Интеграл пуассона для решения уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности. Интеграл Пуассона

Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

Составим дифференциальное уравнение:

Выражение называется оператором Лапласа.

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

и называется уравнением теплопроводности в пространстве.

В качестве частных случаев рассматривают:

— уравнение теплопроводности в стержне,

— уравнение теплопроводности на плоскости.

В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию и граничным условиям .

В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:

Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.

Интеграл Пуассона

Интегра́л Пуассо́на позволяет получить решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u0: u(R, φ) = u0(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: , где ∂D — граница шара D, а — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

где ωn — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , и доставляет экстремум функционалу

Предположим, что имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение (если минимизирует его) или уменьшать (если максимизирует).

Пусть — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию . Определим

Поскольку даёт экстремум для , то , то есть

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

Используя граничные условия на , получим

Отсюда, так как — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

Задача Коши для уравнения теплопроводности

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности отвечающее случаю . отсутствию источников. Задача Коши ставится так: найти функцию t), удовлетворяющую уравнению и начальному условию Задача Коши для уравнения теплопроводности Физический смысл задачи состоит в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по известной его температуре в момент времени . Считается, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, так что через нее тепло из стержня не уходит.

Предположи м, что достаточно гладкие функции, убываююте при х2 +t2 +00 настолько быстро, что сущ ествуют преобразования Фурье 2) законны операции дифференцирования Тогда, применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1) и условию (2), от задачи (1)-(2) перейдем к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (величина £ играет роль параметра). Решение задачи (5)-(6) имеет вид Ранее мы установили, что где преобразование Фурье функции .

Отсюда, полагая t = получаем Таким образом, в правой части равенства (7) стоит произведение преобразований Фурье функций Пользуясь теоремой о свертке, в силу которой равенство (7) можно представить в виде Левая часть формулы (8) есть преобразование Фурье (по аргументу х) искомой функции и(х, t) , так что формулу (8) можно переписать так: откуда, пользуясь выражением для свертки функций 4>(х) ие Л, имеем Полученная формула дает решение исходной задачи (1)-(2) и называется интегралом Пуассона.

В самом деле, можно доказать, что для любой непрерывной и ограниченной функции ipt), определяемая формулой (9), имеет производные любого порядка по х и по t при t > 0 и удовлетворяет уравнению (1) при t > 0 и Vx. Покажем, что функция удовлетворяет начальному условию . Положим Тогда так что откуда при получим так как Сформулируем следующий важный результат. Теорема 1. В классе ограниченных функций решение задачи Кош и (1)-(2) единственно и непрерывно зависит от начальной функции. Пример.

Найти решение задачи Коши Задача Коши для уравнения теплопроводности А Пользуясь формулой Пуассона (9), получаем Прообразуем интеграл в правой чести.

Имеем Сделаем замену переменного Тогда интефал в правой части последнего равенства примет вид Из формулы (и) (Здесь мы воспольэов опись тем, что получаем, что / Таким образом, решение поставленной задачи о предел и тся формулой Лелю видеть, что построен ноя функция u(x,f) удовлетворяет начальному условию (2′). Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что ата фуниция при удовлетворяет уравнение SautWtl. Из формулы Пуассона (9) следует, что тепло расоросграня ется вдоль стержня мгновенно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Действительно, пусть начальная температура ) положительна для и равна нулю вне этого отрезка. Тогда для последующего распределения температур получаем откуда видяо, что при сколь угодно малых t > 0 и сколь угодно больших |х| имеем tt(x,t) > 0. Это обьяс кяется неточностью теоретических предпосылок при выводе уравнения теплопроводности , не учитыва юших инерциальн ость движе ния молекул. Тем не менее, уравнение тепло про водности дает хорошее количественное согласование с опытом. Более точное описание процессов переноса тепла дается так называемыми уравнениями переноса. 2.1.

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности Функция входящая в формулу Пуассона (9), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Рассматриваемая как функция аргументов х, t, она удовлетворяет уравнению щ = а2ихх, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Фундаментальное решение имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Допустим, что начальное распределение ip(x) температур таково:

Тогда в силу (9) распределение температур и, в стержне будет иметь вид По теореме о среднем где имеем Переходя в последнем равенстве к пределу при е -* 0, получим Это означает, что функция G(x, t\ хо) представляет распределение температур в стержне в момент t > 0, если в начальный момент t = 0 в точке х = Хо имелся бесконечный пик температур (при е -* 0 функция 4>е<х) +оо), а в остальных точках стержня температура была равна нулю.

может быть приближенно реализовано следующим образом: в момент t = 0 к точке х = Хо стержня на очень короткий промежуток времени подносится узкое пламя очень высокой температуры (тепловой импульс плотности ср). Это начальное распределение температур описы вается так называемой 6 — функцией Дирака, обозначаемой символом 6(х — Хо).

Не являясь функцией в обычном смысле, б-функция определяется формально при помощи соотношений на любом интервале (а, Р), содержащем точку хо Основным свойством, определяющим б-функцию, является следующее: для всякой непрерывной функции f(x) Таким образом, фундаментальное решение G(x, t\xq) является решением уравнения теплопроводности в бесконечном стержне при начальном распределении температуры График функции G(x>t;xa) при в различных значениях t > Оимеетвид (рис. 1).

Кривые 1, 2, 3 соответствуют моментам времени • Рисунок показывает, каквыравнива-ется температура в стержне после теплового импульса. Решение Задача Коши для уравнения теплопроводности задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии можно рассматривать как результат суперпозиции температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов интенсивности у>(Л) в точке Л, приложенных в момент t = 0.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:

В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

0 \to g\left( t \right) — <\rm> \\ t > 0 \to — te^

Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

1 \\ \end \right.> \\ \end $» data-tex=»display»/>

Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1

Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:

Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

Найдем интеграл от левой границы:

Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.

Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:

Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.
Для этого рассмотрим два случая.

Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:

Найдем интеграл от правой границы:
(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)

После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂

Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:

Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞
В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.

Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.

Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:

Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.

Тогда в результате получим:

Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.

Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂