Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Дифференциальные и интегральные уравнения, Вариационное исчисление в примерах и задачах, Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., 2005

Дифференциальные и интегральные уравнения, Вариационное исчисление в примерах и задачах, Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., 2005.

Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи с ответами для самостоятельной работы.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».

Основные понятия и теоремы.
В ряде случаев семейство у(х, С) решений дифференциального уравнения можно получить в виде формулы путем применения операции квадратуры. Для построения решения начальной задачи (7) (§1) нужно определить С из уравнения у(х_о, С) = y₀— Таким образом, существование и единственность решения задачи (7) можно выяснить непосредственно, не прибегая к теореме 1.

Скачать файл № 1 — pdf
Скачать файл № 2 — djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариационное исчисление

• Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука. 1978 (djvu)
• Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955 (djvu)
• Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950 (djvu)
• Будылин А.М. Вариационное исчисление. СПб.: СПбГУ, 2001 (pdf)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. М.-Л.: ГТТИ, 1934 (djvu)
• Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961 (djvu)
• Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (2-е изд.). М.: Наука, 1979 (djvu)
• Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление, задачи и упражнения. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: МГУ, 1930 (djvu)
• Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: АН СССР, 1962 (djvu)
• Лаврентьев М. Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. Том 1. Часть 1. Функции многих переменных. М.-Л.: ОНТИ, 1935 (djvu)
• Лаврентьев М. Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. Том 1. Часть 2. Функции многих переменных. М.-Л.: ОНТИ, 1935 (djvu)
• Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений, Ереван: АН АрмССР, 1979 (djvu)
• Трухаев Р.И., Хоменюк В.В. Теория неклассических вариационных задач. Л.: ЛГУ, 1971 (djvu)
• Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1966 (djvu)
• Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления (Численные методы). М.: Наука, 1973 (djvu)
• Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979 (djvu)
• Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969 (djvu)

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики), интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.