Интеграл от корня квадратного уравнения

Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена

Метод интегрирования

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,
где R – рациональная функция.

Ранее мы рассмотрели интегралы с квадратным корнем от трехчлена трех типов.
(i) Подробнее >>>
(ii) Подробнее >>>
(iii) Подробнее >>>
Здесь P_n ( x ) – многочлен степени n от x .

Покажем, что любой интеграл от рациональной функции вида , можно выразить через интегралы (i), (ii) и (iii) и интеграл от рациональной функции .

Доказательство

Прежде всего заметим, что любая целая степень от квадратного корня является или многочленом (для четных степеней), или произведением многочлена на корень .
Действительно, имеем.
;
;
;
;
И так далее.

Любую рациональную функцию можно представить в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят суммы конечного числа членов от целочисленных степеней ее аргументов.
.
Поскольку целая степень от квадратного корня является или многочленом от x , или произведением многочлена на корень, то
,
где P ( x ) , Q ( x ) , V ( x ) , W ( x ) – многочлены от x .

Умножим числитель и знаменатель на и применим формулу ( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 .
В знаменателе имеем.

.
Как видно, знаменатель становится многочленом, который мы обозначили через U ( x ) . В числителе по прежнему имеется сумма произведений целочисленных степеней от x и . Поэтому числитель имеет прежний вид , где P * ( x ) , Q * ( x ) — многочлены. Таким образом, имеем
,
где R ( x ) – рациональная функция, Q ** ( x ) – многочлен.

Если степень многочлена Q ** ( x ) больше, чем у многочлена U ( x ) , то выделим целую часть. Тогда
,
где P ** ( x ) – многочлен, – правильная дробь. Имеем . Правильную дробь разложим на простейшие. Это даст сумму членов вида и .

Подставляя все члены разложения в и интегрируя получаем, что интеграл выражается через интегралы вида , , и .

Что и требовалось доказать.

Пример

Умножим числитель и знаменатель на .

Ищем решение оставшегося интеграла в виде
.
Дифференцируем по x .

.
Умножая на , имеем
.
Сравнивая левую и правую части, находим значения коэффициентов.
2 A = 1 , A = 1/2 ;
B = 0 ;
D – A = – 1 , D = A – 1 = – 1/2 .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2015

Интегрирование иррациональных функций: способы и примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое — в дробной степени. Интегралы от таких функций с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы окончательно.

В подынтегральном выражении — различные дробно-рациональные функции

Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем. В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида

В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом — не по корнем. То есть корни отдельно, степени — отдельно.

В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ , . μ (или общий знаменатель, если эти числа дробные). Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n . Рассматриваемые интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:

Тогда каждая дробная степень «икса» выразится через целую степень «тэ» и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от «тэ».

Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в подынтегральном выражении — все, которые там находим:

Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.

Поэтому используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции .

Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции

Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера

Если дан интеграл иррациональной функции вида

то есть в подынтегральном выражении — корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера.

В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера.

1. Если x 1 , x 2 — действительные числа (не комплексные), то используется подстановка

(первая подстановка Эйлера).

2. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и a > 0 , то используется подстановка

(вторая подстановка Эйлера).

3. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и c > 0 , то используется подстановка

(третья подстановка Эйлера).

Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Используем первую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:

Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции .

Используем вторую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции .

(использовать третью подстановку Эйлера).

Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева

где m, n, p — рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.

Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.

1. Если p — целое число, то используется подстановка

где k — наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

2. Если — целое число, то используется подстановка

где s — знаменатель дроби p .

3. Если — целое число, то используется подстановка

где s — знаменатель дроби p .

Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные функции.

Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

Здесь p = -1 (целое число). Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку

Теперь сделаем следующую подстановку:

Подставляем и получаем:

Возвращаемся к переменной z :

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

Здесь m = 3 , n = 2 , , (целое число).

Cделаем промежуточную подстановку

Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:

Интегрируем и получаем:

Возвращаемся к переменной z :

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции .

— целое число.

Частный случай квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида

, (1)

где в знаменателе — квадратный корень из квадратного трёхчлена.

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы и .

Формула для нахождения первого из них:

(2)

Второй интеграл находится по формуле

(3)

Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид