Н. А. КОРНИЕНКО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Учебно-методическое пособие к выполнению индивидуального задания
- Виктория Болтина 3 лет назад Просмотров:
1 Ф ЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮ ДЖ ЕТН ОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ У ЧРЕЖ ДЕН И Е ВЫ СШ ЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «М ОСКО ВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СО ОБЩ ЕНИЯ ИМ ПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Высшая и вычислительная математика» Н. А. КОРНИЕНКО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебно-методическое пособие к выполнению индивидуального задания для студентов 2 курса технических специальностей ИТТСУ в 1 семестре Москва
2 УДК К 66 Корниенко Н. А. Дифференциальные уравнения: Учебно-методическое пособие к выполнению индивидуального задания для студентов 2 курса технических специальностей ИТТСУ в 1 семестре. — М.: МГУПС (МИИТ), с. Учебно-методическое издание содержит перечень теоретических вопросов и список рекомендуемой литературой для более глубокого их изучения; краткие сведения из теории раздела «Дифференциальные уравнения» курса «Высшая математика» изучаемого студентами на 2 курсе в 1 семестре; 4 задания по 30 вариантов в каждом; 2 приложения с таблицами производных и основных интегралов. Предлагаемые задания могут быть рекомендованы для самостоятельной работы студентов на аудиторных занятиях или в качестве тестового материала и типовых расчётов, выполняемых учащимися дома. В издании использованы задачи типового расчета по дисциплине «Высшая математика» для студентов 2 курса из работ Платоновой О. А., Пугиной Л. В., Королькова Е. П. «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 2002 года и Вечтомова В.Е., Коровина В.И., Левиной Р.П., Платоновой О. А. «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 1991 года. Пособие предназначено студентам 2 курса всех технических специальностей ИТТСУ МГУПС (МИИТ) и позволит им наилучшим образом подготовиться к успешной сдачи зачёта или экзамена по окончании 1семестра учебного года. Рецензент: доцент кафедры «Прикладная математика 1» МГУПС (МИИТ) кандидат физико-математических наук Зверкина Г алина Александровна. О М ГУПС (М ИИТ), 2017
3 Для самостоятельной проработки теоретических вопросов, относящихся к разделу «Дифференциальные уравнения» курса высшей математики, изучаемого студентами 2 курса в 1 семестре, рекомендуются учебники и учебные пособия, имеющиеся в большом количестве в библиотеке и читальных залах МГУПС (МИИТ) в свободном доступе: 1. Гусак A.A., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. — Мн.: Тетра Системе, с. 2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. — М.: 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. — 8-е изд., испр. — М.: ГТросвящение, с.: ил. 4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. — М.: Астре ль ACT, Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов в 2-х т. — М.: 6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. — М.: Айрис-Пресс с.: ил. 7. Сборник задач по математике для всех специальностей. Часть I: / Под ред. А.Д. Мышкиса, В.Б. Минасяна — М.: МИИТ, 2005,- 143 с. 8. Шипачев B.C. Высшая математика. Полный курс — М.: Юрайт, 2014.
4 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (определение, порядок, теорема существования и единственности решения, решение (частное и общее), частный и общий интеграл уравнения, задача Коши (геометрический смысл, количество начальных условий и их физический смысл), интегральная кривая). 2. Дифференциальные уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные относительно у уравнения; уравнения Бернулли; уравнения в полных дифференциалах). 3. Дифференциальные уравнения высших порядков (определение, решение, краевые условия). 4. Некоторые частные типы дифференциальных уравнений высшего порядка (уравнения, в которых производная и-го порядка выражена как функция от х; уравнения, которые не содержат искомой функции; уравнения, которые не содержат независимой переменной) 5. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения высшего порядка (структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения; линейная зависимость и независимость решений; фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального
5 уравнения; метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)). 6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (определение; характеристическое уравнение; вид общего решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения; метод неопределенных коэффициентов при подборе частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с правой частью специального вида; теорема наложения решений). 7. Системы дифференциальных уравнений (нормальная система; линейная система; неоднородная система; решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод интегрируемых комбинаций; метод исключения)).
6 СОДЕРЖАНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнения с разделяющимися переменными Однородные уравнения Линейные относительно у уравнения Уравнения Бернулли Уравнения в полных дифференциалах. 13 ЗАДАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Уравнения, в которых производная п-го порядка выражена как функция от х Уравнения, которые не содержат искомой функции Уравнения, которые не содержат независимой переменной ЗАДАНИЕ
7 3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ЗАДАНИЕ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Таблица производных ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Таблица основных интегралов. 57
8 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = (р(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решением дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения у’ = /(я:, у) в области D называется функция у = 9 Задача, в которой требуется найти частное решение дифференциального уравнения у’ = /( х,у ), удовлетворяющее начальному условию у(х0) = уп, называется задачей Коши. Построенный на плоскости XOY график всякого решения у = 10 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид F(x,y,y’) = 0 или в разрешенном относительно производной первого порядка виде У’ = fix, у). Дифференциальное уравнение определяет наклон интегральной кривой в точке М(х,у), т.е. определяет поле направлений интегральных кривых, так как к tga = у’ = ^ = f'(x,y) Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка Pdx + Qdy = 0, где Р и Q функции хну, называется уравнением с разделяющимися переменными, если коэффициенты Р и Q при дифференциалах раскладываются на множители, зависящие только от х или только от у, т. е. если оно имеет вид: у’ = /О ) /Су) ; = /(* ) / 11 Если ни одна из функций не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения оно сводится к виду: Почленное интегрирование приводит к соотношению, которое определяет в неявной форме решение исходного уравнения Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения Однородные уравнения Уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = О называется однородным, если Р(х,у) и Q(x,y) однородные функции одного измерения. Функция f(x,y) называется однородной измерения т, если f(äx, Лу) = Лт /(х, у). Однородное уравнение может быть приведено к
12 / *, dt у = t + л: С помощью подстановки у = t х, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t Линейные относительно у уравнения Уравнения вида у’ + Р(х)у = Q(x) называются линейными, если они первой степени относительно искомой функции у и всех ее производных (у и у’ входят в уравнения в первых степенях, не перемножаясь между собой). Если 13 2.4. Уравнения Бернулли вида Нелинейное дифференциальное уравнение у ‘ ± Р(х)у = Q(x)ym, где т Ф 0, т Ф 1, называется уравнением Бернулли. Уравнение решается так же, как линейное уравнение подстановкой у = и V, у ‘ = u’v + uv’, где и и V две неизвестные функции, подлежащие определению из системы двух уравнений с разделяющимися переменными, например, Гг/ + P(x)v = О (u’v = Q(x)ym 2.5. Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, где др ду dq дх называется уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и(х,у) в односвязной области. Если уравнение переписать в виде du = 0. то его общее решение определяется равенством и С.
14 Функция формуле: и(х,у) может быть найдена, например, по х и = У При этом в формуле нижние пределы интегралов (х0 и у0) произвольны. Их выбор ограничен единственным условием — интегралы в правой части формулы должны иметь смысл (т.е. не быть расходящимися интегралами второго рода).
15 ЗАДАНИЕ 1 Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и решить его в соответствии с установленным типом 1.1. х (у 2 1) dx + у (х2 1) dy = О 1.2. х -у’ = у + д/у2 — х2, у(3) = у ‘ + cos х (у sin х) = х у ‘ + у = х у 2 1пх 1.5. (Зх у 2 x2)dx + (Зх2 у 6у 2 у + 2)dy = у ‘ = (х2 — х) (1 + у 2) X 2.2. х In dy у dx = 0 У 2.3. х у ‘ = х + 2у + х2, у (1) = (1 + х 2) у ‘ = х у + х 2 у (2х у е*2 х sin х) dx + (е*2 1) dy = (у2 + х у 2) dx + (х2 у х2) dy 0 (у + 7 у 2 + х2 ) dx х dy = 0 х2 у’ = (1 + х2) е* — у, у(1) = 0 х2 у’ х3 д/зг = 4 х у / sin 2х + х dx + у sin2x dy = 0 У У
16 4.1. лг-д/1+ y 2 + у у’ Vi + х 2 = (у2-5х2) dy + х у dx = х ln х у ‘ у = 3 In х у у ‘ + у 2 е
2х cosx, у (0) = ^sin у + у sin х + j dx + ^xcos у — cos х + -Sjdy = 5.1. (1 + ех) — у — у = ех 5.2. (х + д/у2 + х2 ) dy у dx (4 — х 2) у’ + х у = х у’ у 2 Зу, у( 1) = (х3 + х у 2 + 2) dx + (х2 у + у 3 2) dy = у Ыу dx + х dy 0, у( 1) = е 6.2. (х2 + 2х у у 2) dx + (у 2 + 2х у x 2)dy = х у ‘ = х2 у 2 (2х + 1) у 6.5. (Зх2 + бху2 + 2x)dx (4у3 6х2 у — y)dy = (х + 2х3) dx + (у + 2у3) dy = у’ = е
+, у(1) = О х 7.3. х3у ‘ + Зх у = х2 у dy + (х у 2 + 2) dx = О 7.5. (х2 + у 2х + l)d x + (у 2 2у + х + 3)dy = О
17 8.1. 2у д/2у — у 2 dx (4 + х 2) dy О у + х у х 8.3. (2х у 2 у) dx + х dy = О 8.4. х у dy + (х2 + у2 + 1) dx — О, у(1) = (ех у + 2) dy + (уех 2х) dx = О 9.1. еу (1 + х 2) dy — 2х (1 + еу) dx = О, у(1) = О 9.3. у’ (х2 + х) (1 + 2х) = у 9.4. (1 — х 2) у’ + х у = х (1 — х 2) у/у 9.5. (Зх — 2у — 1) dx — (2х — 6у + 2) dy = О х у In х dy + 2 у 2 dx = О (х2 + Зх у — у 2) dx + х у dy = 0, у( 1) = О у 2 dx + х у dy = 2 dy х2 dy + 2х у dx = еу dy (х2 — у 2)(х dx — у dy) = О у ‘ = е *
у х у ‘ — у (1 + 1пу 1пх) у dx + (у 2-2х) dy = О Зу2 у’ + у 3 + х = 0, у(0) = (2х + у) dx + (х — 2у + еу 3) dy = О
18 12.1. у’ = х J l + у у 3 + 5х3 + Зх у 2 у ‘ = 0, у (1) = (х 2х у у 2) у’ + у 2 = О х у ‘ + у = у 2 1пх (у2-1) dx + (2х у + Зу2 — у + 1) dy = О x-yjl y 2 -dx + y-d y О у 3 dx + 2(х3 х у 2) dy = О х у ‘ 2у = х 3 cos х, у(л) = 7Г (у — 2х у х 2 л/ у ) + х 2 у’ = О х sin 2у dx + х2 cos 2у dy = О (1 + у 2) dx + х у dy = О У У y’ = +tg X X у ‘ + 2х у = е
х2, у(0) = х у’ у + у 2 = (Зх2-2х — у) dx + (2у — х 4- Зу2) dy = О х -У 1 — у 2 = у ‘ (1 + х 2) ^1 + е у ‘j dx + е у ^ j dy = 0, У (1) = у ‘ 2х у = 2х3 у х у’ + у — In х ^2ху2 — j dx + (2х2 у + у) dy = О
19 16.1. ех sin3y + (1 + е2х) cos у — у’ = 0 х
У у х + у х (х 1) у’ + 2х у = 1, у (2) = у’ + х — УУ = 3у (2х у 2 Зет) dx + (2х2 у + е _:У) dy = х л/1 У2 dx + у л/1 х 2 dy 0, у(0) = (х + у )2 dx + 2у2 dy = О (х у 2) dy = у dx (1 х 2) у ‘ 2х у 2 = х у (2х + sin х + Зу) dx (2у Зх) dy = О у /п3у dx + х dy = 0, у(1) = е (х2 2х у у 2) у ‘ + у 2 = О у sinx +у’ cosx = у 2 у ‘ + х 2 sin 3x = у 3 ctg х (Зу cos х) dx + (Зх Зу2 + 2) dy = О еу (1 + х 2) dy 2х (1 4- еу) dx = О (х у) у ‘ + Зх + у = О у ‘ = 2х (у + х 2), у(0) = у у ‘ 4- у 2 ctg х = cos х (у еху 2х + 1) dx + (х еху + 2у) dy = О
20 20.1. у’ sinx у cos л: = 0, у <^>= ^ dx dy. = — х 2 х у + у 2 2у 2 х у (2еУ — х) у’ = У у’ = у 2 + ху’ (Зх2еу — 4-х) dx + (х3еу + 2у 1) dy = О х у’ + 1 = еу (х3 Зу2 х) dx + (у 3 Зх2 у) dy = О х у’ 2у = 2х4, у(1) = 2 оч о, х Х ‘У (2х — у 2) dx (6у + х + 3) dy О х2 у у ‘ + у 2 = (Зх 2у) dx + (х у) dy = О х у ‘ + (х -I-1) у = Зх2 е
х х у 2 у ‘ = х 2 + у 3, у (1) = О (2у2 — х + 1) dx + (4х у + 2у 5) dy = О 1 + х у ‘ = х у (1 + у 2) (х + 4у) у ‘ = 2х + Зу ‘ ‘ у ( 2 ) = х (х 1) у’ + у 3 = х у (jy3-6х y2)dx + (4у + Зх у 2-6х2 y)dy = О
у -(1 + у ‘) = (у + д/х у ) dx — х dy = О х (у’ — у ) = е*, 1 у ( 1 ) = х у ‘ + 2у + X s у 3 е* = О (2у sin 2х) dx + (2х + Зу2 + 1) dy = О х -у’+ у = у2, у ( 1 ) =
у_ х — у’ = у — х е х у = х (у’ х cos х) х у dy = (у 2 + х) dx (2х + у е
*у 1) dy = О у’ ctgx + у = 2, у(о) = (у2 2х у) dx + х2 dy = О у ‘ sinx + у cosx = (х у 2) dx + 2х у dy О (2х у 2 3) dx + (2х2 у — 4у + 5) dy = О (х2-1) -у ‘ + 2 х -у 2 = О, у(о) = х3 у’ = у (2х2 — у 2) х у’ у = рг- V х у’ — 2у ех = 2 д/у» ех еу dx + (xe-v 2у + 3) dy = О
22 28.1. х 2 у 2 у’ + 1 = у у dx + (2 у/х у х) dy = 0, у (2) = х 2 у ‘ + у = (х2 + 1) ех у ‘ + 2х у = у 2 е* Зх2 е у dx + (х3 е у + 4у 5) dy = О х е у dx + (ех — 2 ех+у) dy = О, у(о) = О х у dx (Зх2 + у 2) dy = О (х2 1) dy + (2х у 1) dx = О у ‘ у + у 2 cosx = О (у е х — х 2) dx + (ех Зу2 + 2у — 3) dy = О у dx (1 + у 2)(1 + е
2х) dy = О (2х у у 2) dx + (у2 + х 2) dy = О (х у 1) dy + у 2 dx = О (1 — х 2)(у’-х-д/зГ ) = х-у, у(0) = (2х cos у Зх2) dx + (7у х 2 sin у) dy = О
23 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Дифференциальным уравнением называется уравнение вида: п-го порядка F(x,у,у’,у». у (п)) = 0. Решением такого уравнения является всякая п-раз дифференцируемая функция у = 24 уравнения определенного частного решения используют краевые условия. Эти условия задаются не в одной точке, а на концах некоторого интервала. Количество условий не должно превышать порядка уравнения. Краевые условия ставятся только для уравнений порядка выше первого. Интегрирование дифференциальных уравнений «-го порядка в конечном виде удается произвести только в некоторых частных случаях Уравнения, в которых производная я-го порядка выражена как функция от х Дифференциальные уравнения, где производная п-го порядка выражена как функция от х, имеют вид: у(п) _ Решения таких уравнений находят «-кратным интегрированием правой части: у (п-1) = J д г) dx = Д О ) + сг ; У(п
2) = J (АО) + сх) dx = f 2(x) + Clx + C2 ;
25 У- f f f — J /СО dxn п раз При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная. Конечный результат содержит п произвольных постоянных Уравнения, которые не содержат искомой функции Дифференциальные уравнения, которые не содержат искомой функции (в них нет у в явной форме) имеют вид: F(x,y(k^,y(k+1\. у(п^ = 0. Порядок такого уравнения можно понизить на к единиц, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая у 00 = р Тогда получается уравнение F(x,p,p’,p». y (n_fe)) = 0. В частном случае, для дифференциального уравнения второго порядка F 26 3.3. Уравнения, которые не содержат независимой переменной Дифференциальные уравнения, которые не содержат независимой переменной (в них нет х в явной форме) имеют вид: F 27 ЗАДАНИЕ 2 Решить дифференциальные уравнения второго порядка 1.1. х у» + у’ х 1 = О 1.2. Зу’ у» = 2у, у(2) = 0, у'(2) = О 2.1. y»vl х2 + j l у ‘2 = 0, у(1) = 1, у ‘( 1) = у у » = у ‘ у » у ‘ — х = О 3.2. у » + 2у у ‘ = О 4.1. у ‘ = (3 + х) у», у(о) = 2, у ‘(0 ) = у» х In х у’ 5.1. х у» + у’ Чх2 = О 5.2. у — у» у ‘ (1 + у’) = 0, у(о) = 2, у'(о) = х 3 у» + х 2 у ‘ = у» = 2 у у ‘, у(о) = 1, у'(0) = х у» у’ = х2 sinx 7.2. У ‘ у» у’2, У(2) = 1, у ‘(2) = 1 28 8.1. (1 + х) -у» +у’ + 1 = О 8.2. у» + у’2 = 2е У, у(1) = 0, у'(1 ) = (1 + х 2) у» — 2х у’ = 0, у(0) = 2, у'(0) = у у » + у ‘ 2 = у ‘ у у» у’ у’ х у» х2 COSX = у’ х2 у » + х у’ = у у» — Зу’2 = 4у2, у( 2) = 1. у ‘( 2) = х4 у » + 2х3 у’ = 1, у(1) = 0, у'(1) = у’2 = 2у у» х-у» — у ‘ — х + 1 = О у у» + у’2 = О (1 — х2) у» х у’ 2 = О у «= у ‘+ у ‘ у» = (l + / ), у(1) = /С 1 ) = 1 х \ х ) (1 + х 2) у» + х у’ = х 29 16.1. у» у’ х у 3 2х — у’ у(1) = 0, у'(1) = х + 2 у ‘- х — у » = лгу» + у ‘ = /п х (х 2-1) у» + 2х у ‘ = у» = J l + y’2, у (0) = 1, у ‘(0 ) = О х-у» +у’ = VF, у(1) = 0, у'(1) Зу у = 2у’ = Т х у = у’ + J y ‘2 х 2, у(1) = 1, У ‘( 1) = у у» 2у у ‘ /пу = у ‘ у ‘ + х + (у’ + х ) -у» = О у’3+ у у » = у ‘2, у(1) = 1, у'(1) х у» = у’ ( l + ln ), у(1) = 1, у ‘( 1) = у у» у у 2 30 23.1. у’ х 2 + х у» у» tg х = у’ y » — y -tgx = С 053 Х у = 1 + у у», у(0) = 1, у ‘(0 ) = у’2 + 2у у = 0, у ( ) = 1. У ‘( ) = х 4 у» — 2х3У = 4, у( 1) = 0, у'(1) = О y » V = y ‘ у’ = х-у»2 + у» у (у’ + 2у) = у ‘2, у(1) = 0, у'(1) = О x — J l + y ‘2 — у’ -VI — х 2 -у » = О, у(1) = 2, у'(1) = у у» + у 2 у ‘2 = О у » — х = у, у(1) = 1, у ‘(1 ) = у ‘2 2у у» 31 30.1. у » О 2 + 1) = 2х у’ у у» З у ‘2 = 4у2, у(0) = 1, у'(0) = 0 32 3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейным однородным дифференциальным уравнением п-то порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: у (п) + а1у (п 2) + + ап_гу’ + апу = 0, где: коэффициенты ах,а2, ап некоторые действительные числа. Для нахождения частных решений дифференциального уравнения составляют характеристическое уравнение кп + а х/сп_1 + а2кп 2 + Ь ап л к + ап 0, которое получается из дифференциального уравнения заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями к, причем сама функция заменяется единицей (у -> 1, у ‘ -» к, у» -* к2, у'» >/с3. ). Характеристическое уравнение является уравнением п-ой степени и имеет п корней, среди которых могут быть равные. Общее решение однородного дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения. 33 В частном случае, для однородного дифференциального уравнения второго порядка ay» ± by’ ± су О характеристическое уравнение имеют вид: ак2 ± Ьк ± с 0. D > 0 о I Q D 34 Линейным неоднородным дифференциальным уравнением «-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: у (п) + а 1у (п-1′) + а 2у (п-2) + + ап_ху’ + апу = /( х ), где: коэффициенты аг, а2. ап..1; ап некоторые действительные числа. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения: У = Учи + Уоо = Учн + С1У1 + с2у2 + + спуп. Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения используют метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет вид: /( х ) = еах (Рп(х) cosßx + Qm(x) sinßx) или является суммой функций такого вида. где: а, ß постоянные; Рп(х), Qm(x) многочлены от х соответственно «-ой и m-ой степени. 35 Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами у (п) + а!у(п-1) + а 2у (п_2) + + ап_!у’ + апу = /(х ) следует искать в виде Учн = хг ‘ е 36 подобных членов в левой и правой частях исходного уравнения после подстановки в него учн вместо у. Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для нахождения частного решения такого уравнения следует использовать теорему наложения решений. Отыскивают частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части и суммируют их. Полученная сумма является частным решением исходного дифференциального уравнения: Учн = УчнХ + У чн2 + + У чнп Некоторые частные случаи функции f(x) 1. Правая часть уравнения многочлен от х f(x ) = Рп(х) = а0хп + Ч——Ь ап_±х + ап. виде В этом случае частное решение следует искать в Учн Q n (x ) X, где: Qn(x) полный многочлен от х той же степени, что и многочлен Рп(х), но с различными неизвестными коэффициентами, подлежащими определению; г число корней характеристического уравнения, равных нулю. 37 2. Правая часть уравнения произведение многочлена от х на показательную функцию / 0 0 = Рп(х) еах. виде В этом случае частное решение следует искать в Учн = QnСО е * х г, где: Qn(x) полный многочлен от х той же степени, что и многочлен Рп(х), но с различными неизвестными коэффициентами, подлежащими определению; г число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом а в показателе числа е в правой части исходного уравнения. 3. Правая часть уравнения произведение многочлена от х нулевой степени на тригонометрическую функцию fix) = М cosßx + N sinßx, где: M,N,ß заданные действительные числа. виде В этом случае частное решение следует искать в Учн = 04 — cosßx + В sinßx) хг, где: А, В неизвестные коэффициенты многочлена нулевой степени; 38 г число корней характеристического уравнения, совпадающих с ß i. 4. Правая часть уравнения (/(* )) — неспецнального вида В этом случае используют метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), который применяется для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения и-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения. Если известна фундаментальная система решений Уг,У2> >Уп соответствующего однородного уравнения, тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде У = сх(х)уг + с2(х)у2 + + сп(х)уп, где функции С] (х), с2(х). сп(х) определяются из системы уравнений: с[(х)уг + с2(х)у2 + + с’п(х)уп = О с[(х)у[ + С2 (Х )у2 + + Сп(х)у = О с[(хы П 2) = о.с'(х)у1(п_1) + с2(х)у ^ С п (х )у ^ 1> = f(x) где f(x) правая часть данного дифференциального уравнения. 39 Для уравнения второго порядка у » + а1(х)у’ + а 2(х)у = fix) соответствующая система имеет вид ( c’iix)yi + с’2(х)у2 = О Iс[(х’)у[ + с’2(х)у’2 = /( х ) ‘ Решение этой системы находится по формулам: ( ч [ У г fix) г уг — /(х ) C l ) = _ J w ; с * (х ) = J d x где: IV = * y j = у, — у’2 у2 -у\ — определитель Вронского решений уг и у2. Решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется формулой: У = У1 -с1(х)+у2-с2(х). Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно сразу вычислить по формуле:, <Уг-fix) (У 1 -/(х ) y = y ‘ J w d x + y 2 J 40 ЗАДАНИЕ 3 Решить дифференциальные уравнения высших порядков 1.1. y IV by'» + 9у» = О 1.2. у» 6 у ‘ + 9 у х2 х 1.3. у» + у = sinx 2е х 1.4. у» + 2у’ — Зу = y z г 2.1. y IV — 8у» + 16у = О 2.2. у» 2у = (Зх 1) е х у» + 5у’ = 5х2-2х у » + 4у = ctg х 3.1. у» — 4у’ + Зу = О, у(0) = 2, у'(о) = у» + у = 3 sin 2х 3.3. у» у’ 2(1 х) v» + у =. -тsinzx 41 4.1. y v — 6yIV + 9у»‘ = О 4.2. у» + у = 2 cos Зх 4.3. у'» + у’ = Зх2 е х 4.4. у» + 2у’ + у у» — 7у + 12у = 0, у(0) = 2 / ( 0 ) = у » + 4у = 3 sinx 5.3. у» + Зу’ = 9х — 1_ у 5.4. у» 2у’ + у = х 6.1. y IV — 2у ‘» — 2у» = о 6.2. у» + 4у’ + 4у = 8ех 6.3. у» — 2у’ = х 2 х у»+ у = COS X 42 7.1. у VI + 2y v + y IV = у + у’ + у = (х + 5) е* 7.3. у » ‘ + у » = 6х + е х 7.4. у » + 4у’ + 4у = е -2х 8.1. у'»+ у» = 0, у (0) = 1 у»(о) = 1 у'(о) = О, 8.2. y» + 2y’ = sin2x 8.3. у» у = 2ех х у» у = е2х 1 + ех 9.1. у ‘»-З у «+ 3 у ‘-у = 0, у'(о) = 2, у»(0) = 3 у(о) = 1, 9.2. у» + Зу’ Зх е х 9.3. у» + 3у’ — 4 у = е 4*+х у » — у ‘ = ех 43 10.1. y IV — 8y’ = у» + у’ — 6y x + e x у» + Зу’ + 2y = x e x у» + 2y’ = ex yIV + Ay» + у = у» Ay’= 2 cos x y» — 3y’ + 2y = 3e2x y» — 5y ‘ + 6y = e^ yIV — 8y»‘ + 5y» = y » — 2y’ = x ex y» 4y’ + 4у = e2x + sin 2x 44 13.1. y lv + 6 у'» + 13 у» = О у ‘» — Зу» + Зу’ — у = ех у» — 4у ‘ + 8у = sin 4х е3х у » — 5 У + 6у = 1 Г ^ т y IV + 4у'» + Зу» = О у» 4у’ = х е 4х y» y = sinx у» + 4у = tg х y,v — 2у» — Зу = О у» + 6у’ + 10у = -2е3х у» — 4у’ + 4у = cos 2х у» + Зу’ + 2у = 45 16.1. у ‘» + 2 у» + 10 у’ = у» 8 у ‘ + 20у = х y » + y = 3cosx у» + у = sin л: у»‘ — 5у» + 2у’ = у» + 7у’ + 10у = 4х е 4х у» + 2у’ Зу = sin х cos х у — у ‘ 1 ех y v + 8у»‘ + 16у’ = О у» Зу’+ 2у = cos х у» — 2у’ — Зу = е 4х у» — 2у’ + у х2 + 1 46 19.1. у'» — 8у» + 17у’ О у» — Зу’+ 2у 2ех е у» + У — 4 sinx 2х У»‘У’ ех y IV- 2у'» + 5у» = О у» + у = 4х е * у» + у’ — 2у = sin 2х + cos 2х у»+ у = COSJX у'» + 4у» + у ‘ = О у» — 2у’ + 5у = sin 2х у» — 5у’ + 4у = 4л’2 е 2г у» + у = 47 22.1. y v — 10у»‘ + 9y’ = у» 2у’ + у 6х ех у» Зу’ + 2у = sinx у» + 4у = 2 tgx y IV — 5у» + 4у = у » -9 у = е 3* у» + 5 у ‘ + 6у = е _ 2* у» + у’ = 1 + ех у»‘ Зу’ + 2у = 0, у(0) = 1, у ‘( 0) = 1, у»(0) = О у » 4у’ + 8у = sin 2х у» + 4у’ + 4у = е 2х 3 л/хт Г у + 2у + у = — 48 25.1. y v — 6y lv + 9y»‘ = y» — 2y’ + 2y = у» + у = cos x y» y ‘ = e2x sinex y IV + 4y = y» 6y’ + 13у = 3 cos 2x y»‘- 3y’- 2y = 9e2x sinx у + 2y + у = ylv- y = y» + 4y’ + у = e- * у » + у = sin x + cos x y» 4y’ + 4y = e2* y»‘-8y = 0 49 28.2. у» Sy’ + 4у = х е 2х у» 5у’ = sin 5х у» 2 у’ + у = л/4 + х у ‘» + 4у’ = 0, у(о) = 1 /'(О ) = у » 5у’ 14у = х е х у » + 4у’ + 3у = cos Зх у» + у ‘ = 1 + е2х, у ‘(0 ) = 0, y IV — 4у» = О у» + 2у’-3у = е х у + 4у = 3 sin 2х е2х 30 4 * » — / = 1 + е2, 50 4. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Система дифференциальных уравнений вида г dx-i с г4. \ -tff = fl (t,x1,x2. xn) dx2,e r. N, df = f2(.t,x 1,x2. xn) x l,x2l. xn ) где xltx2. xn неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой. Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно х1,х2,,хп, то система дифференциальных уравнений называется линейной. Нормальную систему дифференциальных уравнений иногда удается свести к одному дифференциальному уравнению «-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (метод исключения). В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после преобразований у дается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти 51 решение системы дифференциальных уравнений (метод интегрируемых комбинаций). Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: f -gjr = an*i + ai2*2 + + сцпхп + A (t) dx 52 ЗАДАНИЕ 4 Решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами (х = Зх + у + et (у = х + Зу — ес [ х + у + у = е 53 x = у x + e 10. (‘ t.у = x у + e x у 11. fу = x + et + e _t ‘x = 2y Sx + et у = x 6y + e 2t i = 2x у у = 2y x 5ef [ x = 4x 3y + sin t [у = 2x у 2 cos t x = x у + 2 sin t. у = 2x у x = 2x 3y = x 2y + 2 sin t 20. \i = 2\ + t y 54 21 jx = x + 2y + 16 tet у 2x 2y x 2 x у 22. (. ; ( У = у 2x + 18t Г x 2x 4y ly = x -3 y + 3et f x = x + — 2y (y = x — 5 sin t fx 2x + у + ec ( у = 2x + 2t fx = 4x + у e2t ( у = у 2x fx = 2x 4y + 4e 2t l у = 2x 2y fx = 3x + 2y + 4e5t I у = x + 2y (x fx = у 5 cos t у = 2x + у 1 y = fx = у + 2ef I у = x + t2 55 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Таблица производных у = ип у = 1 у’ = п ип 1 и’ у’ = О у = X у’ = 1 у = yju Г — ‘ 1 у = и’ 2л/и у = аи у’ = аи Ina- и’ (а > О, у = еи у еи и’ 1 у = 1одаи у = и (а > О, и — Ina а Ф 1) у in и у = sinu у cos и у = tgu у = ctgu, 1 у = —- li’ у’ — cos и и’ у sin u -и’ у = и’ cos^u у и’ smzu 56 у arcsinu у, ==- и’ VI и 1 у = arccos и у = ——, : и VI и 1 у = arctgu у = г и’ у = arcctgu 1 у = ^ — и 57 Таблица основных интегралов ПРИЛОЖЕНИЕ 2 j xndx X n+1 Г (х ± d ) n+1 г + с I (х ± a)ndx = с, п + 1 J п + 1 S d x = n — x + с ln\x\ + c (п Ф — 1 ) f s.. 1 ( ^ ± a ) n+1 I (/cx ± a)ndx = J к n + 1 (n Ф — 1 ) г f'(x) J ^ — d x = ln\f(x)\ + c + c, \a>dx Ina f dx J ; = In\x + a + c J x ± a I I dx 1 dx ln\kx ± a + c, kx ± a к (к = const) xdx 1 = in x + aj + с x 2 ± a 2 1 akx + 58 s I exdx = ex + с h I ekxdx = ekx + c, к (к = const) sin xdx = cos x + с I sin kx dx = cos /сх -I- c, cos x dx = sin x + с cos kxdx sin kx + c, / ‘ [ — J sin2 X -ctgx + с /——r dx / = tox + с COS X Г dx J Vl x2 f J i + arcsinx + с = arctgx + с I h (k = const) dx 1 sin2 kx к (к = const) ctgkx + c, dx = tgkx + c, cos2 kx к I h (к = const) dx, : = a r c s i n h С Va2 x 2 dx = arctg + c 1 -V xl a a Г dx 1 J x2 a2 2a In x a x + a dx J x 2 ± a x a + с In x + ^fx2±a j + с 59 У чебно-м етодическое издание Корниенко Нина Амосовна ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебно-методическое пособие к выполнению индивидуального задания для студентов 2 курса технических специальностей ИТТСУ в 1 семестре Подписано в печать Л ^р б,/^ Заказ Изд Уел — печ. л. — 3, <Г Тираж 100 экз. Формат - 60x84/ , Россия, г. Москва, ул. Образцова, дом 9, стр.9, УПЦ ГИ МГ УПС (МИИТ) Задачник по математике В данном разделе опубликованы бесплатные решения для учебника Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Cборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой. Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ. Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство. Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала. Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная. Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство). Задание Решить дифференциальное уравнение xy’=y. Решение В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь переписываем дифференциальное уравнение, получаем Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем Далее интегрируем полученное уравнение: В данном случае интегралы берём из таблицы: После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. – это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const Ответ Задание Найти частное решение дифференциального уравнения Решение Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении. Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение: Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию: Если – это константа, то – тоже некоторая константа, заменим её буквой С: – убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения. Получаем общее решение: Ответ Задание Решить дифференциальное уравнение Решение В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде: Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть: После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше. Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала: В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм. Далее упрощаем общий интеграл: Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C: Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат. Ответ Задание Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2. Решение Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение. Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение: Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные. Получаем общее решение: Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух: Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение. Ответ Задание Решить дифференциальное уравнение Решение При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем: В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм. Ответ Задание Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку. Решение Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные: Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: можно выразить функцию в явном виде. Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение. Ответ Проверка Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие: Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено. Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Для этого находим производную: Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Задание Найти общий интеграл уравнения Решение Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Ответ Задание Найти частное решение ДУ. Решение Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные: Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию Подставляем в общее решение Ответ Задание Решить дифференциальное уравнение Решение Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Левую часть интегрируем по частям: В интеграле правой части проведем замену: (здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов) Ответ Задание Решить дифференциальное уравнение Решение Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: http://tasksall.ru/filippov/filippov.html http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-differenczialnyh-uravnenij-s-otvetami/Индивидуальные задания по дифференциальным уравнениям
Для студентов высших технических учебных заведений.Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Примеры решения дифференциальных уравнений
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />
