Интегральной кривой уравнения dy 2xdx является

Дифференциальные уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого и второго порядка. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Страницы работы

Содержание работы

Тема 4. Дифференциальные уравнения

Лекция 4

Основные сведения

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции:

¨ одного переменного, называют обыкновенным дифференциальным уравнением;

¨ две или больше переменных, называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наибольший порядок производной или дифференциала, входящих в уравнение, называют порядком уравнения.

x 2 y¢ + 5xy = y 2 – обыкновенное диффренциальное уравнение первого порядка,

y¢¢ — 4xyy¢ = x 2 — обыкновенное диффренциальное уравнение второго порядка,

— уравнение в частных производных первого порядка,

Решением уравнения n-го порядка называют всякую функцию, имеющую на рассматриваемом промежутке производную порядка п и обращающую уравнение в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

которого задается в виде
Решение y = f(x,C), где С — произвольная постоянная, называют общим решением уравнения первого порядка и задает бесконечное семейство решений.

При фиксировании С получают частное решение.

Построенный на плоскости x0y график всякого решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Решение уравнения первого порядка в виде Ф(х,у,С) = 0, называют общим интегралом.

Задача Коши ставится следующим образом: найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(х₀) =y₀ , где х₀ и y₀ — заданные числа.

Теорема Коши

Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную , то решение дифференциального уравнения y¢= f(x, y) при начальном условии y(x₀) = y₀ существует и единственно.

Это означает, что надо найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y_0; через точку (x₀,y₀) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Решение. y¢ =, = sinx, dy=sinxdx, òdу = òsin xdx, y = — cos х + С .

При этом y₀(p/2) =1 имеем 1= — cos + С = 0 + C, откуда С = 1.

Таким образом, частным решением уравнения у’ = sin х является у = 1- cosx.

1. Дифференциальное уравнение с отделенными переменными

Алгоритм решения

Заменяя y¢ на и умножая на dx, получаем f(x)dx+g(y)dy=0.

Теперь для решения уравнения достаточно проинтегрировать полученное уравнение:

Если решить это уравнение относительно y, то получается равенство y = j(x) + C, правая часть которого есть общее решение дифференциального уравнения.

Решить уравнение 2x +

Заменяя y¢ на и умножая на dx, получаем:

Интегрируя , находим: откуда и .

Так как е С =const, то заменив е С через С₁, а затем снова записав С вместо С₁, запишем

общее решение: .

Находим общий интеграл: x 2 + y 5 + siny = C

Хотя выразить отсюда y через x и C мы не умеем, но все же считаем уравнение решенным.

2. Дифференциальное уравнение с отделяющимися переменными

Алгоритм решения

Заменяя y¢ на и умножая на dx, преобразуем уравнение к виду: f₁(x)×g₂(y)dx + f₂(x)×g₁(y)dy = 0

в котором переменные уже отделены.

Теперь для решения уравнения достаточно проинтегрировать полученное уравнение:

Однако встречаются дифференциальные уравнения, решением которых могут быть также постоянные функции у = а или х = b , если х = b или у = а являются корнями уравнения f₂(x)×g₂(y) = 0 . Эти решения могут не содержаться в интегральном уравнении ни при каких значения произвольной постоян­ной С. Тогда их называют особыми решениями. Так, например, функция y=(x+C) 2 является общим решением дифференциального уравнения y¢ 2 =4y. Однако это уравнение имеет еще особое решение y=0, которое не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С.

Решить уравнение 2xsinydx + (x 2 + 3)cosydy = 0

Разделив на (x 2 + 3) siny, получаем:

Интегрируя, находим , , ,

и окончательно общее решение .

3. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется такое дифференциальное уравнение, в которое неизвестные элементы y иy¢ входят в первых степенях, не перемножаясь между собой.

Разделив уравнение на A(x) и полагая , , придадим вид:

Алгоритм решения

Он основан на простом замечании, что любую величину h (переменную или постоянную) можно представить в форме произведения двух сомножителей h = u× v, причем один из них(например, v) можно выбирать по своему желанию (кроме v=0).

Решая v¢ + p(x)v=0, , отсюда и беря С=0 и понимая под какую-нибудь одну первообразную для , найдем сначала , а затем и саму функцию u. В результате получится v(х)=A(x), где A(x) какая-то (известная!) функция.

Тогда u¢A(x) = q(x) и, значит, , а u(х)=B(x)+C), откуда получаем:

Пример 6. Найти решение задачи Коши y¢ — y = e -х при условииy(0)=2, (т.е. y=2 при x=0)

1. Положим v¢ –v=0, тогда или и далее , lnv =xиv =e x
2. u¢v =e -х , u¢e x =e —x ,,du =e -2xdx, òdu =òe -2xdx,u=

Общее решение y=uv=()e x =

Подставляя y(0)=2, имеем -1/2+C=2, C=5/2 и решение задачи Коши имеет вид: y=.

Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Задача Коши позволяет выделить одно конкретное частное решение. Задача ставится так: найти решение у(х) уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(х₀) = y₀, y'(x₀) = y₁, где х₀, у₀, у₁ — заданные числа.

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Дифференциальные уравнения по-шагам

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

• Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
• Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
• Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
• Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
• Уравнения в полных дифференциалах
• Решение дифференциального уравнения заменой
• Смена y(x) на x в уравнении
• Другие

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте: