Интеграл от уравнения с двумя переменными

Интеграл от уравнения с двумя переменными

VI .1. Вычисление двойного интеграла

Для функции двух переменных имеет место обобщение определенного интеграла — двойной интеграл, относящийся к кратным интегралам.

Рассмотрим в плоскости x 0 y замкнутую область D с границей L . Пусть непрерывная функция f ( x , y ) определена в области D . Произвольными линиями разобьем область D на конечное число n частей – площадок: . Одновременно будем обозначать через не только названия соответствующих площадок, но и их площади. В каждой из ∆ S_i (внутри или на границе) возь­ мем точку P_i ; получим n точек: , значения функции в которых . Составим сумму произве­ дений вида :

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f ( x , y ) в области D . Если f ≥ 0 в области D , то каждое слагаемое геометрически представляет собой объем малого цилиндра с основанием ∆ S_i и высотой f ( P_i ). Сумма всех V_i есть сумма объемов указанных элементарных цилинд­ ров, геометрически – объем некоторого «ступенчатого» тела.

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью функции f ( x , y ) для данной области D :

при различных способах разбиения области D на части ∆ S_i . Очевидно, при n →∞ максимальный диаметр площадок ∆ S_i стремится к нулю .

Теорема 6.1. Если функция f ( x , y ) непрерывна в замкнутой области D , то существует предел последовательности (6.2) инте­ гральных сумм (6.1) при условии, что максимальный диаметр площадок ∆ S_i стремится к нулю, а n →∞ . Этот предел один и тот же для любой последовательности вида (6.2), то есть он не зависит ни от способов разбиения области D на площадки ∆ S_i , ни от выбора точек P_i внутри площадок ∆ S_i

Этот предел (6.3) называется двойным интегралом от функции f ( x , y ) по области D и обозначается

Область D при этом называется областью интегрирования.

1. Вычисление двойного интеграла в декартовой система координат

Рассмотрим область D , лежащую в плоскости x 0 y и являющуюся правильной в направлении оси 0 y . Это означает, что всякая прямая, параллельная оси 0 y и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках N ₁ и N ₂.

Мы предположим, что в рассматриваемом случае область D ограничена линиями: причем , а функции φ₁( x ) и φ₂( x ) непрерывны на отрезке [ a ; b ]. Аналогично определяется область D , правильная в направлении оси 0 x .

Если область D является правильной как в направлении оси 0 x , так и в нап­равлении оси 0 y , то она называется просто правильной областью.

Пусть функция f ( x , y ) непрерывна в области D . Рассмотрим выражение

которое назовем двукратным интегралом от функции f ( x , y ) по обла­сти D . В этом выражении сначала вы­числяется внутренний интеграл, стоящий в скобках, причем интегрирование производится по y , а x считается постоянной величиной. В результате инте­грирования получится непрерывная функция от x :

.

Эту функцию мы интегрируем по x в пределах от a до b :

В результате получается некоторое постоянное число.

Теорема 6.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f ( x , y ) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области, то есть

Пусть правильная в направлении оси 0 x область D ограничена линиями , причем .

Очевидно, что в этом случае

Таким образом, для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного, в зависимости от вида области D или подынтегральной функции, либо с помощью формулы (6.5) , либо (6.6) .

Пример 6.1. Вычислить , если область D – прямоугольник, определяемый неравенствами и

Решение. Применим формулу (6.5), считая внутренний интеграл по переменной y :

Если область D является правильной в направлении обеих осей координат, то применимы обе формулы (6.5) и (6.6), следовательно,

Таким образом, повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования. Поэтому при вычислении двойного интеграла следует пользоваться той из двух формул, которая приводит к менее трудоемким выкладкам. Полезно для упражнения в вычислении повторного интегрирования рассматривать задачу о замене порядка интегрирования в двойном интеграле . При этом выполняется следующая последовательность действий:

1) чертят область интегрирования D , которая находится в полосе между прямыми x = a и x = b , при этом ограничена снизу линией y =φ₁( x ), а сверху – линией y =φ₂( x );

2) область D проектируют на ось 0 y и находят уравнения прямых y = c и y = d , ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D ;

Аналогичные выкладки производят при необходимости замены порядка интегрирования в двойном интеграле :

1) чертят область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми y = c и y = d , при этом ограничена слева линией x =ψ₁( y ), а справа – линией x =ψ₂( y );

2) область D проектируют на ось 0 x и находят уравнения прямых x = a и x = b , ограничивающих слева и справа полосу, в которой расположена область D ;

Примечание. В случае, когда какая-либо из этих границ состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбивается на части, а интеграл – на сумму интегралов по этим частям

Пример 6.2. Изменить порядок интегрирования .

2. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Для вычисления такого двойного интеграла применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область D имеет вид, изображенный на рисунке 6.2 (ограничена лучами φ=α и φ=β, где α β, и кривыми , т. е. является правильной: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу L не более чем в двух точках), то правую часть формулы (6.7) можно записать в виде:

Внутренний интеграл берется при постоянном φ и переменной r , при вычислении внешнего интеграла φ становится переменной.

Если полюс O лежит внутри области D , то каждый полярный радиус пересекает контур L в одной точке. При этом следует рассматривать .

Пример 6.3. Вычислить двойной интеграл , г де область D есть полукруг с центром в точке (3;0) и с радиусом, равным 3 (рис. 6.3) .

Переходя к полярной системе координат с помощью (6.8), получаем:

Примечание. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область D есть круг, кольцо или часть таковых. Уравнения линий, ограничивающих область D , также преобразуются к полярным координа­там

Решить двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла онлайн. Вы самостоятельно задаёте порядок интегрирования и пределы, которые могут представлять собой как прямоугольную область, так и заданную функционально. Высокая точность, аналитическое решение, общепринятые константы.

Решить двойной интеграл онлайн

Данный калькулятор по решению интегралов онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Решение двойного интеграла онлайн

Двойной интеграл

Двойной интеграл — это интеграл от функции двух переменных, который вычисляется в некоторой области переменных. Это может быть прямоугольная область (то есть границы области заданы и являюся постоянными числами), либо границы могут определяться неким функциональным выражением. В данном случае границы области интегрирования двойного интеграла задаются кривыми (графиками функций). Наш онлайн сервис вычисления интегралов позволяет решать двойные интегралы для обоих случаев. В физике и математике вычисление двойных интегралов является частым необходимым этапом в решении задач. Например, с помощью двойных интегралов вычисляется масса плоских фигур (при этом f(x,y) — подинитегральная функция — играет роль поверхностной плотности фигуры, которая зависит от координат точек фигуры).

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Основные определения, понятия, свойства.

Правила вычисления двойных интегралов в декартовой и полярной системах координат; тройных интегралов в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Приложения кратных интегралов.

Пусть в плоскости хоу задана замкнутая квадрируемая (имеющей площадь) область Dхоу, ограниченная линией l и включающая ее в себя, и задана функция f(x,y), определенная в этой области.

Диаметром области называется наибольшее из расстояний между точками области.

Шагом разбиения области на конечное число частей называется наибольший из диаметров областей деления. Обычно обозначают λ.

Определение двойного интеграла.

1) Разобьем область Dхоу на n элементарных не пересекающихся областей Δsi : Δs1, Δs2,…, , Δsn диаметрами d1, d2,…, dn соответственно.

4) Составим интегральную сумму: , которая вообще говоря зависит от способа разбиения области на части и от выбора точки Рi(ξi, ηi).

5) Если существует конечный предел частичных сумм при λ →0 (или числу разбиений n→∞, что равносильно), то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по заданной области Dхоу: .

Приложения двойного интеграла.

1) Если f(x,y) > 0 в области Dхоу, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), снизу – областью Dхоу, сбоку – цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными оси Oz, то есть: V = .

2) Если f(x,y) = 1 в области Dхоу, то двойной интеграл равен площади области D: S = .

3) Если μ(x,y) > 0 – плотность в каждой точке области Dхоу, то двойной интеграл равен массе пластинки D: m = .

Основные свойства двойного интеграла.

1) ± .

2) = С, где С – постоянная.

3) Если область интегрирования D состоит из двух (или более) непересекающихся частей D1 и D2, то = +.

4) Если m ≤ f(x,y) ≤ M в области D, то ms ≤ ≤ Ms, где s – площадь области D, m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D.

Вычисление двойных интегралов.

· Если область интегрирования D ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то

· Если область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией

.

Правые части приведенных формул называются двукратными (повторными) интегралами. Внешний интеграл всегда имеет переменными интегрирования константы, внутренний – в общем случае функции. Двойной интеграл вычисляется последовательным вычислением определенных интегралов от внутреннего интеграла к внешнему. Все табличные формулы интегрирования и методы вычисления неопределенных интегралов применимы для вычисления кратных интегралов (нахождения первообразных) с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница.

Рекомендации по вычислению кратных интегралов.

1) Необходимо изобразить область интегрирования.

2) У внешнего интеграла пределы всегда постоянные.

3) Вычисляя внутренний интеграл по переменной у (или х), переменную х (или у) считаем const.

4) Можно поменять порядок интегрирования: внешний вычислять по у, а внутренний – по х. Пределы интегрирования в этом случае меняются не формально, а из уравнений линий, ограничивающих заданную область.

5) Если области ограничены окружностями, то вычисления проще выполнять в полярной системе координат.

6) Все табличные формулы для неопределенного интеграла применимы для вычисления кратных интегралов.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по области D: треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(5;0), С(5;5).

Область ограничена прямыми: прямой АС (её уравнение у = х), осью ОХ (0 ≤ х ≤ 5) и

прямой х = 5 (0 ≤ у ≤ х).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области АВС (заштрихована), выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у.

.

Поменяем порядок интегрирования: во внешнем интеграле по у, во внутреннем – по х. Тогда 0 ≤ у ≤ 5, а у ≤ х ≤ 5.

От порядка интегрирования зависит трудоемкость вычислений.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл по области D: треугольник с вершинами в точках

Область ограничена прямыми: прямыми АС (её уравнение у = ), АВ (её уравнение у =- х — 2),

ВС(её уравнение х = 2).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области ΔАВС, выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у. Это рациональное решение.

Вычислим двойной интеграл по треугольной области ΔАВС, выбрав другой порядок интегрирования: во внешнем интеграле по y, во внутреннем – по x. Это не рациональное решение, так как область интегрирования D необходимо разбить на две области: D1 – ΔАВД и D2 –ΔАСД.

Для области D1: – 4 ≤ y ≤ 0, а x меняется от прямой АВ до прямой ВД, то есть – (-y – 2) ≤ х ≤ 2.

Для области D2: 0 ≤ y ≤ 1, а x меняется от прямой АC до прямой ВД, то есть – 4y — 2 ≤ х ≤ 2.

Отметим, что уравнения прямых АВ: у =- х – 2, АС: у = , ВС: х = 2 в этом случае разрешены относительно переменной у (х = f(y)).

Получим уравнения прямых АВ: х = –у – 2, АС: х = 4у – 2, ВС: х = 2

= + =

< отметим, что в отличие от первого варианта решения, здесь нужно вычислить два двойных интеграла>= ☺ Ответ тот же? Проверьте!

При переходе от прямоугольных декартовых координат (x,y) к полярным координатам (ρ,φ), связанным соотношениями , происходит преобразование двойного интеграла по следующей формуле: , где ρ – якобиан преобразования. Если область интегрирования D ограничена двумя лучами φ = α и φ = β, выходящими из полюса, и двумя кривыми, заданными функциями ρ = ρ1(φ) и ρ =ρ2(φ), то двойной интеграл вычисляется по формуле (полюс совмещен с О, полярная ось с Ох): .

Пример 3. Вычислить двойной интеграл по области D, заданной неравенствами: х2 + у2 ≤ -4х и у ≤ — х.

Решение. Построим область интегрирования.

Линия, заданная уравнением х2 + у2 = -4х, окружность (х + 2)2 + у2 = 4 радиуса R = 2 c центром в (-2,0).

Линия, заданная уравнением у = — х, прямая, проходящая через II и IV четверти.

Область интегрирования, соответствующая неравенствам, заштрихована на рисунке.

Перейдем к полярным координатам: ≤ φ ≤, полярный радиус меняется от 0 до окружности. Запишем уравнение окружности в полярной системе координат: . Тогда 0 ≤.

Подынтегральную функцию так же запишем в полярной системе координат .

Далее можем провести вычисления:

.

Заметим, что двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Тройной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области VOxyz (в пространстве R(3)) задана непрерывная функция u = f(x,y,z).

Определение тройного интеграла.

1) Разобьем область VOхуz на n элементарных не пересекающихся областей ΔVi : ΔV1, ΔV2,…, , ΔVn диаметрами d1, d2,…, dn соответственно.

4) Составим интегральную сумму: , которая вообще говоря зависит от способа разбиения области на части и от выбора точки Рi.

5) Если существует конечный предел частичных сумм при λ →0 (или числу разбиений n→∞, что равносильно), то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по заданной области VOхуz: , где dV=dxdydz – элемент объема.

Некоторые свойства тройного интеграла.

1) , где с – const.

2)

3) Если область интегрирования V состоит из двух (или более) непересекающихся частей V1 и V2, то = =

4) Если в области V f(x,y,z) ≥ 0, то и ≥ 0.

5) Если в области V f(x,y,z) ≥ φ(x,y,z), то и ≥.

6) Если в области V f(x,y,z) = 1, то , так как любая интегральная сумма имеет вид численно равна объему тела V.

7) Оценка тройного интеграла mV ≤ ≤ MV, где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) а области V.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов от внутреннего к внешнему. У которого пределы интегрирования всегда должны быть постоянными (const).

Пусть область интегрирования V – тело, ограниченное

непрерывные функции, проектирующиеся в область Dхоу,

боковая поверхность – цилиндрическая, образующие которой параллельны оси

oz, а направляющей является граница области Dхоу.

.

Если область интегрирования D хоу ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то .

Если область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией x = x1(х), справа непрерывной функцией x = x2(х), то .

Некоторые приложения тройного интеграла.

1) Если в каждой точке области V плотность тела μ(x,y,z)>0, то — масса тела.

2) Если в области V f(x,y,z) = 1, то — объем тела.

Пример 4. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной плоскостями: x + y + z = 2, z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Решение. Изобразим тело – это пирамида АВСД. Плотность тела в каждой точке – переменная величина, пропорциональная х. Изобразим бласть Dxoy – это треугольник. Замечание. Изображать тело бывает достаточно трудно, поэтому достаточно изобразить его проекцию.

Вычислим тройной интеграл, расставив пределы интегрирования: =

<подошли к вычислению двойного интеграла; расставим пределы интегрирования, зная проекцию тела на плоскость хоу – треугольник> =

.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются для упрощения вычислений тройных интегралов.

Если проекции тела на координатные плоскости – окружности, то проще тройной интеграл вычислять в цилиндрической системе координат.

Если тело ограничено сферами с центром в начале координат и конусами с вершиной в начале координат, то рациональнее вычисления выполнять в сферической системе координат.

Цилиндрическая система координат.

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,z) в цилиндрической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М’ (М’ – проекция точки М на плоскость хоу), φ – угол, образованный этим радиус-вектором с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), z – аппликата точки М. Эти три переменные (ρ,φ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (1): , причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, zR, якобиан преобразования равен как в полярной системе координат ρ.

Тогда .

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z = x2 + y2 + 1 и (2).

Решение. Изобрази тело, объем которого будем вычислять. Оно ограничено двумя параболоидами. Его проекция на плоскость хоу – окружность. Решая систему (3) , находим уравнение их пересечения на плоскости z = 2: . Радиус окружности R =1.

Запишем уравнения параболоидов в цилиндрической системе координат, используя формулы связи (1) и уравнения поверхностей (2 и 3): , и границы изменения переменных интегрирования: 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ 1;

V =

= .

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,θ) в сферической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М (ОМ), φ – угол в плоскости хоу, образованный проекцией радиус-вектора (ОМ’) с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), θ – угол в плоскости уоz от оси oz до ρ (положительное измерение угла по часовой стрелке). Эти три переменные (ρ,φ,θ) называются сферическими координатами точки М.

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (4): , причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, якобиан преобразования равен ρ2sinθ. Заметим, что уравнение сферы х2+у2+z2=R2 в сферических координатах имеет вид (подставьте координаты (4)): ρ = R.

Тогда .

Пример 6. Вычислить тройной интеграл, где V – шар,

Решение. Исходя из приложений, необходимо вычислить массу шара с переменной плотностью, изменяющейся в каждой точке по закону (смотри подынтегральную функцию): .

Так как область интегрирования – сфера, то вычисления выполним в сферических координатах (4):

=

= <заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке> =.

Пример 7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

области, лежащей внутри конуса.

Решение. Решим систему

2z2 = 2, z2 = 1, в нашем случае z ≥ 0, поэтому возьмем , z = 1. Тогда проекция тела на плоскость хоу – окружность x2 + y2 = 1, поэтому 0 ≤ φ ≤ 2π. Значения угла θ найдем из уравнения конуса z = , подставив в него сферические координаты:

tgθ = 1, поэтому и пределы изменения θ примут значения 0 ≤ . Сферический радиус меняется от нуля до сферы: 0 ≤ ρ ≤ , так как в сферических координатах уравнение сферы х2+у2+z2 = 2 имеет вид ρ = .

Далее вычисляем объем тела

= <заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке> = .