Интегральное уравнение энергии пограничного слоя

Интегральные уравнения пограничного слоя

Интегральные уравнения пограничного слоя

• Динамический пограничный слой при вынужденной конвекции определялся интегральным соотношением (VI1-13).Для естественной конвекции это соотношение должно быть дополнено элементами, учитывающими подъемную силу. Для единичного объема подъемная сила определяется величиной (IX-3), для текучего элемента высотой dx (вдоль вертикальной пластины), толщиной.

A (перпендикулярно пластине), а далее она> 6 (см. Рисунок IX-2), равной единице ширины n (всей пластины), подъемная сила может быть выражена следующим образом: по HDX-lgₓ-п — ^ е) ды. Да. Введем член, полученный в (VI1-13), учтем, что скорость вне пограничного слоя равна нулю, и используем dpldx-0 для получения интегрального уравнения пограничного слоя в виде свободной конвекции. =(IX-9） О, да.

В квантовой механике состояния различаются набором квантовых чисел и могут усредняться, например, по небольшим интервалам на шкале энергии. Людмила Фирмаль

Интегральное уравнение энергии пограничного слоя (VI1-38) не изменяется и имеет вид: О P =° Если вы знаете распределение скорости и температуры по толщине пограничного слоя, вы можете решить интегральную зависимость. Распределение температуры 0 по толщине ламинарного пограничного слоя должно иметь характеристики, показанные на рис. 3. 1X-2; Предположим, что у вас есть форма параболы вида: (Іх-и1）.

Где = Tw-T ^ — избыточная температура стенки. 6-толщина пограничного слоя. Распределение (IX-11) удовлетворяет следующим граничным условиям: =Owfor!/ =О, 0 = 0у = 6. Распределение скорости по пограничному слою должно иметь характеристики, показанные на рисунке. IX-2; скорость свободного движения жидкости вдоль вертикальной пластины равна нулю на стенке (y = 0) и внешней границе (y = 6), так как она распределена по всей толщине пограничного слоя.

• Среднее число нуссельта в пластине длины/можно определить таким же образом, как и в (IX-8). У-сус (іх-14）. Следует отметить, что результаты расчетов по формуле (IX-13) отличаются лишь на несколько процентов от результатов, полученных по точной формуле(IX-7).Формула (IX-13) завышает значение коэффициента теплоотдачи а по сравнению с формулой (IX-7). Для турбулентного пограничного слоя уравнение Эккерта [921] описывает распределение температуры и скорости по толщине пограничного слоя. Д⁼Ч1_Ш,/⁷] ⁽1Х’1⁵⁾ И затем (Іх-16.）.

Предположим, что распределение скоростей имеет форму параболы. (Л-Ф) 2. (Іх-12） Где WJ является любая функция с размерностью скорости. Распределение (IX-12) удовлетворяет следующим граничным условиям: для y = 0 wₓ= 0, для y = 6 wₓ= 0 При этих предположениях можно решить(IX-10). Если толщина пограничного слоя 6 формулы (IX-11) и (IX-12) одинаковы, то результатом решения интегральной зависимости (IX-9) и (IX-10) ламинарного пограничного слоя является[ 92] Нуₓ= 0. 508Rg⁰- ⁵ (0.9524-Rg) — ° — 2⁶Gr° ’ 2⁶. (Іх-13）.

Следующим, более огрубленным уровнем описания является статистическое описание, когда динамические состояния усредняются по ячейкам фазового пространства в классической механике. Людмила Фирмаль

Интегральные соотношения турбулентного пограничного слоя(IX-9)и решения(IX-10) были созданы Эккертом(92).Результатом этого решения является _2. Нуₓ= 0. 0295Gr2/ ⁵ — PR^ ^ 1⁵ / l +0. 494Prg2 ′ 3] (IX-17） Среднее значение числа нуссельта можно получить по формуле (IX-14). Переход от конвекции свободного воздуха к турбулентному течению в ламинарной области пограничного слоя происходит по критерию глашова порядка Grₓ= 10. В данной формуле все физические константы жидкости считаются постоянными независимо от температуры.

Поэтому, если разность температур Tw велика, эти джоули могут дать значительную погрешность. Для ламинарного пограничного слоя на изотермической вертикальной пластине был разработан метод, который может учитывать эффекты temperature. It предлагается, что все физические константы газа будут определены при следующей температуре 1921 года. Г = / Ж-0.38(/ да-М. (Іх-18）

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Нестационарная теплопроводность в полу бесконечном твердом теле.

Полубесконечным твердым телом можно считать большое тело с одной плоской поверхностью. Хорошим примером полубесконечного тела является земля. Если температура поверхности земли изменяется, тепло отводится в землю, и поскольку ее размеры можно считать бесконечными, температура зависит от расстояния от поверхности земли х и от времени т. е. в математической форме T=T(x,t). Основное уравнение для случая нестационарной теплопроводности в полубесконечном твердом теле упрощается и принимает вид

где координата х измеряется от поверхности. Начальное и
два граничных условия. Начальное условие записывается
следующим образом:Т(х, 0) = Т_о. Это означает, что в начальный момент времени t = О все полубесконечное твердое тело имеет постоянную температуру. Одно из граничных условий требует, чтобы температура материала на бесконечно большом расстоянии от поверхности оставалась постоянной по времени.

Диаграммы для решения задач нестационарной теплопроводности

Для тел простой геометрии, часто встречающихся в инженер­ной практике, были получены аналитические решения нестацио­нарного уравнения теплопроводности. Наибольшее практическое значение имеют тела трех видов:

1. Бесконечная пластина шириной 2L, для которой Т = Т (х, t), где координата х отсчитывается от средней плоско­сти пластины.

2. Бесконечно длинный сплошной цилиндр радиусом r₀, для которого Т = T(r, t).

3. Сплошной шар радиусом r₀, для которого T= T (r, t). Гра­ничные условия для всех трех тел аналогичны. Первое — это условие теплоизолированности в средней плоскости пластины, на оси цилиндра и в центре шара.

Второе граничное условие требует, чтобы тепловой поток с внешней поверхности твердого тела отводился жидкостью с тем­пературой T_∞ при коэффициенте теплоотдачи . Это граничное условие выражается математически следующим образом:

где индекс s относится к параметрам на поверхности твердого тела, а п — координата по нормали к поверхности тела.

Численные решения задач нестационарной теплопроводности

Вначале твердое тело делят на ряд ячеек. В центре каждой ячейки помещают воображаемый узел. Записывая баланс энергии для каждого узла, получают алгебраическое уравнение, выражающее температуру в рассматриваемом узле через температуры в соседних узлах, геометрические характеристики и теплофизические свойства материала. При решении нестационарных задач для каждого узла нужно дополнительно учесть аккумулирование энергии в материале. Эта аккумулированная энергия представляет собой возрастание внутренней энергии в узле, которое определяется термодинамической характеристикой материала, называемой удельной теплоемкостью.

Закон сохранения энергии для узла 0, расположенного между узлами 1 и 2, при отсутствии внутреннего тепловыделения можно выразить в виде: В нестационарной задаче учитывается скорость изменения внутренней энергии.

Уравнения сохранении массы, количества движения и энергии при ламинарном обтекании плоской пластины

уравнение сохранения массы

уравнение количества движения

уравнение сохранения энергии

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Приводимый ниже интегральный подход позволяет избавиться от проблем, возникающих при решении дифференциальных уравнений пограничного слоя в частных производных. Рассмотрим элементарный объем, который начинается на стенке и простирается в направлении оси у, выходя за пределы пограничного слоя . Причем он имеет толщину dx в направлении оси х и единичную ширину в направлении оси г. Для получения зависимостей для результирующего количества движения и результирующего количества энергии, вносимых в объем, поступим таким же образом, как и при выводе уравнений пограничного слоя в предыдущем разделе.

количество движения

интегральное уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя.

69. Расчет коэффициентов теплоотдачи и трения в ламинарном по­токе

Первым шагом в приближенном интегральном методе расчета является представление распределений скоростей и температур в виде степенных рядов — полиномов. При выборе коэффициентов этих рядов должны удовлетворяться граничные условия. Предположим, что распределение скоростей описывается степенным рядом из четырех членов:

Выбор коэффициентов проводим с использованием следующих
граничных условий: при у= 0:u = 0 и поэтому а = 0,u = v = 0, и поэтому из уравнения получаем
Эти граничные условия позволяют получить четыре уравнения для расчета четырех неизвестных коэффициентов в зависимости от скорости невозмущенного потока и толщины пограничного слоя

70.Аналогия между теплообменом и переносом количества движе­ния при турбулентном обтекании плоской пластины

Общий поток тепла, который переносится через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению средней скорости потока, можно записать в виде

Молекулярная теплопроводность + Турбулентный теплоперенос

А= Площадь Площадь

Эта зависимость впервые была предложена в 1874 г. английским ученым О. Рейнольдсом и называется аналогией Рейнольдса. Для турбулентного течения она вполне удовлетворительно описывает экспериментальные результаты и может применяться как к турбулентным пограничным слоям, так и к турбулентному течению в трубах или каналах. Однако аналогия Рейнольдса не подходит для ламинарного подслоя. Так как этот слой оказывает значительное термическое сопротивление тепловому потоку, то уравнение в целом не пригодно для получения количественных результатов. Лишь для жидкостей, у которых число Прандтля равно единице, его можно использовать непосредственно для расчета плотности теплового потока.

Интегральное уравнение энергии пограничного слоя

Вязкость оказывает существенное влияние на движение газа лишь в тонком его слое в непосредственной близости от поверхности обтекаемого тела. Пограничным слоем называют прилегающий к обтекаемому твердому телу слой жидкости, в котором величины сил внутреннего трения и сил инерции одного порядка.

Рис. 40. Сечение пограничного слоя, обтекающего криволинейную поверхность малой кривизны

Действующие в пограничном слое силы вязкости вызывают касательные напряжения, уменьшающие скорость частиц воздуха и вызывающие образование вихрей. Теория пограничного слоя создавалась и развивалась многими выдающимися учеными, такими как Л. Прандтль, Т. Карман, Л. Г. Лойцянский, Н. Е. Кочин, А. А. Дородницын и др.

Толщиной δ пограничного слоя считают расстояние от поверхности тела до точки, в которой скорость u_x отличается от скорости V_∞ внешнего потока менее чем на 1%. Если за исключением прилегающего к поверхности тела весьма тонкого подслоя в пограничном слое движение турбулентное, то пограничный слой считают турбулентным.

Пусть жидкость обтекает криволинейную поверхность малой кривизны. Для расположенного от начала координат на расстоянии х (рис. 40) элементарного участка ABDC пограничного слоя, имеющего ширину, равную единице длины, и длину dx, применим теорему импульсов.

В результате для установившегося течения в пограничном слое несжимаемой жидкости получим интегральное соотношение

где τ₀ — сила трения, отнесенная к единице площади.

В уравнение (49) входят три неизвестных (u_x, δ и τ₀). Поэтому для его решения необходимо знать зависимости ux(z) и τ₀(δ)

Рассмотрим продольное обтекание плоской пластины. На верхней границе пограничного слоя (при z = δ) скорость v_x = v_∞ = const, силы трения τ = 0 и (δu_x/δz) = 0. На нижней границе, у поверхности пластины (z = 0) скорость u_x = 0. Формула для касательного напряжения потока у стенки может быть получена на основании закона распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя

и формулы Ньютона

Совместно решив это уравнение с уравнениями (49) и (50), получим

где при х = δ = 0 величина С = 0. Тогда

Следовательно, толщина пограничного слоя обратно пропорциональна корню квадратному из произведения скорости невозмущенного потока U_∞ на плотность ρ и прямо пропорциональна корню квадратному из произведения длины x пластины на коэффициент вязкости μ.

Коэффициент трения плоской пластины для ламинарного пограничного слоя

Выражение (49) можно применить и к турбулентному пограничному слою. Распределение скорости в турбулентном пограничном слое, на основании опытных данных, может быть выражено степенным законом

Касательное напряжение турбулентного потока у стенки

В действительности передняя часть пластины обтекается ламинарным пограничным слоем, который затем переходит в турбулентный. Переход пограничного слоя от ламинарного к турбулентному зависит от турбулентности набегающего потока и шероховатости поверхности пластины и определяется критическим числом Re_Kp = 2• 10 5 -5•10 5 . При значительной шероховатости сила сопротивления трения не зависит от числа Рейнольдса и пропорциональна квадрату скорости.

В случае обтекания криволинейной поверхности продольный градиент давления (dp/dx)≠0, так как на верхней границе пограничного слоя u_x = var и давление, направленное вдоль течения пограничного слоя, изменяется. Тогда

С учетом уравнений (52) и (14) интегральное соотношение (49) примет вид

Толщину δ* вытеснения определяют как частное от деления интеграла во втором слагаемом левой части уравнения (53) на скорость на внешней границе пограничного слоя, т. е.

Введем в уравнение (53) значения δ* и

—толщины пограничного слоя потери импульса, получаемой делением на u₀ интеграла, входящего в первое слагаемое левой части уравнения (53). Тогда

Интегральное соотношение в безразмерном виде (уравнение Кармана) получают делением уравнения (55) на ϱu₀ 2 :

При обтекании криволинейной поверхности, например крыши автомобиля, скорость потока в точках, лежащих ниже по направлению его движения возрастает, достигая максимума в точке m (рис. 41), тогда как давление в той же точке достигает минимума.

Рис. 41. Схема отрыва пограничного слоя

В области за точкой m положительный градиент давления сообщает частицам жидкости ускорение, направленное в сторону, противоположную направлению скорости набегающего потока. Это может привести к отрыву пограничного слоя в некоторой точке п. У тел, имеющих плавные очертания и вытянутую по направлению потока форму, основную долю сопротивления составляет сопротивление трения, так как срывы потока будут иметь место лишь на небольших участках поверхности.

С увеличением размеров обтекаемого тела и скорости воздушного потока (при очень больших числах Re) менее ощутимо влияние вязкости. Коэффициент сопротивления воздуха не зависит от числа Re для тел, имеющих острые грани, которые постоянно являются местами срыва воздушного потока. Наоборот, у тел, имеющих закругленные формы, срыв потока не происходит в строго определенном месте, а имеет тенденцию к смещению в зависимости от изменения турбулентности потока.

Коэффициент сопротивления воздуха для таких тел может значительно отклоняться, так как изменение места срыва потока определяет и величину поперечного сечения отрыва, а следовательно, и величину вихревой зоны, от которой зависит сопротивление воздуха. Решающую роль при этом играет пограничный слой. Если он имеет ламинарный характер и, следовательно, находится в диапазоне меньших значений Re, то срыв потока происходит у максимального поперечного сечения тела.

Рис. 42. Кризисная зона шара

При определенном значении Re, называемом критическим числом Рейнольдса (Re_KP),. пограничный слой становится турбулентным. Такой слой, обладая большей кинетической энергией, более длительно прилегает к телу, поперечное сечение срыва становится меньше, соответственно снижается и сопротивление воздуха. Для таких тел с_x (Re) имеет две зоны:

зону больших значений коэффициента с_х сопротивления воздуха при малых значениях Re

зону малых значений с_х при больших значениях Re>Re_KР.

Между этими двумя зонами расположена зона значений Re, при которых величина коэффициента сопротивления воздуха резко изменяется. Эту сравнительно узкую область резкого изменения коэффициента с_х называют кризисной зоной. Очень типично такое явление для шара (рис. 42), у которого при увеличении Re от 1,5∙10 5 до 4∙10 5 происходит внезапное смещение места срыва потока, сопровождающееся снижением с_х с 0,48 до 0,09—0,11, т. е. почти в 5 раз. Аналогичное явление имеет место при обтекании воздушным потоком и других плохо обтекаемых тел.

В закритической зоне коэффициент сопротивления воздуха почти не изменяется с изменением числа Re, поэтому при испытаниях важно не попасть в критическую зону и провести эксперимент при числе Re, соответствую- щем закритической зоне.

При движении автомобилей на автострадах со скоростями 80—120 км/ч их числа Re, отнесенные к габаритной длине, Re= (7-12) • 10 6 , а при движении по городу со скоростями 20—40 км/ч составляют Re = (1,5-4)•10 6 . Для моделей автомобилей, выполненных в масштабе 1:5 и испытываемых при скоростях воздушного потока 10—60 м/с, коэффициенты лобового сопротивления (воздуха определяют при числе Re ≈ (0,5-3) 10 6 . Для моделей нижняя граница чисел Re доходит до критических зон, тогда как значения Re для автомобилей при всех условиях движения расположены в закритической зоне и коэффициент сопротивления воздуха почти не зависит от числа Рейнольдса.

Говоря о коэффициенте сопротивления воздуха, мы имели в виду коэффициент лобового сопротивления. Однако и другие аэродинамические коэффициенты изменяются при несимметричном воздушном потоке с изменением числа Re: чем больше угол натекания воздушного потока, тем ближе явление обтекания к происходящему в критической зоне. Однако в большинстве случаев можно обойтись без исследований зависимостей этих коэффициентов от чисел Re, так как критические зоны для них находятся в пределах, близких к Re_Kp для коэффициентов лобового сопротивления С_X. На рис. 43 в качестве примера приведены зависимости аэродинамических коэффициентов от числа Re для модели в 1/2 натуральной величины автомобиля «Москвич-407», по данным испытаний, проведенных в ГСХИ при различных углах натекания воздушного потока.

Торможение потока силами трения вблизи поверхности тела вызывает отрыв пограничного слоя, что увеличивает сопротивление воздуха. Устраняют такое нежелательное явление, увеличивая скорость вблизи поверхности, отсасывая заторможенный пограничный слой внутрь тела или сдувая этот слой струей вдоль поверхности тела в направлении потока.

У автомобиля срывы пограничного слоя проявляются чаще всего в хвостовой части. Известно несколько попыток соединения каналом крыши автомобиля и его хвостовой части в целях использования скорости потока в пограничном слое на крыше для увеличения энергии пограничного слоя в хвостовой части.

Рис. 43. Зависимость аэродинамических коэффициентов модели автомобиля «Москвич-407» от чисел Рейнольдса

Однако результат оказался прямо противоположным, т. е. воздух стремился двигаться от зоны более высокого давления (хвостовая часть) к зоне пониженного давления (крыша).

Наиболее целесообразным представляется использование охлаждающего воздуха из подкапотного пространства автомобиля и энергии отработавших газов. Например, охлаждающий воздух можно подавать на поверхность кузова позади обтекателей колес. Отработавшие газы можно выводить в задней части кузова тангенциально к его поверхности. Аналогичный эффект может быть достигнут при отсасывании заторможенного пограничного слоя. Этот способ уже был испытан в самолетостроении и дал положительные результаты.

Улучшить прилегание пограничного слоя пытались, применяя специальные направляющие крылья, но их собственное сопротивление полностью уничтожало достигнутый эффект.

Рис. 44. Уменьшение сопротивления воздуха образованием уступа («спойлера») в месте отрыва пограничного слоя

Отделению пограничного слоя можно воспрепятствовать, создавая движение поверхности в направлении потока.

Рис. 45. Две формы перехода от капота двигателя к крыше автомобиля

Однако практически это нецелесообразно по конструктивным соображениям. Значительного уменьшения сопротивления воздуха (до 5—10%) можно достигнуть, если создать уступ в месте отрыва пограничного слоя (рис. 44). Уменьшение сопротивления шара при установке на его поверхности турбулизирующего кольца подсказывает мысль о возможности создания подобных устройств на автомобилях. Возможность отрыва пограничного слоя может быть уменьшена, если применить ступенчатую форму кузова. Такая форма позволяет снизить толщину пограничного слоя. Так, незначительно уменьшается сопротивление воздуха для автомобиля, имеющего обтекатель в передней части (штриховая линия на рис. 45) по сравнению с обычной плавной, но ступенчатой формой (сплошная линия).

При изготовлении автомобильных моделей не всегда удается достаточно точно воспроизвести конфигурацию малых деталей.

Кроме того, отдельные выступающие части (например, фары), рассматриваемые как обдуваемые воздушным потоком самостоятельные тела, могут во время испытаний автомобилей находиться в докритической зоне более высокого сопротивления, так как их характерный размер по длине, для которого принято число Re, значительно меньше, чем для модели. Следовательно, опасность значительных погрешностей при испытании моделей автомобилей снизится, если выступающих частей будет как можно меньше.