Импульсная характеристика по разностному уравнению

Частотные характеристики импульсных систем. Устойчивость импульсных систем. Разностное уравнение. Цифровые фильтры.

Частотные характеристики импульсных систем. Периодичность характеристик.

При известной передаточной функции импульсной системы W(z), частотные характеристики получаются путем замены:

Так как e j ωTд =cos(ωT_Д)+jsin(ωT_Д), то частотные характеристики системы получаются периодическими с периодом 2π/T_Д.

Особенности частотных характеристик:

1) импульсные системы имеют похожие с непрерывными системами частотные характеристики лишь в ограниченном диапазоне частот, до половины частоты дискретизации;

2) для большей сходимости поведения импульсных и непрерывных систем необходимо выбирать частоту дискретизации как можно больше;

3) так как частотные характеристики импульсных и непрерывных систем отличаются друг от друга, то соответственно и отличаются переходные характеристики для различных воздействий.

Устойчивость импульсных систем. Корневой метод. Частотный метод.

Для непрерывных систем устойчивость определяется по вещественным частям корней характеристического уравнения. То есть если p_i=α_i±jω_i – корни характеристического уравнения, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все α_i 1) в правую полуплоскость, а сам круг (|z|=1) в ось ординат (s=0).

Если в передаточной функции W(z) сделать соответствующую подстановку, то критерии устойчивости можно применить как в случае непрерывных систем.

Критерий Михайлова: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении псевдочастоты s от 0 до ∞ начинался при s = 0 на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости и обходил только против часовой стрелки (в положительном направлении) последовательно n квадрантов, где n –порядок характеристического уравнения системы.

Критерий Найквиста: замкнутая импульсная система устойчивая, если годограф устойчивой разомкнутой ИСАУ при изменении псевдочастоты s от 0 до ∞ не охватывает точку с координатами -1, j0.

Разностное уравнение. Вывод разностного уравнения из передаточной функции W(z). Пример построения переходной функции по разностному уравнению.

Так как W(z) определяет поведение ИСАУ, то возможно построение алгоритма функционирования. Пусть:

Применяя обратное Z преобразование и теорему сдвига имеем:

получаем разностное уравнение, позволяющее описать алгоритм вычисления последующего значения y[nT_Д] через предыдущие значения y и значения входной величины x.

Пример. Необходимо получить алгоритм функционирования ИСАУ, имеющую переходную функцию, аналогичную апериодическому звену.

Для апериодического звена переходная функция h(t)=1-e — t/ T =1(t)-e — t/ T .

Z преобразование данной функции:

Соответственно разностное уравнение:

Для параметров T_Д=T, e -1 =0.37, тогда разностное уравнение:

Для единичного ступенчатого сигнала на входе x[nT_Д]=1, решетчатая функция на выходе будет равна соответственно:

Цифровые фильтры. Прямая и каноническая структурные схемы цифрового фильтра.

Пусть передаточная функция цифрового фильтра (в знаменателе 1 без z):

Тогда согласно разностному уравнению:

Этому уравнению соответствует структурная схема цифрового фильтра, изображенного на рисунке 12.2.

Данную форму называют прямой формой.

Недостатком такого построения заключается в необходимости запоминать 2m значений входного и выходного сигналов (элементы памяти отображаются на структуре как z -1 ).

Для упрощения необходимо разбить фильтр на две составляющие:

Промежуточная функция . Если построить структурную схему по прямой форме, то получится вторая половина цифрового фильтра. То есть необходимо запоминать m значений промежуточной функции F(z). Одновременно Y(z)=A(z)×F(z) – это первая половина прямой формы, согласно которой необходимо запоминать m значений функции F(z). Объединяя структурные схемы получим (рисунок 12.3).

Итого всего m элементов памяти.

Дата добавления: 2015-02-09 ; просмотров: 58 ; Нарушение авторских прав

Импульсная характеристика по разностному уравнению

«Понятие цифровых фильтров»

Передаточная функция звена фильтра низкой частоты первого порядка, схема которого представлена на рис.8.1

Читайте также:

CASE-технология создания информационных систем.
Ei — экспертная оценка i-й характеристики.
II. Физические характеристики участников коммуникации
III.2.1) Понятие преступления, его основные характеристики.
IV.1.3 Типологические характеристики
U-образные характеристики синхронного генератора
U–образные и рабочие характеристики синхронного двигателя
Z преобразование. Передаточная функция импульсных систем. Теорема Котельникова.
А)Основные характеристики ковалентной связи.
Агроэкосистемы, их отличия от природных экосистем. Последствия деятельности человека в экосистемах. Сохранение экосистем.

равна (8.1).

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данном звене, которое имеет вид

(8.2).

Преобразуем данную непрерывную систему в дискретную установкой на входе и на выходе синхронных идеальных импульсных элементов, работающих с частотой f (рис.8.2).

Дифференциальное уравнение непрерывной системы преобразуется в разностное уравнение дискретной системы заменой производной конечной разностью.

(8.3),

где . Обозначив

(8.4)

преобразуем уравнение (8.3) к виду

(8.5).

(8.6),

придем к окончательному виду

(8.7).

Уравнение (8.7) представляет из себя разностное уравнение простейшего дискретного фильтра низких частот первого порядка.

В общем случае линейным дискретным фильтром называется дискретная система, удовлетворяющая линейному разностному уравнению

(8.8),

где x ( n ) и y ( n ) – соответственно входная и выходная последовательности устройства. Если хотя бы один коэффициент зависит от переменной n , то такой фильтр такой фильтр называется параметрическим или фильтром с переменными параметрами. Если все коэффициенты являются константами, то такой фильтр называется фильтром с постоянными коэффициентами.

Передаточная функция линейного дискретного фильтра имеет вид

(8.9),

который получается в результате применения z -преобразования к левой и правой частям уравнения (8.8).

Значения выходной последовательности y ( n ) определяются N значениями входного дискретного сигнала x ( n ) в моменты nT , ( n -1) T , ( n -2) T , и т.д. и M -1 значениями самого выходного дискретного сигнала в прошлые моменты ( n -1) T , ( n -2) T и т.д.

Фильтры, описываемые уравнением (8.8) называются рекурсивными.

В частном случае, при из (8.8) получаем

(8.10).

В этом случае значение выходного дискретного сигнала y ( n ) в любой момент nT определяется лишь значениями входного дискретного сигнала в этот же момент и N -1 его прошлыми значениями. Фильтры, описываемые уравнением (8.10) называются нерекурсивными. Передаточная функция нерекурсивного фильтра имет вид

(8.11)

Как видно из уравнения (8.8), в общем случае линейный дискретный фильтр может быть реализован путем комбинации операций умножения сигнала на константу, алгебраического сложения и задержки сигнала на один интервал дискретизации T . Для условного изображения алгоритмов дискретных фильтров используются структурные схемы, на которых вышеперечисленные операции изображаются так, как показано на рис.8.3.

Для реализации дискретных фильтров наиболее часто используются следующие формы структурных схем.

Прямая форма структурной схемы рекурсивного фильтра, представленная на рис.8.4, реализуется непосредственно по разностному уравнению (8.8) или по передаточной функции (8.9).

Эта схема содержим один сумматор, умножители и N + M -2 элементов задержки.

В качестве примера рассмотрим реализацию в прямой форме т.н. «биквадратного блока» – фильтра второго порядка, описываемого уравнением

(8.12)

или соответствующей передаточной функцией

(8.13).

Прямая форма структурной схемы биквадратного блока представлена на рис.8.5.

Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Она получается если передаточную функцию рекурсивного фильтра (8.9) представить в виде

(8.14),

где (8.15).

Передаточным функциям H ₁ ( z ) и H ₂ ( z ) соответствуют разностные уравнения

(8.16).

Так как в фильтрах, реализующих H ₁ ( z ) и H ₂ ( z ), имеет место только задержка сигнала v ( n ), то можно использовать только один набор элементов задержки. Прямая каноническая форма структурной схемы фильтра, описываемого уравнением (8.8) или соответствующей передаточной функцией (8.9) представлена на рис.8.6.

Она содержит минимальное число элементов задержки и два сумматора. В качестве примера на рис.8.7 представлена прямая каноническая форма структурной схемы биквадратного блока с передаточной функцией (8.13).

Каскадная (последовательная) форма структурной схемы дискретного фильтра соответствует представлению передаточной фугкции (8.9) в виде произведения

(8.17),

где H_l ( z ) – передаточная функция биквадратного блока

(8.18),

где .

При этом отдельные биквадратные блоки, реализующие H_l ( z ) соединяются между собой последовательно. Такое представление всегда можно получить разложением числителя и знаменателя (8.9) на сомножители первого и второго порядка. Так что возможно, что в некоторых сомножителях H_l ( z ) некоторые коэффициенты равны нулю. При этом данные сомножители реализуются более простой структурой, чем показано на рис.8.5 и рис.8.7. Кроме того, при последовательном соединении биквадратных блоков, реализованных в прямой форме (рис.8.5), может оказаться, что элементы задержки в цепи обратной связи предшествующего блока дублируют элементы задержки в прямой ветви последующего блока. Поэтому при каскадной реализации L -звенного фильтра на биквадратных блоках в прямой форме из схемы могут быть исключены 2( L -1) элементов задержки.

Параллельная форма структурной схемы рекурсивного дискретного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.9) в виде

(8.19),

где слагаемые H_l ( z ) получаются при разложении H ( z ) на простые дроби типа

(8.20)

и могут быть реализованы в виде упрощенных структур биквадратных блоков.

Прямая форма структурной схемы нерекурсивного фильтра является непосредственной реализацией передаточной функции нерекурсивного фильтра (8.11) или его разностного уравнения (8.10). Прячмая форма, представленная на рис.8.8 содержит N -1 элементов задержки, N умножителей и сумматор на N входов.

Эту форму называют также трансверсальным фильтром или фильтром с многоотводной линией задержки.

Каскадная (последовательная) форма структурной схемы нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.11) в виде произведения

(8.21),

где

или

Такое разложение всегда можно получить разложением H ( z ) на сомножители первого и второго порядка, каждый из которых реализуется с помощью упрощенной структуры биквадратного блока, а все составляющие блоки соединяются между собой последовательно.

Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h ( n ) на единичный импульс d ( n ) при нулевых начальных условиях. Импульсную характеристику можно расчитать путем решения соответствующего разностного уравнения дискретной системы.

В качестве примера вычислим импульсную характеристику дискретного линейного фильтра, описываемого разностным уравнением . Пусть y (-1)=0, x ( n )= d ( n ). При этом y ( n ) есть h ( n ). Тогда получим

Входной дискретный сигнал фильтра x ( n ) можно представить в виде

(8.22).

Так как реакция дискретного фильтра на единичный импульс есть импульсная характеристика h ( n ), то вследствие стационарности фильтра реакцией фильтра на d ( n — m ) будет h ( n — m ). Тогда, вследтсвие линейности фильтра реакцией на вхожную последовательность x ( n ) будет

(8.23).

Заменой переменных это выражение может быть приведено к виду

(8.24).

При этом предполагается, что h ( n )=0 при n x ( n )=0 при n

(8.25).

Последняя формула определяет реакцию линейного дискретного фильтра на произвольное входное воздействие как свертку этого входного воздействия и импульсной характеристики.

Согласно формуле (8.25) переходная характеристика линейного дискретного фильтра т.е. его реакция на единичную последовательность при нулевых начальных условиях, может быть вычислена как

(8.26).

В свою очередь, очевидно, что

(8.27).

Если на вход линейного дискретного фильтра подается сигнал x ( n )= d ( n ), то реакцией системы будет y ( n )= h ( n ). При этом z -преобразования обоих сигналов будут иметь вид X ( z )=1, Y ( z )= H ( z ). Тогда передаточная функция фильтра

(8.28).

Это означает, что передаточная функция линейного дискретного фильтра есть ни что иное как z -преобразование импульсной характеристики. Если записать передаточную функцию в виде

(8.29),

то видно, что коэффициенты b_k совпадают с k -ми выборками импульсной характеристики и следовательно

(8.30).

Таким образом, импульсную характеристику можно вычислить как обратное z -преобразование передаточной функции.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) называется фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал, т.е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n =0, 1, …, N -1.

Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильром) называется фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений n =0, 1, …

Нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-фильтром, в то время как рекурсивный фильтр может быть как КИХ так и БИХ фильтром.

Линейный дискретный фильтр физически реализуем, если его выходной сигнал не опережает входного, т.е. в любой момент n выходной сигнал y ( n ) зависит лишь от значений входного сигнала в моменты, предшествующие n и не зависит от его значений в последующие моменты. Критерием физической реализуемости линейного дискретного фильтра является равенство нулю отсчетов импульсной характеристики при отрицательных значениях моментов отсчетов, т.е. h ( n )=0 при n

Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие x ( n ) также ограничена, т.е. если для всех n , то тоже для всех n , причем A и B – постоянные, не зависящие от n . Из выражения (8.24) следует, что если x ( n ) – ограничено, т.е. для всех n , то абсолютное значение выходного сигнала

(8.31).

Значит, критерием устойчивости дискретного фильтра является абсолютная сходимость ряда отсчетов импульсной характеристики.

(8.32).

Можно показать, что условие (8.32) является не только достаточным но и необходимым условием устойчивости фильтра. Однако неопсредственное использование этого условия для проверки устойчивости практически затруднено. Поэтому рассмотрим другую формулировку критерия устойчивости. Если представить передаточную функцию фильтра в общем виде (8.30), то можно сделать вывод о том, что

(8.33).

Если , то

(8.34).

Это значит, что в устойчивом фильтре H ( z ) конечна во всех точках z -плоскости, где , и, следовательно, передаточная функция H ( z ) не должна иметь особых точек полюсов при , т.е. на и вне единичного круга z -плоскости. Таким образом, фильтр будет устойчивым только тогда, когда все полюсы H ( z ) расположены внутри единичного круга z -плоскости.

Найдем преобразования Фурье входного и выходного сигнала линейного дискретного фильтра

(8.35).

Здесь суммирование производится от n =0 так как предполагается, что x ( n )=0 и y ( n )=0 при n

Частотной характеристикой дискретного фильтра называется отношение

(8.36).

частотная характеристика совпадает с передаточной функцией на единичной окружности z -плоскости, т.е. при . Поэтому для рекурсивного фильтра получим

(8.37),

а для нерекурсивного фильтра

(8.38).

В общем случае H ( e j w T ) – комплексная функция, которая может быть записана в виде

(8.39),

где A ( w ) – модуль частотной характеристики – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), j ( w ) – аргумент частотной характеристики – фазочастотная характеристика (ФЧХ), R ( w )= A ( w ) cos j ( w ), J ( w )= A ( w ) sin j ( w ) – вещественная и мнимая части частотной характеристики. Производная от ФЧХ

(8.40)

называется групповым временем замедления (ГВЗ).

Из теории дискретных систем вытекают ряд важных свойств частотных характеристик линейных дискретных фильтров.

1. Все частотные характеристики дискретных фильтров являются непрерывными периодическими функциями частоты с периодом w _d =2 p / T .

2. Для вещественных фильтров, т.е. фильтров, передаточные функции которых имеют только вещественные коэффициенты, АЧХ A ( w ) и ГВЗ t ( w ) представляют собой четные функции частоты, а ФЧХ j ( w ) – нечетную функцию частоты.

Из этого следует, что требования к частотным характеристикам достаточно задавать лишь на интервале полупериода .

Под цифровым фильтром понимают дискретный фильтр, описываемый уравнением (8.8) и реализованный программным путем с помощью микропроцессора или аппаратным путем в виде специализированного цифрового вычислительного устройства, состоящего из элементов памяти (регистров), сумматоров, умножителей и устройств управления.

Сигналы на входе и на выходе цифрового фильтра являются цифровыми, т.е. последовательностями чисел. Каждое из этих чисел представляется в виде двоичного кода определенной конечной разрядности. В цифровом фильтре в соответствии с алгоритмом (8.8) выполняются операции пересылки, сложения и умножения кодов. При этом алгоритм функционирования (8.8) реализуется неточно. Ошибки цифровой фильтрации обусловлены, во-первых, квантованием входных и выходных сигналов, во-вторых, квантованиемкоэффициентов фильтра и, в-третьих, конечной разрядностью операционных устройств, вследствие чего имеет место округление результатов арифметических операций. Таким образом, выбранная структура цифрового фильтра, разрядность входных и выходных сигналов, разрядность арифметических устройств влияют на точность работы устройства идолжны выбираться таким образом, чтобы результирующая ошибка цифрового фильтра не превышала допустимой величины.

Другим важным критерием качества цифрового фильтра является его быстродействие, определяемое минимальным временем, необходимым для вычисления одного отсчета выходного сигнала. Очевидно, что это время должно быть не больше периода дискретизации сигналов.

Цифровые фильтры могут иметь свойства как КИХ так и БИХ фильтров. В обоих случаях фильтры имеют свои преимущества и недостатки.

Преимущества КИХ фильтров:

1. КИХ фильтры могут иметь линейную ФЧХ.

2. КИХ фильтры, реализованные по нерекурсивному алгоритму всегда устойчивы.

3. Для КИХ фильтров, реализованных по нерекурсивному алгоритму шумы квантования можно сделать приемлемо малыми.

4. КИХ фильтры могут быть реализованы по рекурсивному алгоритму, если это необходимо.

Недостатки КИХ фильтров:

1. Длительность импульсной характеристики КИХ фильтра, несмотря на то, что она конечна, может оказаться достаточно большой для достижения резкого спада частотной характеристики на границе зоны пропускания.

2. Разработка КИХ фильтров более сложна чем разработка БИХ фильтров с аналогичными характеристиками.

Преимущества БИХ фильтров:

1. БИХ фильтры могут быть использованы для реализации цифровых аналогов классических видов аналоговых фильров, таких как фильтры Баттерворта, Чебышева и т.д.

2. При аналогичных характеристиках, БИХ фильтры имеют более простую реализацию по сравнению с КИХ фильтрами.

Недостатки БИХ фильтров:

1. БИХ фильтры более чувствительны к конечной разрядности вычислений, которая приводит у них к появлению колебаний т.н. «предельных циклов».

2. За исключением специального случая, когда все полюса передаточной функции лежат на единичной окружности z -плоскости, невозможно построить реализуемый стабильный БИХ фильтр, имеющий точно линейную ФЧХ.

Импульсная характеристика по разностному уравнению

Цифровая обработка сигналов

Часть1 §1 Дискретизация непрерывных сигналов

Возникновение ЦОС – пятидесятые годы. В это время ЭВМ впервые стали применяться для моделирования аналоговых (непрерывных) сигналов (моделирование может быть использовано для обработки реальных сигналов). Для этого сигнал записывался на магнитную ленту и потом обрабатывался на ЭВМ. Время обработки измерялось в часах, время записи – в секундах.

В шестидесятые годы изобретен алгоритм Фурье, быстрое преобразование Фурье. В результате свертку сигнала можно было заменить произведением спекторов этих сигналов, что ускоряло обработку сигналов на несколько порядков и в результате появляется возможность обработки сигналов в реальном масштабе времени.

В семидесятые и восьмидесятые годы развитие микроэлектроники позволило запараллеливать вычислительные операции (развернуть процесс в пространстве). В результате скорость обработки сигналов резко возросла и процесс обработки сигналов стали более широкополосным. ЦОС в настоящее время применяется в различных областях техники, где она нужна.

§1 Дискретизация непрерывных сигналов.

Цифровые системы связи вырабатывают дискретные сигналы, которые получаются из непрерывных путем дискретизации.

f_g – частота дискретизации

Т – интервал дискретизации

X ( t ) – непрерывный (аналоговый) сигнал

X ( n Т) – дискретный сигнал

X ( n Т) = X ( n ) = Xn = < X ₀; X ₁; X ₂; … > – обозначения дискретного сигнала.

– формула связи дискретного и аналогового сигналов.

– дискретная – функция.

– периодическая последовательность – функции, следующая с интервалом T .

§2 Связь спектров дискретных и непрерывных сигналов.

Пусть – спектр дискретного сигнала x ( n Т);

( jω ) – спектр исходного аналогового сигнала x ( t ).

Для установления связи между спектрами воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

Раскладываем в ряд Фурье:

Fl – амплитуда гармоник.

Определим Fl используя формулу связи между спектрами периодических и непериодических сигналов.

В силу линейности операции в этом выражении знаки и можно поменять местами.

Воспользуемся теоремой смещения (теорема о спектрах).

Если , то :

Формула связи спектров дискретного и аналогового сигналов имеет вид:

Вывод: спектр дискретного сигнала равен сумме равно-смещенных спектров аналогового сигнала, сдвинутых на величину кратных .

Полученный результат продемонстрируем на графиках.

Если , то спектр дискретного и аналогового сигналов совпадает ( X ( jω ) и X_a ( jω ) совпадают) на интервале [-0.5 ω_g ;0.5 ω_g ]. В результате x ( t ) аналоговый сигнал можно восстановить применением ФНЧ с частотой среза ω_с=0.5ω _g .

Если ω_в>0.5ω _g , то смежные спектры перекрываются и возникают ошибки наложения, погрешности (не устранимые), поэтому восстановить такой сигнал можно только с искажением (искажения могут оказаться значительными).

§3 Преобразования Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.

Формула Фурье для дискретного сигнала:

– прямое преобразование Фурье.

– обратное преобразование Фурье.

Сигнал x ( nT ) нормирован по отношению к X .

После денормирования сигнала формулу записываем в виде:

Устремляем T к нулю. Если , то T вырождается в непрерывную переменную

Денормированные формулы прямого и обратного преобразования Фурье для непрерывных сигналов:

Это доказывает справедливость формулы Фурье для дискретного сигнала. Переменную ω можно распространить на всю плоскость комплексного переменного: , и тогда формулы Фурье для дискретного сигнала заменяются формулами Лапласа.

– прямое преобразование.

– обратное преобразование.

§4 Z – преобразования.

Изображение по Лапласу дискретных сигналов X ( p ) является функцией трансцендентной, что значительно затрудняет частотный анализ дискретных сигналов. Переменную p , находящуюся в показателе экспоненты, заменяют: