Интегральные преобразования для решения уравнений

Применение метода «интегральных преобразований » для решения уравнений параболического типа Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Труфанова Татьяна Вениаминовна, Веселова Елена Михайловна

In article the practical example of application of a method of integrated transformations for the decision of the equation of heat conductivity for the infinite round cylinder is resulted.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Труфанова Татьяна Вениаминовна, Веселова Елена Михайловна

Текст научной работы на тему «Применение метода «интегральных преобразований » для решения уравнений параболического типа»

Т.В. Труфанова, Е.М. Веселова

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

In article the practical example of application of a method of integrated transformations for the decision of the equation of heat conductivity for the infinite round cylinder is resulted.

Интегральным преобразованием с ядром

1Ы f (х1’х2′. ‘х„ К (Х1’Х2’. ‘Хт;Г1’Г2’. ‘Гт )х х dxjdx2. dxm (т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ -— + —K = 0. dr2 r dr a2

. Используя граничное условие (17) при r = r0,

придем к уравнению

Примем: K(r) = J01 ^r I, KM = 1rJB

r2 r2 = 2 Mm )]2 = \J2 (m).

Применив в интервале 0 Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Исследовательская работа «Интегральные преобразования и их применения в математике»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Математический аппарат теории интегральных преобразований дает возможность получить решение сложных задач в различных областях знаний. Широкое применение метод интегральных преобразований получил в теории дифференциальных и интегральных уравнений, специальных функций, в математической физике, в теории автоматического управления и цифровой обработке сигналов, а также в анализе временных рядов. Особенно активно интегральные преобразования используют для решения инженерно-технических задач электротехники, радиотехники, цифровой электроники и т.д.

Начало развития интегральных преобразований можно считать XIX век, так как в это время выходят важные научные труды знаменитых французских математиков Ж. Фурье «Аналитическая теория теплоты» (1822 г.) и П. Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» (1812 г.), в которых были изложены основные идеи интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

В дальнейшем интегральное преобразование Фурье применил в своей работе (1842 г.) по распространению волн знаменитый французский математик и механик О. Коши. Фундаментальные результаты по интегральному преобразованию Фурье в последующие годы были получены группой ученых: С. Бохнером, Н. Винером, Е. Титчмаршом, Г. Ламбой, И. Снеддоном.

Преобразование Лапласа нашло отражение в работах по интегрированию линейных дифференциальных уравнений, например, известна монография украинского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений» (1862 г.). Спустя десятилетия, метод интегрального преобразования Лапласа, основанный на теории комплексного переменного, использовался в работах английского математика О. Хевисайда (1892 г.) для решения технических и физических задач. В дальнейшем этот метод получил название «операционное исчисление» и интенсивно развивался в последующие годы, благодаря работам английского математика Т. Бромовича, который обосновал метод обращения интегрального преобразования Лапласа.

Развитие технического прогресса в XX веке привело к возникновению новых задач и как следствие новых методов их решения. Интегральные преобразования получают различные модификации и вариации для решения конкретных прикладных задач.

Развитие вычислительных средств и компьютерных программ символьной математики, таких как Maple, Matlab, Mathematica и MathCAD позволило применять интегральные преобразования в прикладных задачах без сложных выкладок.

Целью работы является исследование интегральных преобразований, более подробно – преобразований Фурье и Лапласа и их применения при решении дифференциальных уравнений.

Изучить научную литературу по данной теме;

провести исследование интегральных преобразований Фурье и Лапласа на предмет их применения в математике;

провести анализ достоинств и недостатков метода интегральных преобразований по сравнению с классическим методом решения дифференциальных уравнений.

Глава 1. Интегральные преобразования

1.1. Понятие метода интегральных преобразований

В математике и ее приложениях широкое распространение получил метод замены изучаемой функции некоторым ее преобразованием. Эти методы были успешно применены к решению дифференциальных и интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычислению интегралов. Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях.

Пусть функция определена на (в частности, a или b могут быть и ₎ . Интегральным называют преобразование, которое для функции ставит в соответствие новую функцию F ( u ), определяемую формулой

где K ( x , u ) – некоторая фиксированная функция, называемая ядром интегрального преобразования. Функцию называют оригиналом (прообразом) функции , а функцию — изображением (образом) функции .

Метод интегральных преобразований – это один из мощных методов решения дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных.

Суть метода заключается в следующем: искомой функции из класса функций < f > ставится в соответствие другая функция из класса функций < F >. Это соответствие можно записать так:

 [ f ] = F или (I)

В качестве закона соответствия Â выступает некоторый интеграл (отсюда и название – интегральное преобразование).

Преобразование, которым функция преобразовывается в функцию называется обратным преобразованием:

A -1 [ f ] = f или (II)

При этом само преобразование называется прямым. Для практического применения интегральных преобразований важно, чтобы прямое (I) и обратное (II) преобразования устанавливали взаимно-однозначное соответствие между классами функций — оригиналов < f > и их изображений < F >. При этом условии можно установить взаимно-однозначное соответствие между операциями на обоих классах функций.

Существуют различные виды интегральных преобразований: преобразование Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева и ряд других. Основной элемент, отличающий одно преобразование от другого – это ядро. Обычно ядро выбирают так, чтобы преобразование обладало определёнными заданными свойствами. Пределы интегрирования также зависят от вида преобразования. Если a и b – конечные величины, то преобразование называется конечным интегральным преобразованием. Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Обычно интегральное преобразование строится так, чтобы оно обладало определенными свойствами, которые позволяют заменить сложные операции над функциями-оригиналами из класса < f > простыми операциями над функциями-изображениями < F >.

Так, для многих известных интегральных преобразований операции дифференцирования функций из класса < f > соответствует умножение функции-образа F на независимую переменную. Благодаря этому обыкновенное дифференциальное уравнение для f преобразуется в алгебраическое для функций-изображений F .

Аналогична идея применения интегральных преобразований к уравнениям в частных производных. Дифференциальные операции по одной из переменных заменяются алгебраическим выражением. В преобразованном уравнении будет на одну переменную меньше. Затем решается более простая задача в образах.

К найденному решению этой задачи применяют обратное преобразование, в результате чего получается решение исходной задачи.

Схема метода интегральных преобразований.

1) Интегральное преобразование Â

2) Решение задачи в образах

3) Обратное интегральное преобразование Â -1

Функции-оригиналы обычно обозначаются строчными буквами ( f, g, u, v ), а их изображения — прописными (F,G,U,V) . Как показал анализ имеющейся учебной литературы, в ней не существует общепринятого обозначения для интегральных преобразований. Знак f ÷ F означает, что f является оригиналом F или F является изображением, есть и другие обозначения интегральных преобразований.

Определение. Преобразование, которое восстанавливает первоначальную функцию из преобразованной F ( и) называют обратным преобразованием : Â -1 [ F ] = f .

Обратное преобразование не всегда является интегральным.

Для каждого типа задач вид интегрального преобразования, его ядра, пределы интегрирования могут быть построены специальным образом (см. Приложение 1).

Существует общая теория интегральных преобразований. Рассмотрим более подробно интегральные преобразования Фурье и Лапласа.

1.2. Преобразование Фурье и его свойства

1.2.1.Основные понятия интеграла Фурье

Рассмотрим ряд Фурье периодической функции с периодом Т=2π

В формуле (1.1) выразим cos nx и sin nx через показательные функции по формулам Эйлера:

Подставляя эти значения в формулу (1.1) и производя соответствующие преобразования, получим:

Вводим следующие обозначения

и подставляем выражения для постоянных в формулу (1.2), получим

Формула (1.4) есть комплексная форма ряда Фурье.

В полученной формуле выразим коэффициенты и через интегралы, тогда

и называется комплексными коэффициентами Фурье для функции

Если функция f ( x ) периодическая с периодом T = 2 l , то ряд Фурье будет иметь вид

и ряд Фурье в комплексной форме будет выражаться формулой _, (1.8)

где вычисляется по формуле . (1.9)

В формуле (1.8) выражение называются гармониками, числа волновыми числами функции f ( x ).

Совокупность волновых чисел называют спектром. Если откладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек. [1]

При изучении рядов Фурье речь шла о представлении действительных периодических функций, определенных на всей числовой прямой (или на отрезке), тригонометрическим рядом вида

где — константа, обратно пропорциональная длине отрезка разложения.

Далее изучим интеграл Фурье, который можно считать обобщением ряда Фурье на случай периодической действительной функции, определенной на всей числовой прямой, при котором операция суммирования по дискретному параметру заменяется операцией интегрирования по непрерывному параметру .

Интеграл Фурье, впервые введенный в 1822 году Жан Батистом Жозефом Фурье в книге «Аналитическая теория тепла» для решения некоторых задач математической физики, в настоящее время широко используется в прикладной математике.

Пусть функция определена на бесконечном промежутке и абсолютно интегрируема на нем и пусть функция разлагается в любом интервале в ряд Фурье. Тогда имеет место разложение функции в ряд Фурье любого периода

Подставляя (1.11) в формулу (1.10), получим

Введём следующие обозначения: , , ,…, , _,

и подставим в равенство (1.12), получим

В формуле (1.13) переходя к пределу при , получим (1.14).

Формула (1.14) есть интеграл Фурье для функции f ( x ).

1.2.2. Действительная и комплексная формы интеграла Фурье

Рассмотрим интеграл Фурье функции f ( x ) , то есть формулу (1.14). Равенство (1.14) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства, раскрывая .

Подставляя это выражение в формулу (1.14) и вынося и за знаки интегралов, где интегрирование совершается по переменной t , получим

Каждый из интегралов по t , стоящий в скобках, существует, так как функция f ( x ) абсолютно интегрируема в интервале , следовательно, абсолютно интегрируемы и функции и .

Рассмотрим частные случаи формулы (1.15).

1) Пусть – четная функция, то есть .

В этом случае – функция четная, а – нечетная, получим

Формула (1.15) в этом случае примет вид

2) Пусть – нечетная функция, то есть

В этом случае – функция нечетная, а – четная и получим

Формула (1.15) в этом случае примет вид

В интеграле Фурье (1.14) в скобках стоит четная функция от , следовательно, она определена и при отрицательных значениях _. На основании сказанного формулу (1.14) можно переписать так

Рассмотрим, далее выражение, тождественно равное нулю:

Выражение, стоящее слева, тождественно равно нулю потому, что функция от , стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах от – М до +М равен нулю.

Умножим члены равенства (1.19) на и сложим с соответствующими частями равенства (1.18), тогда получим:

Правая часть в формуле (1.20) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f ( x ).

Перепишем формулу (1.20)

В формуле (1.22) называется волновым числом, спектр волновых чисел называют непрерывным спектром. Функцию называют спектральной плоскостью или спектральной функцией. [1]

В этом пункте мы познакомимся с тремя интегральными преобразованиями, которые связаны с представлением функции ее интегралом Фурье и имеют широкое применение в электротехнике и радиотехнике.

Если функция f ( x ) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке, то она представима своим интегралом Фурье, то есть в точках непрерывности функции f ( x ) имеет место равенство

Подставляя выражение для в интеграл Фурье, получим

Функция называется преобразованием Фурье или образом Фурье функции f ( x ), а формула (1.25) – обратным преобразованием Фурье. Формула (1.24) позволяет найти образ Фурье известной функции f ( x ), а по формуле (1.25) можно восстановить f ( x ) по ее образу Фурье . [1]

Замечание. Функцию называют также спектральной функцией или спектральной плоскостью функции f ( x ).

Если функция f ( x ) задана на промежутке и абсолютно интегрируема на нем, то ее можно представить интегралом Фурье, предварительно доопределив функцию на всю числовую ось четным или нечетным образом. В этом случае во всех точках непрерывности функции

f ( x ) будут иметь место равенства

Подставляя выражение для и в интеграл Фурье, получим

Функции и называются соответственно косинус – преобразованием Фурье и синус – преобразованием Фурье функции f ( x ), а формулы (1.26) и (1.27) – обратным косинус – преобразованием Фурье, обратным синус – преобразование Фурье соответственно.

1.2.3 Свойства преобразования Фурье

Тот факт, что функция является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов:

1) Теорема линейности.

Это свойство сразу следует из определения и линейности операции интегрирования.

2) Теорема подобия.

3) Теорема смещения.

Введя замену, получим

4) Теорема о свертке.

Сверткой абсолютно интегрируемых функций называется функция

Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на:

Так как по определению

то, выполнив во внутреннем интеграле замену получим

что и требовалось доказать.

5) Теорема об образе производной.

Пусть функция и ее производная абсолютно интегрируемы на промежутке. По формуле Ньютона – Лейбница

Так как производная интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при. Следовательно, существует конечный предел При этом, ибо в противном случае функция была бы неинтегрируемой на промежутке. Точно также доказывается, что

Введем в рассмотрение Фурье-образ производной

Выполнив интегрирование по частям, получим

Так как внеинтегральный член равен нулю, то

Таким образом, операции дифференцирования функции соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель.

Аналогично, если функция имеет абсолютно интегрируемые производные до n- го порядка включительно, то

1) Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.

2) Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.

1.3. Преобразование Лапласа

1.3.1 Основные понятия преобразования Лапласа

Определение. Функцией – оригиналом называется любая комплекснозначная функция действительного аргумента t , удовлетворяющая условиям:

1) интегрируема на любом конечном интервале оси t ;

2) для всех отрицательных t : ;

3) возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные и , что для всех t имеет место равенство . (1.28)

Например, показать, что функция является функцией оригиналом.

В самом деле, функция f ( t ) локально интегрируема, то есть

Условие 2) также выполнимо.

Простейшей функцией – оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда ( единичная ступенчатая функция , функция единичного скачка , включенная единица ) — кусочно-постоянная функция , равная нулю для отрицательных значений аргумента и единицы – для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения . Названа в честь Оливера Хевисайда .

Определение. Изображением функции по Лапласу называется функция комплексного переменного , определенная равенством

Преобразованием Лапласа называется преобразование, которое ставит в соответствие функции действительной переменной t функцию F ( p ) комплексной переменной p по формуле (1.30).

Если есть изображение функции , то пишут так: