Интеграл дюамеля и уравнение свертки записывается в виде

Интеграл дюамеля и уравнение свертки записывается в виде

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую — как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

.

(1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

1. Определение функции (или ) для исследуемой цепи.
2. Запись выражения (или ) путем формальной замены t на .
3. Определение производной .
4. Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

.

.

.

Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

Метод переменных состояния

Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

;

(2)

.

(3)

Здесь и — столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; — матрица-столбец источников внешних воздействий; — столбцовая матрица выходных (искомых) величин; — квадратная размерностью (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; — прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); — прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); — прямоугольная размерностью матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

;

(4)

;

(5)

.

(6)

Поскольку с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

или в матричной форме записи

Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

Вектор начальных значений (0)= .

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Интеграл дюамеля и уравнение свертки записывается в виде

20.2. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ИНТЕГРАЛ СВЕРТКИ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ

Рассмотрим процесс в цепи при действии на ее входе сигнала произвольной формы f 1 ( t ) (рис. 20.3). Этот сигнал можно представить в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью D x с амплитудами f 1 ( k D x ).

При малых значениях D x каждый такой импульс эквивалентен действию на цепь d -импульса, включаемого в момент t = k D x и имеющего площадь f 1 ( k D x ) D x . Поэтому входной сигнал представим в виде суммы . После перехода к пределу при D x ® 0, k D x ® x получим .

Поскольку реакция цепи на каждый d -импульс описывается импульсной характеристикой h d , то для выходной величины f 2 ( t ) можно записать аналогичный интеграл, в котором реакция на входной импульс d ( t – x ) выражена как h d ( t – x ):

.

Полученный интеграл называется интегралом свертки и используется при вычислении реакции цепи f 2 ( t ) на воздействие f 1 ( t ) произвольной формы. Он и является основой временнóго метода расчета переходных процессов.

Как уже отмечалось, указанные выше пределы интегрирования требуют уточнения, особенно, при наличии в подынтегральных сомножителях слагаемых в виде d -функций. При вычислении интеграла свертки необходимо учитывать, что первый сомножитель под интегралом f 1 ( x ) = 0 при x h d ( t – x ) = 0 при t – x x > t + 0. Именно эти значения пределов интегрирования (– 0 x t f 1 d -слагаемое может содержаться в h d ( t – x ). Вклад этого слагаемого можно учесть отдельно. Для этого запишем

.

Так как второй интеграл можно преобразовать к виду , то окончательно получим

.

В последнем выражении под интегралом учитывается только ограниченная часть импульсной характеристики h d .

Пример использования интеграла свертки рассмотрен в Задаче 17.1.

Основные свойства интеграла свертки.

1. Поскольку при t f 1 ( t ) и h d ( t ) º 0, то пределы в интеграле свертки можно взять от — ¥ до ¥ , то есть

,

так как на добавленных отрезках (– ¥ , 0) и ( t , ¥ ) один из подынтегральных сомножителей тождественно равен нулю.

2. Переменные интегрирования можно заменять, используя связь t – x = y . Интеграл при этом примет вид

.

Операция свертки растягивает импульсный сигнал во времени. Пусть прямоугольный импульс A длительностью T (рис. 20.4, а ) действует на входе цепи, импульсная характеристика которой изображена на рис. 20.4, б . Такая цепь представляет интегратор с конечным временем интегрирования t .

В этом простом случае результат свертки легко найти графически. Пусть для определенности T > t , тогда для различных моментов времени t 1 , t 2 и t 3 произведение f 1 на h ( t – x ) будет определяться площадью перекрывающихся прямоугольников (рис. 20.4, в ), и выходной сигнал будет иметь вид, показанный на рис. 20.4, г . Таким образом, цепь суммирует длительность импульса T и собственное время t .

Интеграл Дюамеля. Интеграл свертки можно выразить через переходную характеристику. Это приводит к интегралу Дюамеля. Для его получения используем записанную п. 20.1 связь h d = dh / dt , из которой произведение h d ( t – x ) dx можно представить как – dh ( t – x ):

.

В последнем преобразовании использована формула интегрирования по частям. Так как внеинтегральный член равен нулю, то окончательно получим

,

где .

Неудобство этого выражения связано с d -слагаемыми в , которые появляются, если входной сигнал f 1 ( t ) имеет разрывы. При наличии разрыва в точке t = 0 [ f 1 (– 0) = 0, f 1 (+ 0) ¹ 0],] его можно выделить и записать

Последнее выражение является наиболее распространенной формой записи интеграла Дюамеля.

Если входная функция f 1 имеет разрывы, то для расчета переходного процесса временным методом удобнее использовать интеграл свертки, если она непрерывна, то — интеграл Дюамеля (при неограниченной характеристике h d ).

При выполнении расчетов временным методом следует обращать внимание на: 1) различное аналитическое описание функции f 1 на различных отрезках у импульсов сложной формы; 2) правильный учет неограниченного характера функции h d (при вычислении интегралов с d- слагаемыми); 3) правильный учет разрывов функции f 1 в интеграле Дюамеля.

Пример расчета переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля рассмотрен в Задачe 17.2.

Особенности применения операторного метода при определении «последействия» импульса. Реакция цепи на одиночный импульс длительностью Т при t > Т содержит лишь свободные составляющие процесса, соответствующие корням характеристического уравнения цепи. В связи с этим при использовании операторного метода нахождение оригинала по теореме разложения требует учета не всех корней знаменателя изображения реакции, а лишь тех из них, которые являются корнями знаменателя передаточной функции. Это существенно упрощает расчет, особенно для импульсов сложной формы. Пусть определено изображение импульса с конечной длительностью

(f₁(t) = 0 при t > T). При воздействии такого импульса на цепь с передаточной функцией K( s) = Q(s)/P(s) реакция при t > Т содержит лишь экспоненты е s k t с показателями, в которые входят корни P(s) =0. Поэтому для реакции при t > Т по теореме разложения имеем

(предполагается отсутствие кратных корней s _k) .

Рассмотрим в качестве примера Задачу 17.1. Передаточная функция цепи имеет выражение K( s) = s t /(l + s t ). Операторное изображение входного сигнала имеет вид

Поэтому изображение выходного напряжения равно

что совпадает с результатом, полученным в Задаче 17.1.

Если воздействующий импульс f₁(t) не имеет простого аналитического описания, то его представляют в виде совокупности импульсов прямоугольной формы с амплитудой f₁(t_k) длительностью D t_k, каждый из которых рассматривается как d -импульс

С помощью теоремы запаздывания получим изображение входного сигнала F₁(s)

При таком представлении временной метод приводит к замене интеграла свертки суммой; для выходного сигнала будем иметь

.

Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки

Содержание:

Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки:

Интеграл Дюамеля применяют для расчета токов, напряжений переходных режимов в схеме с нулевыми начальными условиями, если воздействие имеет сложную форму. В табл. 7.1 приведены формы записи интеграла Дюамеля.

При определении тока или напряжения переходного режима, обозначенных можно использовать одну из восьми форм записи, расчет по которой проще. В интеграл Дюамеля кроме входного сигнала входят временные характеристики: переходная функция (характеристика) h(t) и импульсная переходная функция (характеристика) . Временные характеристики — это реакция цепи на типовые воздействия иди при нулевых начальных условиях в схеме.

Временные характеристики бывают переходные если входное воздействие представлено в виде и импульсные если воздействие имеет вид -функции. Переходная характеристика определяется как

Из выражения (7.9) следует, что переходная характеристика равна току или напряжению u(t) переходного режима при подключении цепи к источнику ЭДС с В или источнику тока

Импульсная характеристика определяется из соотношения

В табл. 7.2 приведены графики типовых воздействий и разновидностей временных характеристик.

Методы определения переходных и импульсных характеристик

Классический метод построения переходных и импульсных характеристик:

Для расчета переходных характеристик классическим методом:

1. на вход цепи полают единичное ступенчатое воздействие напряжения (тока)
2. записывают формулу для определения h(t) используя соотношение
3. находят классическим методом т.е. ток или напряжение переходного режима в зависимости от разновидности определяемой характеристики;
4. рассчитывают и строят график;
5. проверяют расчет для по схеме и сравнивают с аналитическим выражением

Для расчета импульсных характеристик пользуются соотношением (7.10), связывающим переходные и импульсные характеристики

Пример расчета переходных и импульсных характеристик классическим методом

Для дифференцирующего RС-контура (рис. 7.1) определить переходную и импульсную характеристики по напряжению на сопротивлении R2.

На вход цепи, изображенной на рис.7.2. подают единичное ступенчатое напряжение

Записывают формулу для определения h(t), используя соотношение (7.9) и табл. 7.2

Определяют классическим методом напряжение переходного режима на сопротивлении R2:

Начальное значение А определяют по выражению

Корен, определяют как

Напряжение переходного режима на сопротивлении будет иметь вид

Определяют переходную характеристику по напряжению

График переходной характеристики по напряжению приведен на рис. 7.3.

Определяют импульсную характеристику по связи (7.10) с переходной

Размерность импульсной характеристики (1/с), а физически характеризует скорость изменения переходной характеристики.

Построение переходных и импульсных характеристик операторным методом

Для расчета переходных и импульсных характеристик операторным методом:

1)для заданной электрической цени и операторной форме составляют уравнения входа и выхода, например для и

2) определяют выражение для передаточной функции электрической цепи

3) определяют с помощью обратного преобразования Лапласа импульсную характеристику

4) получают изображение переходной характеристики по полученной передаточной функции

5) определяют переходную характеристику по полученному изображению переходной функции с помощью обратного преобразования Лапласа

Пример расчета переходных и импульсных характеристик операторным методом. Для дифференцирующего RС-контура (см. рис.7.1) определить переходную и импульсную характеристики по напряжению на сопротивлении

Для определения передаточной функции контура составим уравнения напряжения этого контура в операционной форме

Из второго уравнения находим и, подставляя в первое уравнение, получаем

откуда передаточная функция контура

где — постоянная времени контура по производной; — коэффициент усиления контура по сигнальной составляющей; — постоянная времени отставания. Поскольку

Из формулы (7.15) можно определить изображение переходной функции контура подставив

Методы определения импульсной (7.12) и переходной характеристик (7.14) электрических цепей и систем автоматического управления с помощью обратного преобразования хорошо известны и широко применяются в инженерной практике [4, 6, 14], поэтому не будем на них подробно останавливаться, а получим временные характеристики с помощью программной среды Mathcad.

Применим стандартную функцию invlaplace в среде Mathcad.

Импульсная характеристика определяетcя по выражению

Переходная характеристика h(t) — по выражению

Порядок расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля

1. Записывают одну из восьми форм интеграла Дюамеля, приведенных и табл. 7.1.
2. Определяют соответствующую временную характеристику.
3. Вычисляют компоненты, входящие в интеграл Дюамеля.
4. Производят интегрирование и находят искомую функцию.
5. Проверяют расчет для строят график найденной характеристики.

Для построения выходных переменных воспользуемся интегралом свертки в форме записи (7.6) и средой Mathcad:

1. выходная (переходная) функция электрической цепи приведена на рис. 7.4;
2. реакция электрической цепи на линейное воздействие показана на рис. 7.5.

По виду входной и выходной величин осуществляется оценка свойств электрической цепи, исследуется влияние изменения параметров цепи на характер процессов, протекающих в ней.

Примеры решения задач

Пример 7.4.1.

Определить напряжение на сопротивлении R интегрирующей RL-цепи (рис. 7.6). если напряжение на входе

Решение

Выбирают аналитическое выражение интеграла Дюамеля из табл. 7.1

Конкретизируя величины, входящие в интеграл Дюамеля, получают

Определяют переходную характеристику но напряжению на сопротивлении R как

На рис. 7.7 приведена схема для расчета переходной характеристики

Следовательно,

Вычисляют компоненты, входящие в интеграл Дюамеля:

Производя интегрирование в соответствии с выражением (7.10), находят искомое напряжение

Проверяют расчет для

На рис. 7.К приведена эквивалентная схема для На основании первого закона коммутации индуктивность заменяют разрывом. Следовательно, Если то

Подставляя в аналитическое выражение, получают такие же значения. На рис. 7.9 приведен график при построенный по выражению (7.19) и среде Mathcad, где

Пример 7.4.2.

Определить напряжение на сопротивлении R и интегрирующей /fi-цеии (рис. 7.7), если напряжение па входе . Аналитические преобразования, расчеты и построение графиков выполнить в среде Mathcad.

Дано:

Решение

Определение напряжения проведем с помощью интеграла Дюамеля, как и в примере 7.4.1.

В этом выражении составляющая тогда

Определим подынтегральную функцию, для этого воспользуемся выражениями из примера 7.4.1. В среде Mathcad интеграл (7.20) и результат его символического вычисления принимают вид

Программа для вычисления и построения входного и выходного напряжения имеет следующий вид

Графическое изображение входного и выходного напряжений показано на рис. 7.10.

Пример 7.4.3.

Для повышения разрешающей способности PЛC применяют дифференцирование сигналов. Рассчитать напряжение на выходе RС-цепи, поступающее на вход преобразовательного устройства РЛС, если на входе цепи (рис. 7.11) появляется прямоугольный видеоимпульс с параметрами Параметры RС-цепи:

Решение

Определяют переходную характеристику по напряжению

Входной и выходной сигналы методом наложения представляют в виде суммы ступенчатых воздействий (рис. 7.12). Входной сигнал определяют из соотношения

Приближенно графики входного и выходного напряжений изображены на рис. 7.13.

В математической среде Mathcad решение этой задачи упрощается и может быть представлено следующими программами:

1) для моделирования входного импульсного напряжения

2) для моделирования выходного напряжения

Графики напряжений приведены па рис. 7.14.

• Операторный метод расчета переходных процессов
• Метод пространства состояний электрических цепей
• Синтез электрических цепей
• Цепи с распределенными параметрами
• Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
• Переходные процессы в колебательных контурах
• Расчет переходных процессов
• Классический метод расчета переходных процессов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.