Информатика системы счисления решение уравнений

Карточка для практической работы по теме «Уравнения и системы счисления»
учебно-методический материал по информатике и икт (8, 9, 10, 11 класс)

В карточке подробно разобраны различные примеры решения уравнений в разных системах счисления. Далее ребятам предлагаются аналогичные задания для самостоятельного решения и напоследок подборка заданий на повторение предыдущих тем. Часть заданий взята с сайта Константина Юрьевича Полякова

Скачать:

Предварительный просмотр:

1. Изучите способы решения уравнений и законспектируйте в тетрадь все примеры

Решите уравнение 42 5 +х=1122 3 .Ответ запишите в четверичной системе счисления.

Переведем все числа в десятичную систему счисления

4*5 1 +2*5 0 +х=1*3 3 +1*3 2 +2*3 1 +2*3 0

Переведем ответ из десятичной системы счисления в четверичную

22 4

20 5 4

Решите уравнение. 104 х +20 х =84 10 . Ответ запишите в двоичной системе счисления.

Переведем все числа в десятичную систему счисления

104 х +20 х =84 10

1*х 2 +0*х 1 + 4*х 0 +2*х 1 +0*х 0 =84

х 1 =8 , х 2 =-10 (не подходит)

Переведем ответ из десятичной системы счисления в двоичную

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 47 записывается в виде 52. Укажите это основание.

Пусть основание равно х

Решим это уравнение:

Запись числа 65 8 в некоторой системе счисления выглядит так: 311 N . Найдите основание системы счисления N.

Решим это уравнение:

3*N 2 +1*N 1 +1*N 0 =6*8 1 +5*8 0

x 2 не подходит, т.к. отрицательный

1. Решите уравнение 60 8 +х=120 7 . Ответ запишите в шестеричной системе счисления.
2. Решите уравнение . Ответ запишите в троичной системе счисления.
3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.
4. Решите уравнение . Ответ запишите в шестеричной системе счисления.
5. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
6. Запись числа 57 8 в некоторой системе счисления выглядит так: 2D N . Найдите основание системы счисления N.
7. Решите уравнение . Ответ запишите в десятичной системе счисления.
8. Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как 64. Определите основание системы счисления.
9. Определите число N, для которого выполняется равенство 143 N + 25 6 = 138 N+1 .
10. Запись числа 2B 16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111 N . Найдите основание системы счисления N.
11. Известно, что X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Чему равно число X в десятичной системе счисления?
12. Выполните арифметические операции:

1. 7215 8 -676 8
2. D1C 16 +AF95 16
3. 1011101 2 ·1100 2
4. 5414 8 +435 8
5. 10101100 2 +110001 2
6. B8D4F 16 -BA76 16
7. 10010101 2 -11000100 2

1. Перевести:

1. 1023 4 =X 7
2. 2541 7 =X 3

1. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2 16 , y = 37 8 . Результат представьте в двоичной системе счисления.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа «Компьютерные словари и системы машинного перевода текста»

Практическая работа«Компьютерные словари и системы машинного перевода текста»1. Открыть Электронный словарь на сайте www.ver-dict.ru или по выбору.2.

Инструктивная карточка к практической работе по теме «спирты»

Инструктивная карточка к практической работе по теме «свойства спиртов», 10 (11) класс, органическая химия. Данная карточка позволяет оптимизировать проведение практической работы по органической хими.

Проверочная работа по по теме «Системы счисления»

Проверочная работа по по теме «Системы счисления» предназначения для проверки знаний учащихся 9 классов. В работе представлены 3 варианта.

Инструктивные карточки к практическим работам по химии

Представлены инструктивные карточки к практическим работам по химии за курс 8-11 класс.

Контрольная работа по теме «Информация. Системы счисления»

Материал контрольной работы в 2-х вариантах с ответами. Используются как тестовые задания, так и задания, требующие приведения решения.

инструктивная карточка к практической работе 9 класс

инструктивная карточка к практической работе 9 класс.

Практическая работа «Строение атома. Периодическая система химических элементов»

Задание1. Дать характеристику химическому элементу №39 по плану:Название, символ _______________________Порядковый номер______________________Атомная масса__________________________Ме, неМе, пер.

Информатика системы счисления решение уравнений

Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24₁₆?

24₁₆ = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Задание 2. Известно, что X = 12₄ + 4₅ + 101₂. Чему равно число X в десятичной системе счисления?

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
12₄ = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4₅ = 4 * 5 0 = 4
101₂ = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15

Задание 3. Вычислите значение суммы 10₂ + 45₈ + 10₁₆ в десятичной системе счисления.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10₂ = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45₈ = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10₁₆ = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55

Перевод в двоичную систему счисления

Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?

Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.

Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:

37₁₀ = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?

Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:

73₁₀ = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Ответ. В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.

Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2₁₆, y = 37₈. Результат представьте в двоичной системе счисления.

Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:

Сложим полученные числа:

Ответ. Сумма чисел D2₁₆ и y = 37₈, представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.

Задание 4. Дано: a = D7₁₆, b = 331₈. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Задание 2. В саду 100_x фруктовых деревьев, из которых 33_x – яблони, 22_x – груши, 16_x – сливы, 17_x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условие задачи таково:
33_x + 22_x + 16_x + 17_x = 100_x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2 2 + 2 = 6. Пробуем 3: 3 2 + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Задание 4. В какой системе счисления десятичное число 173 будет представлено как 445?

Решение.
Обозначим неизвестное основание за Х. Запишем следующее уравнение:
173₁₀ = 4*Х 2 + 4*Х 1 + 5*Х 0
С учетом того, что любое положительное число в нулевой степени равно 1 перепишем уравнение (основание 10 не будем указывать).
173 = 4*Х 2 + 4*Х + 5
Конечно, подобное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта, но есть более простое решение. Вычтем из правой и левой части по 4. Получим
169 = 4*Х 2 + 4*Х + 1 или 13 2 = (2*Х+1) 2
Отсюда получаем 2*Х +1 = 13 (отрицательный корень отбрасываем). Или Х = 6.
Ответ: 173₁₀ = 445₆

Задачи на нахождение нескольких оснований систем счисления

Есть группа задач, в которых требуется перечислить (в порядке возрастания или убывания) все основания систем счисления, в которых представление данного числа заканчивается на заданную цифру. Эта задача решается довольно просто. Сначала нужно из исходного числа вычесть заданную цифру. Получившееся число и будет первым основанием системы счисления. А все другие основания могут быть только делителями этого числа. (Данное утверждение доказывается на основе правила перевода чисел из одной системы счисления в другую – см. п.4). Помните только, что основание системы счисления не может быть меньше заданной цифры!

Пример
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.

Решение
24 – 3 =21 – это первое основание (13₂₁= 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 делится на 3 и на 7. Число 3 не подходит, т.к. в системе счисления с основанием 3 нет цифры 3.
Ответ: 7, 21

Задача №16. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

3. Решение уравнений

Пример 6

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.