция f (x) непрерывна в точке c, то можно фиксировать e > 0 настолько малым, что при c — e # x # c + e функция f (x) будет удовлетворять неравенству Из последнего неравенства и (13) следует, что при c — e # x # c + e
Теорема 7 доказана.
В заключение применим метод касательных для приближенного вычисления корня целой степени k из числа a > 0. Заметим, что вычисляемый корень совпадает с корнем функции f (x) = xk — a.
Искомый корень заведомо является положительным, а в малой окрестности любого положительного числа выполнены все условия теоремы 7. Далее в силу того, что f ‘(x) = kxk — 1, рекуррентная формула (11) принимает вид
и после элементарных преобразований приводится к равенству
Любое число a > 0 можно представить в виде a = 2lx, где l — целое число, а x удовлетворяет неравенству Взяв за нулевое приближение x0 число 2[l / k], где символ [l / k] обозначает наибольшее целое число, содержащееся в дроби l / k, и сделав с помощью формулы (14) всего четыре итерации, мы получим:
В качестве литературы рекомендуются ╕ 1 главы 12 книги [1] и введение и глава 11 книги [2].
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1998. Т. 1. 616 с.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ I: (Начальный курс). М.: Изд-во МГУ, 1985. 660 с.
Рецензент статьи В.Б. Колмановский
Владимир Александрович Ильин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой общей математики ВМК МГУ, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, лауреат Государственной премии СССР, действительный член РАН. Автор более 250 научных публикаций по теории функций, теории дифференциальных уравнений и математической физике, университетских учебников по математическому анализу, аналитической геометрии и линейной алгебре и монографии по спектральной теории дифференциальных операторов.
ОБ ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Останов Курбан, Ботиров Зафар Шокирович, Марданов Аслиддин Хасаниддин Оглы
В данной статье рассматривается проблема формирования у учащихся умений решать функциональные уравнения . Даны краткие сведения о способах решения простейших функциональных уравнений , способе подстановки, а также примеры решения таких уравнений . Кроме того, даны рекомендации по их использованию при изучении соответствующих понятий и задач школьного курса. Приведены примеры задач для самостоятельного решения и указания по их решению и их использования в учебной деятельности учащихся.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Останов Курбан, Ботиров Зафар Шокирович, Марданов Аслиддин Хасаниддин Оглы
ON TEACHING STUDENTS IN METHODS FOR SOLVING FUNCTIONAL EQUATIONS
This article examines the problem of developing students’ skills to solve functional equations. Brief information about the methods of solving the simplest functional equations, the method of substitution, as well as examples of solving such equations are given. In addition, recommendations are given on their use when studying the corresponding concepts and tasks of the school course. Examples of tasks for independent solution and instructions for their solution and their use in the educational activities of students are given.
Текст научной работы на тему «ОБ ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»
ON TEACHING STUDENTS IN METHODS FOR SOLVING FUNCTIONAL EQUATIONS
Ostanov K. , Botirov Z.Sh. , Mardanov A.Kh. (Republic of Uzbekistan) Email: Ostanov457@scientifictext.ru
1Ostanov Kurban — Candidate of Pedagogical Science, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Botirov Zafar Shokirovich — Lecturer; 3Mardanov Asliddin Khasaniddin oglu — Lecturer, DEPARTMENT OF NATURAL AND SCIENTIFIC DISCIPLINES, ACADEMIC LYCEUM SAMARKAND ARCHITECTURAL AND CONSTRUCTION INSTITUTE, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article examines the problem of developing students’ skills to solve functional equations. Brief information about the methods of solving the simplest functional equations, the method of substitution, as well as examples of solving such equations are given. In addition, recommendations are given on their use when studying the corresponding concepts and tasks of the school course. Examples of tasks for independent solution and instructions for their solution and their use in the educational activities of students are given.
Keywords: mathematics, equation, functional equation, root, inequality, substitution method, function, class offunctions, domain of definition.
ОБ ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Останов К. , Ботиров З.Ш. , Марданов А.Х. (Республика Узбекистан)
1Останов Курбан — кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, Самаркандский государственный университет; 2Ботиров Зафар Шокирович — преподаватель; 3Марданов Аслиддин Хасаниддин оглы — преподаватель, кафедра естественных и научных дисциплин, академический лицей Самаркандский архитектурно-строительный институт, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной статье рассматривается проблема формирования у учащихся умений решать функциональные уравнения. Даны краткие сведения о способах решения простейших функциональных уравнений, способе подстановки, а также примеры решения таких уравнений. Кроме того, даны рекомендации по их использованию при изучении соответствующих понятий и задач школьного курса. Приведены примеры задач для самостоятельного решения и указания по их решению и их использования в учебной деятельности учащихся.
Ключевые слова: математика, уравнение, функциональное уравнение, корень, неравенство, метод подстановки, функция, класс функций, область определения.
Определение 1. Функциональное уравнение — это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений).
European science № 1 (57) ■ 46
Определение 2. Решить функциональное уравнение — это найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения = Д^), Д^) = — = ^), задают такие свойства функций, как чётность, нечётность,
Задача 1. Пусть функция у =Дх) возрастает на R. Решите: уравнение Дх +2) = Дх2 -4х). Решение: а) Дх + 2) = Дх2 -4х). Если функция возрастает на промежутке Х, то каждое своё значение она принимает, а единственной точке. Поэтому, х+2 = х2 +2х; х2 +х-2=0; х2 +х-2=0; х^1 и х2= -2.
В некоторых случаях метод подстановки позволяет найти решения функционального уравнения в широком классе функций [2], [3].
Задача 2. Найдите все функции, определённые на множестве (—оо ; 1 ) и (1 ; + с») ,
удовлетворяющие соотношению (х — 1 ) ■ / = / (х) + х .
Решение. Заменяем переменную х выражением —- . Тогда получим
Отсюда —- ■ / (х) = / (—7) + получим систему
Из первого уравнения системы найдем / и подставим это выражение во второе уравнение. Получаем следующие равенства:
‘ \X-lJ х-1 х-1 ‘ к ‘ х-1 х-1
Отсюда / (х) (——) = — + —; / (х) ■ — = —; / (х) = 2 х + 1 ;
‘ У ‘ 4-1 X—1 х-1 х-1’1 к ‘ х-1 х-1’1 4 ‘
Теперь проверим, функция f(x) удовлетворяет ли исходному уравнению: (х — 1 ) ■ (2 ^р— +1 ) = 2 х+1 + х ; 3 х + 1 = 3 х+1 — верно.
т) + / («»77) = ^ Указание. Введите замену переменную
Список литературы /References
1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. Самара: В мире науки, 1999.
2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Функциональные уравнения. К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. 96 с
3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2. С. 116-120.
Математика, Функциональное уравнения, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., 1997
Математика, Функциональное уравнения, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., 1997.
Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми методами решения функциональных уравнений. Книга предназначена для учащихся старших классов, а также окажет неоценимую помощь в работе школьного математического кружка.
Крупнейшие математики (в их числе Эйлер, Гаусс, Коши, Даламбер, Абель, Лобачевский, Дарбу, Гильберт) неоднократно обращались к функциональным уравнениям и уделяли много внимания разработке методов их решения. Под выражением «решить функциональное уравнение» понимается нахождение неизвестной функции, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно превращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все). Ещё раз подчеркнём, что соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют постольку, поскольку неизвестные функции — искомые.
Введение.
§ 1. Идея непрерывности
§2. Уравнения Коши.
§ 3. Метод сведения функционального уравнения к известному с помощью замены переменной и функции
§4. Метод подстановок
§5. Предельный переход
§6. Производная и функциональные уравнения
§7. Функциональные уравнения, содержащие несколько неизвестных функций
§8. Системы функциональных уравнений.
§ 9. Графический способ решения некоторых функциональных уравнений.
§ 10. Решение функциональных уравнений. заданных на множестве натуральных чисел.
§11. Функциональные неравенства
§12. Некоторые общие приемы, позволяющие находить частные решения различных функциональных уравнений
§13. Уравнение Эйлера
§14. Разные задачи
Задачи для самостоятельного решения
Историческая справка.
Метод подстановок.
Общая суть метода такова: применяя различные подстановки (т. е заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями), мы пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. В задачах, решаемых таким методом очень часто не указывается класс функций, в котором решение ищется. В таких случаях предполагается, что нужно найти все решения без всяких ограничений (непрерывные, разрывные и т. д.). Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.
Идея непрерывности
Нахождение непрерывного решения функционального уравнения — как правило, непростая задача. Вся трудность обычно состоит в использовании самого факта непрерывности функции. (Здесь речь не идёт об уравнениях, для которых решение находится без использования этого факта.) Поэтому для начала напомним определение непрерывности.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, Функциональное уравнения, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., 1997 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
http://cyberleninka.ru/article/n/ob-obuchenii-uchaschihsya-metodam-resheniya-funktsionalnyh-uravneniy
http://obuchalka.org/2013032370260/matematikafunkcionalnoe-uravneniya-andreev-a-a-kuzmin-u-n-savin-a-n-1997.html