Интеграл с квадратным уравнением в знаменателе под корнем

Интегрирование иррациональных функций: способы и примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Рассмотрим интегралы от иррациональных функций, то есть функций, содержащих переменную (обычно икс) под корнем или, что то же самое — в дробной степени. Интегралы от таких функций с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и могут быть проинтегрированы окончательно.

В подынтегральном выражении — различные дробно-рациональные функции

Разберём интегралы, где в подынтегральном выражении переменная присутствует под корнем. В формально обобщённом виде речь идёт об интегралах вида

,

В примерах мы увидим, что переменная икс, присутствующая под корнем, присутствует там без степени. В примере 3 икс присутствует также в квадрате, но при этом — не по корнем. То есть корни отдельно, степени — отдельно.

В этом случае важное значение имеет наименьшее общее кратное чисел λ , . μ (или общий знаменатель, если эти числа дробные). Обозначим это наименьшее общее кратное (общий знаменатель) через n . Рассматриваемые интегралы от иррациональных функций можно найти, используя следующую подстановку:

Тогда каждая дробная степень «икса» выразится через целую степень «тэ» и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от «тэ».

Пример 1. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Преобразуем все корни икса в степени. Выписываем степени при иксе в подынтегральном выражении — все, которые там находим:

.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей этих чисел: 4.

Поэтому используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 2. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Используем следующую подстановку:

Подставляем и преобразуем:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти интеграл от иррациональной функции .

Пример 4. Найти интеграл от иррациональной функции

.

Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера

Если дан интеграл иррациональной функции вида

,

то есть в подынтегральном выражении — корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера.

,

В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера.

1. Если x 1 , x 2 — действительные числа (не комплексные), то используется подстановка

(первая подстановка Эйлера).

2. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и a > 0 , то используется подстановка

(вторая подстановка Эйлера).

3. Если x 1 , x 2 — комплексные числа и c > 0 , то используется подстановка

(третья подстановка Эйлера).

Пример 5. Найти интеграл от иррациональной функции .

Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Используем первую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:

Пример 6. Найти интеграл от иррациональной функции .

Используем вторую подстановку Эйлера:

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти интеграл от иррациональной функции .

(использовать третью подстановку Эйлера).

Интегралы от дифференциального бинома и подстановки Чебышева

,

где m, n, p — рациональные числа (целые или дробные), называются интегралами от дифференциального бинома. В примерах мы увидим, что в подынтегральных выражениях переменная икс присутствует не только под корнем: она под корнем, но ещё и в степени. В этом главное отличие рассматриваемых интегралов от тех, которые были рассмотрены в первом параграфе.

Чтобы найти такие интегралы, используются подстановки Чебышева.

1. Если p — целое число, то используется подстановка

,

где k — наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

2. Если — целое число, то используется подстановка

,

где s — знаменатель дроби p .

3. Если — целое число, то используется подстановка

,

где s — знаменатель дроби p .

Русский математик П.Л. Чебышев доказал, что только в перечисленных трёх случаях интеграл от дифференциальных биномов с рациональными показателями степени выражается через элементарные функции.

Пример 8. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

Здесь p = -1 (целое число). Чтобы избавиться от степени икса в скобках, сделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь сделаем следующую подстановку:

Подставляем и получаем:

Возвращаемся к переменной z :

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Пример 9. Найти интеграл от иррациональной функции .

Преобразуем корни в степени и избавимся от дроби:

.

Здесь m = 3 , n = 2 , , (целое число).

Cделаем промежуточную подстановку

:

.

Теперь, чтобы избавиться от дробной степени выражения в скобках, сделаем следующую подстановку:

.

Интегрируем и получаем:

.

Возвращаемся к переменной z :

.

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим:

.

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти интеграл от иррациональной функции .

— целое число.

Частный случай квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл от иррациональной функции вида

, (1)

где в знаменателе — квадратный корень из квадратного трёхчлена.

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы и .

Формула для нахождения первого из них:

(2)

Второй интеграл находится по формуле

(3)

Формулы (2 и (3) можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (1) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

После подстановки t = x – m в первом случае интеграл (1) приводится к интегралу (3), во втором – к интегралу (2).

Пример 11. Найти интеграл от иррациональной функции

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Произведя теперь подстановку

причём при интегрировании воспользовались формулой (3). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Найти интеграл от иррациональной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 12. Найти интеграл от иррациональной функции

Методы интегрирования иррациональных функций (корней)

Иррациональная функция от переменной – это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.

Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.

Важное замечание. Корни многозначны!

При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида , где – некоторая функция от переменной интегрирования . При этом следует иметь в виду, что . То есть, при t > 0 , |t| = t . При t 0 , |t| = – t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t 0 . Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний – к случаю t 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.

Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.

Далее, по возможности, мы будем применять первый подход, и следить за знаком подкоренных выражений.

Дробно-линейная иррациональность

Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
,
где R – рациональная функция, – рациональные числа, m₁, n₁, . m_s, n_s – целые числа, α, β, γ, δ – действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
, где n – общий знаменатель чисел r₁, . r_s .

Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной ( γ = 0 , δ = 1 ), или от переменной интегрирования x ( α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 ).

Вот примеры таких интегралов:
, .

Интегралы от дифференциальных биномов

Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .

В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.

Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Такие интегралы имеют вид:
,
где R – рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.

Рассмотрим эти методы более подробно.

1) Преобразование подынтегральной функции

Применяя формулу , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
,
где φ(x), ω(x) – рациональные функции.
Подробнее >>>

Далее выделяя целую часть у ω(x) и раскладывая остаток на простейшие дроби, получаем интегралы трех типов.

I тип

Интеграл вида:
,
где P_n(x) – многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

.
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A_i .
Подробнее >>>

II тип

Интеграл вида:
,
где P_m(x) – многочлен степени m .

Подстановкой t = ( x – α ) –1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.
Подробнее >>>

III тип

Здесь мы делаем подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B₁ = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
,
,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A₁t 2 + C₁ ,
v 2 = A₁ + C₁ t –2 .
Подробнее >>>

2) Тригонометрические и гиперболические подстановки

В некоторых случаях, применение тригонометрических и гиперболических подстановок приводит к более коротким вычислениям. Для их применения, с помощью линейной подстановки, квадратный трехчлен под знаком интеграла нужно привести к сумме или разности квадратов. Затем нужно применить одну из тригонометрических или гиперболических подстановок. Основные подстановки перечислены ниже. Более подробно они рассматриваются на странице:
Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Для интегралов вида , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
;
;
;

Для интегралов , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
;
;
;

И, наконец, для интегралов , a > 0 ,
подстановки следующие:
;
;
;

3) Подстановки Эйлера

Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x₁ – корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Эллиптические интегралы

В заключении рассмотрим интегралы вида:
,
где R – рациональная функция, . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.

Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
.

Пример

.
Здесь при x > 0 ( u > 0 ) берем верхний знак ′ + ′. При x 0 ( u 0 ) – нижний ′ – ′.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-04-2015 Изменено: 30-01-2018

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Содержание:

Интегрирование иррациональных функций.

Определение 1. Функция вида

Пример 1.
— рациональная функция переменных u и v, при этом:

п.1. Интегралы вида:

Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.

Пример 2.

Пример 3

п.2. Интегралы вида— интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z — интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).

Пример 4.

Пример 5.

п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).

Пример 6.

п 4. Интегралы вида , где — многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).

Пример 7.
После взятия производной:

Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.

Решив систему (3), получим :

(сравни с примером 5).

п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
— для первого интеграла,
— для второго,
— для третьего (см. § 23).

Пример 8.

Пример 9.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида .

Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:

• -у дробей находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через р;
• — проводят замену .

В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.

Пример:

Вычислить

Решение:

В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.

2. Интегралы вида .

Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:

1. 2. 3.

Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены

1. 2. 3. — которые позволяют избавиться от квадратного корня.

Пример:

Вычислить

Решение:

Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

(интеграл вычислен в п. 2а)

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

Понятие о неберущихся интегралах

Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:

• Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
• Линии второго порядка
• Полярные координаты
• Непрерывность функции
• Формула Тейлора и ее применение
• Интегрирование рациональных дробей
• Интегрирование тригонометрических функций
• Интегрирование тригонометрических выражений

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.