Интеграл энергии для волнового уравнения

Задача Коши для волнового уравнения. Пример: уравнение колебаний струны

Интеграл энергии

= a 2 Δ u + f ( x , t )

Пример

Уравнение колебаний струны

Диссипативные интегралы энергии в смешанной задаче для волнового уравнения Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гордиенко Валерий Михайлович

Рассматривается смешанная задача для многомерного волнового уравнения в четверти пространства. Граничное условие задано в виде линейной комбинации первых производных. Предполагается выполненным равномерное условие Лопатинского . В этом случае построены все возможные диссипативные интегралы энергии. Эти интегралы энергии параметризованы точками верхней полы телесного конуса второго порядка. Расположение конуса и его геометрические параметры охарактеризованы через коэффициенты граничного условия исходной задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гордиенко Валерий Михайлович

Dissipative energy integrals in a mixed problem for the wave equation

Under consideration is a mixed problem for the multi-dimensional wave equation in a quarter of the real space. The boundary condition is given as a linear combination of the first derivatives, and the uniform Lopatinskii condition is assumed to be satisfied. In this case, we constructed all possible dissipative energy integrals and parametrized them by the points of the upper part of a bodily cone of the second order. We characterize the cone location and its geometric parameters by means of the coefficients of the boundary condition of the problem.

Текст научной работы на тему «Диссипативные интегралы энергии в смешанной задаче для волнового уравнения»

ДИССИПАТИВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭНЕРГИИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ*)

Рассматривается смешанная задача для волнового уравнения

фьь — фхх — Е фу,у, = о, г >о, х > о, (1)

Рфь + 9фх + Е фу,= 0, х = 0, (2)

2 = 1, 2. , п; р, д, гз — вещественные числа или гладкие функции от

Будем рассматривать вопросы обоснования корректности таких смешанных задач. В курсах уравнений с частными производными обычно рассматриваются смешанные задачи либо с граничным усло-

фьь — фхх — Е фу,у, = 0 1 2фь.

Полученное выражение преобразуется к виду

• матрица В положительна на векторах, удовлетворяющих граничному условию:

Теорема. Если выполнено условие

то множество параметров k,l,mj, обеспечивающих выполнение сформулированных условий на матрицы Л, B, непусто п представляет собой внутренность верхней полы (k > 0) конуса второго порядка ß = <(k, l, mb . .. , m„) : (p2 -J] rj) (k2-l2 -J] mj) - (pk-ql-J2 rj mj)2 >0>.

Будет обоснована необходимость неравенств (5). Кроме того, будут описаны расположение и геометрические параметры конуса J?.

2. Необходимое условие диссипативности

Легко видеть, что Л > 0 ^^ k > 0, k2 — l2 — mj > 0.

Лемма 1. Для того чтобы выполнялось условие диссипативности, матрица B должна иметь n + 1 положительных собственных чисел.

Доказательство. Пусть Ai ^ A2 ^ . ^ Xn+2 собственные числа B

A = max ( min (BU,U)).

Поэтому если выполнено условие диссипативности, то A > 0. □

Лемма 2. Пусть к2 — ¡2 — ^ ш2 > 0. Матрица В имеет п положительных собственных чисел тогда и только тогда, когда I 0, к2 — ¡2 —

^2’ш2 > 0), то для условия диссипативности необходимо, чтобы было ¡ 0, к2 — ¡2 — ^ ш2 > 0, ¡ 0, располагается между полами конуса Рё. Таким образом, условие диссипативности геометрически означает, что гиперплоскость рп + ду + ^ г2 = 0 разделяет полы конуса Рё.

Так как с^В = — (—I)»(к2 — ¡2 — ^ ш2), в силу (6) матрица В невырожденна. Сопряженным к конусу РМ назовем конус

Легко показать, что образующие конуса ¿¡ё* являются нормалями касательных плоскостей конуса ¿¡ё. Поэтому условие разделения гиперплоскостью ри + ци + ^ т? = 0 пол конуса эквивалентно тому,

что нормаль этой гиперплоскости лежит внутри двойственного конуса

мы можем отбросить. Но основной успех этой работы связан с тем появившимся сейчас обстоятельством, что выражение, стоящее в левой части (8), является квадратичной формой не только относительно коэффициентов граничного условия р, д, г2-, но и относительно пара-

Теперь условие диссипативности (7), (8) записываем в виде

Поскольку это условие используется как условие на параметры к, I, т2, мы выбрали вариант, в котором именно относительно этих параметров условие диссипативности записывается как квадратичная форма.

Мы обосновали следующее утверждение: чтобы матрицы А н В удовлетворяли условиям, сформулированным во введении, для параметров к, I, т2 должно быть выполнено

к2 — ¿2 — Е т| >0, к > 0, I о.

4. Завершение исследования условия диссипативности

Обозначим через л/ конус второго порядка л/ = <(к, I, ть. , тп) : к2 — I2 — т2 >О>. Во введении мы уже ввели в рассмотрение конус ¿3-второго порядка. С этого момента предполагаем, что коэффициенты р, д, г2

мость этого предположения будет объяснена в заключительном пункте. р — г2 >

женность конусов £И С а также то, что первое неравенство в списке неравенств (9) может быть опущено. Таким образом, неравенства (9) принимают вид

гиперплоскость I = 0 также разделяет полы конуса £>.

Лемма 3. Конус ( Я

= 0 касается гпперплоско-

стп I = 0 по прямой £

Доказательство. Легко проверить, что точки прямой £ г1

расположены па конусе ( Q

= 0. Уравнение гипер-

плоскости, касающейся этого конуса в точках прямой £

= ц/(р2 — Е г?) = 0. Это уравнение задает ги-

перплоскость I = 0. □

Итак, гиперплоскость к = 0 и гиперплоскость I = 0 разделяют полы конуса 0, I О, I = —1 о.

Сформулированная во введении теорема доказана.

5. Собственные числа и собственные векторы матрицы Q

Для того чтобы описать расположение конуса £2 и его геометрические параметры, нужно найти систему координат, в которой этот конус будет приведен к каноническому виду. Эту систему координат составляют ортонормированные собственные векторы матрицы Я- В частности, направление оси конуса £2 задает собственный вектор, отвечающий единственному положительному собственному числу матрицы Я, а геометрические параметры конуса £2 выражаются через собственные числа матрицы Я- Вычислим все собственные числа и собственные векторы матрицы Я. Для этого достаточно решить одно квадратное уравнение.

Пусть А1 Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.