Инфоурок 10 класс алгебра тригонометрические уравнения

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Тригонометрические уравнения

На предыдущих уроках мы научились решать простейшие тригонометрические уравнения, а именно, уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a и ctgx=a. Кроме того, мы уже узнали, как решаются и некоторые более сложные тригонометрические уравнения. На этом уроке мы будем решать уравнения, которые могут быть решены методом замены переменной.

Цели и задачи

• формирование умений решать тригонометрические уравнения, сводящихся к алгебраическим.

• рассмотреть метод замены переменной в тригонометрических уравнениях;
• рассмотреть решение методом замены переменной тригонометрических уравнений, которые сводятся к алгебраическим;
• учить решать тригонометрические уравнения.

Узнаем, научимся, сможем

• какие тригонометрические уравнения могут быть решены методом замены переменной;

• решать методом замены переменной тригонометрические уравнения, которые сводятся к квадратным и дробно-рациональным;

• решать методом замены переменной более сложные тригонометрические уравнения.

решение тригонометрических уравнений 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Содержание

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод разложения на множители

2. Метод введения новой переменной

3. Функционально-графические методы

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

V. Тесты для самостоятельного решения

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

sinx =0, x= πn, nєZ

sinx =–1, x= –+2πn, nєZ;

sinx =1, x=+2πn, nєZ;

x= π– arcsin а +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(–1) n arcsin а + πn, nєZ.

cos x=0, x= – + π n, n є Z;

cos x=–1, x= π +2 π n, n є Z;

cos x=1, x=2 π n, n є Z;

cos x= а , | а | а +2 π n, n є Z.

Решения уравнения tg x =а и ctg x =а записываются существенно проще:

x = arctg а +π n , n є Z и, соответственно, x = arc с tg а +π n , n є Z .

Пример 1. Решить уравнение sinx = .

Решение: так как n arcsin + πn, nєZ.

Ответ: (–1) n arcsin + πn, nєZ.

Пример 2. Решить уравнение cos x =.

Решение: так как >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 3. Решить уравнение tg x + = 0.

tg x+ = 0

tg x = –

x = arctg (– ) + π n, n є Z

x = – arctg + π n, n є Z

x = – +2 π n, n є Z;

Ответ: –+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение 2 cos x = –.

2cos x = –

cos x = –

x= ± arccos (– )+2 π n, n є Z

x= ±( π – arccos )+2 π n, n є Z

x= ±( π – )+2 π n, n є Z

x = ± + 2 π n, n є Z

Ответ : ± + 2 π n, n є Z.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x =1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение cos = .

Решение: cos =

Это уравнение сводится к простейшему cos t = заменой t =, которую можно не прописывать.

= ± arccos +2π n , n є Z

= ± +2π n , n є Z

х = ± + 10π n , n є Z

Ответ: ± + 10π n , n є Z .

Пример 6. Решить уравнение: sin (2 x –) = .

Решение: sin (2 x –) =

2 x –= (–1) n arcsin + π n , n є Z

2 x – = (–1) n + π n , n є Z

2 x – = ++ 2π n , n є Z

2 x – = –+ (2m + 1)π,mєZ

2 x = + 2πn, n є Z

2 x =π + 2πm, mє Z

x = + πn, n є Z

x = + πm, mє Z

Ответ: + πn, + πm, n ,mє Z .

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

Пример 7. Решить уравнение 4 sin 3 x cos 3 x =1.

Решение : 4 sin3x cos 3x =1

2(2sin3x cos 3x) =1

sin6x =

6x = (–1) n + π n, n є Z

x = (–1) n + n, n є Z

Ответ: (–1) n + n , n є Z .

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример 8. Найдите корни уравнения 2 cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

cosx = –

Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

x₁ = ; x₂ = .

Ответ: ;.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

Пример 9. Найдите сумму корней уравнения ( cos 2 x –1)(2 sin – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–; π ).

Решение: x₁ = 0; x₂ = , x₁ + x₂ =

Ответ: .

1. Найдите сумму корней уравнения 2 sinx = –1 на указанном промежутке

2. Найдите количество корней уравнения 4 cos 2 2х = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx cos + sin cos х = на указанном промежутке

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

Пример 10. Решить уравнение cos x 2 = 1.

Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

х = , kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

Его решение имеет вид х = ± при а0.

Если а sinsinx = 1.

Решение: sinsinx = 1.

sinx = +2πn, nєZ

Выражение |+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

Пример 1. Решить уравнение sin 4 x = 3 cos 2х.

sin 4 x = 3 cos 2х.

2 sin 2 x cos 2х = 3 cos 2х

Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos 2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos 2х 0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos 2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos 2х, а разложить на множители

(2 sin 2 x – 3) cos 2х = 0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

х = , nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: , nЄZ.

Пример 2. Решить уравнение sin 2 x = sin 4 x

Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin 2 x – sin 4 x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2 cos = 0

Ответ:

Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения , при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Ответ:

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B 7.).

Найдите наименьший корень уравнения

Решение:

Ответ:

Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f ( x ),где f ( x ) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Пример 5. Решить уравнение cos 2 π x + 4 sin π x + 4 =0

Решение: 1 – sin 2 π x + 4 sin π x + 4 =0

– sin 2 π x + 4 sin π x + 5 =0

Заменим sin πx = t , -1

t ₂ не удовлетворяет условию -1

πx = –

х = –

Ответ: –

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнение вида а sinx + b cosx =0, где а и b –некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx .

Уравнение вида а sin 2 x + b cos 2 x + с =0, где а,b,с – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx .

Пример 6. Решить уравнение sinx – cos х = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx .

Получим уравнение tg x = 1, откуда х =

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение sin 2 x – 3 sinx cos х + 2 cos 2 x = 0.

Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos 2 x . В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

решив которое, получим

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента.

Уравнение вида а cosx + b sinx = с, где а, b, с –некоторые числа, причем

называют линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как а 2 + b 2 >0, то можно разделить обе части уравнения на , получим

Введём в рассмотрение угол такой, что

Угол , удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

p 2 + g 2 = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

cos cosx + sin sinx =

cos (x – ) =

Аналогично можно вводить вспомогательный угол такой, что:

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sin cosx + cos sinx =

sin (x + ) =

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.

Пример 8. Решить уравнение 3 sinx – 4 cos х = 5.

Решение. 3 sinx – 4 cos х = 5

==5

, cosx = ,

cos ( x + ) = –1

x + = π + 2 πn , n Є Z

x = – + π + 2 πn , n Є Z

x = – arcsin + π + 2 πn , n Є Z

Ответ: – arcsin + π + 2 πn , n Є Z .

Пример 9. Решить уравнение 2 cos х = 1– 2 cos 2 х – sin 2 x .

Решение. Воспользуемся формулой 2 cos 2 х – 1 = cos 2 x ,

получим 2 cos х = – cos 2х – sin 2 x .

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

=

2cos х = – 2( cos2 х + sin2x)

2cos х = – 2 ( с os cos2 х + sin sin2x), где

2 cos х = – 2( cos 2х – )

cos х + cos (2х – ) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2 cos cos

cos

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ: .

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

sin , cos

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках tg не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Пример 10. Решить уравнение sinx + cos х = –1.

Решение: = –1, заменим tg , получим

2t +1 – t 2 = –1– t 2

tg

Подставим теперь в исходное уравнение значение и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ:

Уравнение вида

Уравнение вида где — многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

Пример 11. Решить уравнение

Решение: введем новую переменную

Тогда

Следовательно, и исходное уравнение принимает вид

Для определения переменной получаем два уравнения

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Ответ:

После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»

3. Функционально-графические методы

Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f ( x ) = g ( x ), где f и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е( f ) и Е( g ) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f ( x ) = g ( x ) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f ( x ) = a , g ( x ) = a , где а – такое действительное число, что

Пример 12. Решить уравнение .

Ответ: нет решения.

Пример13. Решить уравнение .

Ответ: нет решения.

Пример14. Решить уравнение .

Ответ: .

Пример15. Решить уравнение

Ответ:

Пример16. Решить уравнение

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

И должно выполняться равенство Поскольку

Ответ:

Суть метода использования графиков для решения уравнения f ( x ) = g ( x ) проста: нужно построить графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.

Простейшие тригонометрические уравнения

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Используя этот видеоурок, вы сможете самостоятельно изучить тему «Простейшие тригонометрические уравнения». Это занятие создано специально для закрепления знаний по тригонометрии. Учитель расскажет об искусстве решения тригонометрических уравнений, которое заключается в сведении таких уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям