Интегральные уравнения с нелокальными условиями

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типа

На правах рукописи

Кириченко Светлана Викторовна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И

СМЕШАННОГО ТИПА

01.01.02 дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Самарском государственном университете путей сообщения на кафедре высшей математики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «СамГУ», Пулькина Людмила Степановна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, чл.-корр. АН РБ,

ГАНУ ИПИ АН РБ,

Сабитов Камиль Басирович доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «КФУ», Уткина Елена Анатольевна

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН г. Новосибирск

Защита состоится 5 декабря 2013 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.

Н.И.Лобачевского Казанского федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 35, НБ КФУ).

Автореферат разослан ноября 2013 г. и размещен на официальном сайте Казанского федерального университета.

Ученый секретарь совета Д 212.081. кандидат физ.-мат. наук, доцент Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, бурно развивающимся в последнее время, является теория нелокальных задач. Внимание к таким задачам обусловлено не только теоретическим интересом, но и практической необходимостью. К нелокальным задачам нередко приводит математическое моделирование ряда физических процессов, представляющих интерес для современного естествознания. К ним относятся процессы, происходящие в турбуленткой плазме, процессы теплопроводности, влагопереноса в капиллярно-пористых средах, волновые процессы в неоднородной среде.

Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для обоснования разрешимости нелокальных задач стандартные методы. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.

Большой интерес среди нелокальных задач представляют задачи с интегральными условиями. Такие условия могут возникать в ситуациях, когда граница области протекания реального процесса недоступна для непосредственных измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения.

При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

Среди первых работ, посвященных исследованию задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными, отметим статьи Дж.Кэннона (J.R. Cannon) Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specication of energy//Quart. Appl. Math.V.21.-є2.-P.155-160.

и Л.И. Камынина2, опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения теплопроводности с нелокальными по пространственной переменной интегральными условиями.

Систематическое исследование задач с нелокальными условиями для гиперболических уравнений началось в конце 20 века. Отметим здесь среди первых работ в этом направлении статьи Л.С.

Пулькиной3, A. Bouziani4, Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили5.

В последнее время возник интерес к постановке и исследованию нелокальных задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений. Отправной точкой исследования таких задач является статья Ф. Франкля6. Важный вклад в изучение нелокальных задач для уравнений смешанного типа внесли работы В.И. Жегалова, А.М Нахушева, Г.Д. Каратопраклиева, С.Н.

Глазатова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова.

Отметим, что в большинстве работ, посвященных нелокальным задачам с интегральными условиями, изучены задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для уравнений второго порядка.

Представленная диссертация содержит результаты исследований задач с нелокальными по временной переменной условиями для гиперболических уравнений второго порядка, уравнений Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условиями//Журнал вычислительной математики и математической физики.-1964.-Т.4.-№6.-С.1006-1024.

Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения//Дифференциальные уравнения.-2000.-Т.36.-2.-С.279-280.

Bouziani A. Strong solution to an hyperbolic evolution problem with nonlocal boundary conditions//Maghreb Math. Rev.-2000-V.9.-1-2.-p.71- Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды//Матем. моделирование.-2000.-Т.12.-1.-C.94-103.

Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике.-М.:Наука.1973.-324с.

смешанного типа, а также пространственно нелокальных задач для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.

Целью настоящей работы является разработка методов исследования разрешимости краевых задач с нелокальными по времени интегральными условиями для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также задач с нелокальными по пространственным переменным условиями для псевдогиперболического уравнения в цилиндрических областях.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева.

Научная новизна. В диссертации предложены методы исследования разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями, с помощью которых получены следующие новые результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость задач с интегральными условиями по временной переменной первого и второго рода для гиперболических уравнений.

2. Доказано существование единственного обобщенного решения задач с интегральными условиями по временной переменной для вырождающегося уравнения и уравнения смешанного типа.

3. Доказана однозначная разрешимость задач с интегральным нелокальным условием по пространственным переменным для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Основные результаты доложены на:

— научном семинаре “Неклассические задачи математической физики” под руководством доктора физико-математических наук, профессора Пулькиной Л.С. в Самарском государственном университете в 2010-2013 гг;

— Всероссийской научной конференции “Дифференциальные уравнения и их приложения” ( СамДиф-2009њ) (г. Самара, 2009);

— второй Всероссийской научно-практической конференции “Интегративный характер современного математического образования” (г. Самара, 2009);

— Всероссийской научной конференции с международным участием “Дифференциальные уравнения и их приложения” (г. Стерлитамак, 2011);

— восьмой Всероссийской научной конференция с международным участием “Математическое моделирование и краевые задачи”, посвящ нной 75-летию Ю. П. Самарина (г. Самара, 2011);

— международной научной конференции, посвящ нной 120-му юбилею Ст. Банаха (г. Львов, 2012);

— Воронежской зимней математической школе “Современные методы теории функций и смежные проблемы” (г. Воронеж, 2013);

— четвертой Международной конференции, посвященной 90летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, 2013);

— международной конференции “Дифференциальные уравнения и их приложения” (г. Белгород, 2013);

— XI Казанской летней школе-конференции “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (г. Казань, 2013).

Публикации. По теме дисертации опубликовано 12 работ, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Три работы: [5], [10], [11] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 93 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 130 страниц машинописного текста.

1 Основное содержание работы

Во введении приведен обзор литературы, связанной с темой диссертации, обоснована актуальность, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию нелокальных по времени задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений в области QT = <(x, t) : 0

||u||W (QT ) = ||u||L2(QT ) + ||ut||L2(QT ) + ||ux||L2(QT ).

Вводится понятие обобщенного решения задачи 1.2:

Определение 1.1. Обобщенным решением задачи 1.2 будем называть функцию v(x, t) W (QT ), удовлетворяющую условию v(x, 0) = 0 и для любой функции (x, t) W (QT ) тождеству в котором u(x, t) и v(x, t) связаны соотношением (1.7).

Введем следующие обозначения:

Теорема 1.1. Пусть Тогда можно указать такие соотношения между T, l, n0, p0, c0, max |ct(x, t)|, при выполнении которых задача 1.2 однозначно разQT решима.

Для доказательства теоремы строим последовательности приближенных решений задачи 1.2 из соотношений Показана сходимость этих последовательностей.Обоснована возможность предельного перехода при m в (1.9) и (1.10).

Далее доказывается теорема разрешимости задачи 1.1:

Теорема 1.2. Если выполняются условия теоремы 1.1, то п.в.

в QT существует единственное решение задачи 1.1.

Решающим фактором в доказательстве теоремы 1.2 явилось обоснование принадлежности обобщенного решения задачи 1. пространству W2 (QT ), что позволило вывести следующее равенство B(Lu f ) = 0, из которого следует, что u(x, t) решение уравнения (1.1). Выполнение условий (1.3), (1.4) следует из (1.10).

Во втором параграфе рассмотрена Задача 1.3. В области QT найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее граничным условиям (1.2) и нелокальным начальным условиям Функции Hi(t) заданы для всех t [0, T ].

Заметим, что (1.11) представляют собой нелокальные интегральные условия I рода. Как известно, такие условия вносят серьезные трудности в исследование разрешимости задач. Однако эти трудности можно преодолеть, если свести нелокальные условия I рода к нелокальным условиям II рода, следуя методу, предложенному Пулькиной Л.С. При исследовании задачи 1.3 это удалось сделать благодаря доказанному утверждению:

Лемма 1.1. Если H1(0)H2(0) H2(0)H1(0) = 0, функции Hi(t) C 2(QT ), то условия (1.11) эквивалентны нелокальным условиям второго рода (x, 0) = a u(x, T ) + b u (x, T ) M (x, t)u(x, t)dt + g (x), где u(x, t) удовлетворяет уравнению (1.1), H2(0)(H1(t)c(x, t) + H1 (t)) H1(0)(H2(t)c(x, t) + H2 (t)) H (0)(H1(t)c(x, t) + H1 (t)) H1(0)(H2(t)c(x, t) + H2 (t)) приходим к следующей задаче: найти в QT решение уравнения (1.1), удовлетворяющее граничным условиям (1.2) и нелокальным условиям Таким образом, задача 1.3 с интегральными условиями I рода сведена эквивалентными операциями к задаче 1.1, разрешимость которой доказана в §1.1.

В первой главе также предлагается другой метод обоснования разрешимости на примере задачи 1.4, а именно, метод регуляризации. Этот метод позволил доказать существование решения, принадлежащего пространству W2 (QT ), т.е. обладающего большей гладкостью, но в частном случае: ядра интегральных условий зависят только от t.

Задача 1.4.: Найти функцию u(x, t), удовлетворяющую в области QT уравнению с нелокальными условиями и граничными условиями Здесь b(x, t), c(x, t), f (x, t) известные функции, заданные при (x, t) QT, H1(t), H2(t) — известные функции, заданные на [0, T ].

Теорема 1.3. Пусть b(x, t), c(x, t) C(QT ), f (x, t) L2(QT ), ft(x, t) L2(QT ), Hi(t) L2[0, T ], тогда существует единственное решение задачи 1.4, принадлежащее пространству W2 (QT ).

Для доказательства теоремы 1.3 мы применили метод регуляризации, а именно: переходим к вспомогательной задаче 1.4 :

найти решение уравнения в области QT, удовлетворяющее условиям (1.14), (1.15), (1.16), где > 0 произвольное число. Разрешимость нелокальной задачи для уравнения (??) была доказана Р.Р. Сафиулловой. В предлагаемой работе получены оценки, позволившие перейти к пределу при 0 и таким образом обосновать разрешимость поставленной задачи.

Во второй главе в области QT рассмотрены нелокальные задачи для уравнения K(x, t)utt (a(x)ux)x + b(x, t)ut + c(x, t)u = f (x, t). (2.1) Функции K(x, t), a(x), b(x, t), c(x, t), f (x, t) предполагаются достаточно гладкими, a(x) > 0, K(x, 0) = 0.

Рассмотрены два случая: в первом K(x, t) неотрицательна в QT, во втором K(x, t) может менять знак в QT.

Задача 2.1. Найти в QT решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям Здесь предполагаем, что K(x, t) 0 в QT. Отметим, что K(x, t) может обращаться в нуль в любых внутренних точках.

Для исследования разрешимости задача 2.1 сведена к задаче с классическими начальными условиями для нагруженного уравнения относительно новой неизвестной функции Тогда vt(x, t) = u(x, t). Из условий (2.2) (2.4) получаем условия на v(x, t) :

Таким образом, приходим к Задаче 2.2: Найти функцию v(x, t), удовлетворяющую в QT уравнению и условиям (2.8), (2.9), (2.10).

Вводится понятие обобщенного решения задачи 2.2:

Определение 2.1. Функцию v(x, t) W2 (QT ) будем называть обобщенным решением задачи 2.2, если она удовлетворяет условию v(x, 0) = 0 и тождеству для всех функций (x, t) W2 (QT ).

Доказана Теорема 2.1. Пусть a(x), a(x), t), t(x, t), tt(x, t), c(x, t), ct(x, t) непрерывны в QT, K(x, t), Kt(x, t), Ktt(x, t), Kttt(x, t) непрерывны в QT, f (x, t) L2(QT ). Если Ktt(x, 0) t(x, 0) для (x, t) QT, то существует единственное обобщенное решение задачи 2.2.

Так как соотношение (2.6) однозначно определяет функцию u(x, t) через функцию v(x, t) можно заключить, что, если выполнены условия теоремы 2.1, то существует единственное решение задачи 2.1.

Окончательно доказывается Теорема 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то существует единственное обощенное решение задачи 2.1.

Во втором параграфе рассматривается задача для уравнения (2.1) в том случае, когда функция K(x, t) может менять знак произвольным образом в QT. Тогда (2.1) уравнение смешанного типа.

Задача 2.3. Найти в конечной области QT решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям:

В условии (2.19) функция H(t) задана в [0, T ] и выполнются условия: H(T ) = H(T ) = 0. Коэффициент K(x, t) таков, что K(x, 0) = K(x, T ) = 0.

Показана эквивалентность задачи 2.3 задаче для нагруженного уравнения:

Задача 2.4. Найти в области QT решение уравнения K(x, t)vtt (a(x)vx)x + b(x, t)vt + c(x, t)v+ если функция v(x, t) удовлетворяет условиям а функции u(x, t), v(x, t) связаны соотношением Здесь функции P (x, t, ), F (x, t) выражаются через заданные функции.

Доказана единственность решения задачи 2.4.

Теорема 2.3. Пусть c(x, t) C(QT ), ct(x, t) C(QT ), c(x, T ) 0, a(x) > 0, h

[7] Кириченко, С.В. Краевая задача для гиперболического уравнения с нелокальным по времени условием/С.В.Кириченко//Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева.Москва.2013.-С.203-204.

[8] Кириченко, С.В. Задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения/С.В.Кириченко//Сборник материалов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».Белгород.2013.-С.91.

[9] Кириченко, С.В. Нелокальная задача для псевдогиперболического уравнения/С.В.Кириченко//Сборник материалов XI международной Казанской летней научной школыконференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы».Казань.2013.-С.240.

[10] Кириченко, С.В. Об одной нелокальной задаче с нелокальными начальными данными для уравнения смешанного типа в прямоугольнике/С.В.Кириченко//Вестник СамГТУ.Сер.

[11] Кириченко, С.В. Задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения/С.В.Кириченко//Вестник СамГУ.-2013.-№6(107).-С.30Kirichenko, S. Boundary value problem with equation/S.Kirichenko//»International conference dedicated to the 120th anniversary jf Stefan Banach».Lviv.2012.-P.207-208.

«УДК 530.1 Тарасов Василий Евгеньевич МОДЕЛИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Специальность 01.04.02 Теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва-2011 Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Скобельцина. »

«ПАЛЮЛИН ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ МИЦЕЛЛООБРАЗОВАНИЯ И МИКРОФАЗНОГО РАССЛОЕНИЯ В ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ СИСТЕМАХ Специальность 02.00.06 Высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва — 2010 Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Научный руководитель : доктор. »

«Сидорова Мария Викторовна РЕДКИЕ РАСПАДЫ МЕЗОНОВ С НЕСОХРАНЕНИЕМ ЛЕПТОННОГО ЧИСЛА Специальность 01.04.02 теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2007 Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Научный руководитель : доктор. »

«Засухина Елена Семеновна Быстрое автоматическое дифференцирование в задачах оптимального управления Специальность 01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2007 Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук Зубов Владимир Иванович Официальные доктор. »

«ГАВРИЛОВ Алексей Андреевич ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И СЕТЧАТЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Специальности 02.00.06 высокомолекулярные соединения, 01.04.07 – физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова. »

«Хамадеев Марат Актасович Квантовоэлектродинамические эффекты в интенсивных лазерных полях и фотонных кристаллах Специальность 01.04.05 Оптика Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Казань 2011 Работа выполнена на кафедре оптики и нанофотоники ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Гайнутдинов Ренат Хамитович Официальные оппоненты : доктор. »

«Дорофеев Николай Юрьевич О свойствах задач и алгоритмов разметки точечных конфигураций Специальность 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена на кафедре математических методов прогнозирования факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного. »

«УДК 551.466.62 Колесов Сергей Владимирович ВЕРТИКАЛЬНОРАЗРЕШАЮЩИЕ МОДЕЛИ ГЕНЕРАЦИИ ЦУНАМИ Специальность 25.00.29 – Физика атмосферы и гидросферы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – Работа выполнена на кафедре физики моря и вод суши физического. »

«Смагин Михаил Александрович ИЗМЕРЕНИЕ ПОЛЕЙ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ МЕДИЦИНСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ МЕТОДАМИ АКУСТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ И ОПТИЧЕСКОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ Специальность 01.04.06 – акустика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2007 Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (МГУ). Научный руководитель : кандидат физико-математических наук. »

«Дымарский Анатолий Яковлевич Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля Специальность 01.04.02 – теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2006 Работа выполнена на физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова, г. Москва. Научный. »

«МУТИНА Альбина Ришатовна ВН УТРЕННИ Е ГРАДИ ЕН ТЫ МАГНИ ТНОГО ПОЛЯ В ПОРИС ТЫ Х СРЕДАХ: Э КСПЕРИМ ЕН ТАЛЬНО Е ИССЛ ЕДОВАНИ Е Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань 2007 Работа выполнена на кафедре молекулярной физики. »

«Сонькин Дмитрий Михайлович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИСПЕТЧЕРСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТАКСОПАРКОМ НА БАЗЕ МУЛЬТИКАНАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ТЕРМИНАЛОВ Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Томск – 2010 2 Работа выполнена в ГОУ ВПО Национальный исследовательский Томский политехнический университет Научный. »

«КОНОВ ДМИТРИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА НА РАСПЫЛЕНИЕ И СОСТАВ ПОВЕРХНОСТИ НИКЕЛЯ И ЕГО СПЛАВОВ Специальность 01.04.04. – физическая электроника АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2008 1 Работа выполнена на кафедре физической электроники физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова Научные руководители: кандидат физико-математических наук Шелякин Лев. »

«УДК 621.386.26. Широбоков Сергей Валентинович Импульсная рентгеновская трубка для 100 — см рентгеноэлектронного магнитного спектрометра. Специальность: 01.04.01 – приборы и методы экспериментальной физики. АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Ижевск – 2003 2 Работа выполнена на Кафедре физики поверхности Удмуртского государственного университета. Научный руководитель : доктор технических наук, профессор Трапезников В.А. Официальные. »

«Топовский Антон Валерьевич Построение точных решений с функциональными параметрами (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений методом -одевания 01.04.02 – Теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск – 2011 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Новосибирский Государственный Технический Университет на кафедре прикладной и теоретической физики физико-технического. »

«Ириняков Евгений Николаевич ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ОСНОВНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ИОНОВ ПЕРЕХОДНЫХ ГРУПП И РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Специальность: 01.04.05 – оптика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2007 2 Работа выполнена на кафедре теоретической физики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина. »

«. УДК 517.95 Амбарцумян Ваграм Эдвардович Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва –. »

«Софронов Владимир Михайлович Исследование физических свойств ВТСП купратов в рамках модели сверхпроводящего спаривания с отталкивательным взаимодействием Специальность 01.04.10 – физика полупроводников АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва. 2007 Работа выполнена на кафедре квантовой физики и наноэлектроники Московского государственного института электронной техники (Технического Университета). Научный руководитель . »

«Гадиров Руслан Магомедтахирович Экспериментальное и квантово-химическое исследование фотопроцессов в замещенных кумарина 02.00.04 – физическая химия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Томск – 2007 Работа выполнена на кафедре физической и коллоидной химии химического факультета и в отделении Фотоника ОСП СФТИ ТГУ в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Томский государственный университет. »

«Рахматуллин Джангир Ялкинович ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ВЫПУКЛЫМ ОБЛАСТЯМ РЕШЕТЧАТЫМИ КУБАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 01.01.07 вычислительная математика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Красноярск 2006 Работа выполнена в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Марат. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдопараболического и смешанного типа Кириченко Светлана Викторовна

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Кириченко Светлана Викторовна. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдопараболического и смешанного типа: диссертация . кандидата физико-математических наук: 01.01.02 / Кириченко Светлана Викторовна;[Место защиты: Казанский государственный университет им.В.И.Ульянова-Ленина].- Казань, 2013.- 126 с.

Содержание к диссертации

Глава 1. Краевые задачи с нелокальными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа 23

1.1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода

1.2 Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода 37

1.3 Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода 55

1.4 Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа 59

Глава 2. Задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического и псевдоги перболического уравнения 65

2.1 Задача с нелокальным интегральным условием второго рода для гиперболического уравнения 65

2.2 Нелокальная задача для псевдогииерболического уравнения в цилиндре 79

2.3 Нелокальная задача для исевдогиперболического уравнения в параллелепипеде 97

Введение к работе

Актуальность темы. Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, бурно развивающимся в последнее время, является теория нелокальных задач. Внимание к таким задачам обусловлено не только теоретическим интересом, но и практической необходимостью. К нелокальным задачам нередко приводит математическое моделирование ряда физических процессов, представляющих интерес для современного естествознания. К ним относятся процессы, происходящие в турбуленткой плазме, процессы теплопроводности, влагопереноса в капиллярно-пористых средах, волновые процессы в неоднородной среде.

Большой интерес среди нелокальных задач представляют задачи с интегральными условиями. Такие условия могут возникать в ситуациях, когда граница области протекания реального процесса недоступна для непосредственных измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

Среди первых работ, посвященных исследованию задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными, отметим статьи Дж.Кэннона (J.R. Cannon) 1

1 Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy//Quart. Appl. Math.-1963. -V.21.-e.2. -P. 155-160.

и Л.И. Камынина 2 , опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения теплопроводности с нелокальными по пространственной переменной интегральными условиями.

В большинстве первых работ рассмотрены задачи для уравнений параболического и эллиптического типов. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали объектом исследованием несколько позже, но в настоящее время активно изучаются. Систематическое исследование задач с нелокальными условиями для гиперболических уравнений началось в конце 20 века. Отметим здесь среди первых работ в этом направлении статьи Л.С. Пулькиной 3 , A. Bouziani 4 , Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили 5 .

В последнее время возник интерес к постановке и исследованию нелокальных задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений. Отправной точкой исследования таких задач является статья Ф. Франкля 6 . Важный вклад в изучение нелокальных задач для уравнений смешанного типа внесли работы В.И. Жегалова, А.М Нахушева, Г.Д. Каратопраклиева, С.Н. Глазатова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова.

2 Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условия-ми//Журнал вычислительной математики и математической физики.-1964.-Т.4.-№6.-С. 1006-1024.

3 Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения//Дифференциальные уравнения.-2000.-Т.36.-2.-С.279-280.

4 Bouziani A. Strong solution to an hyperbolic evolution problem with nonlocal boundary conditions//Maghreb Math. Rev.-2000-V.9.-l-2.-p.71-84

5 Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний сре-ды//Матем. моделирование.-2000.-Т.12.-1.-С.94-103.

е Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике.-М.:Наука. 1973.-324с.

Целью настоящей работы является разработка методов исследования разрешимости краевых задач с нелокальными по времени интегральными условиями для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также задач с нелокальными по пространственным переменным условиями для псевдогиперболического уравнения в цилиндрических областях.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева.

Научная новизна. В диссертации предложены методы исследования разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями, с помощью которых получены следующие новые результаты:

Доказана однозначная разрешимость задач с интегральными условиями по временной переменной первого и второго рода для гиперболических уравнений.

Доказано существование единственного обобщенного решения задач с интегральными условиями по временной переменной для вырождающегося уравнения и уравнения смешанного типа.

Доказана однозначная разрешимость задач с интегральным нелокальным условием по пространственным переменным для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Основные результаты доложены на:

научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» под руководством доктора физико-математических наук, профессора Пулькиной Л.С. в Самарском государственном университете в 2010-2013 гг;

Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (кСамДиф-2009н>) (г. Самара, 2009);

второй Всероссийской научно-практической конференции «Интегративный характер современного математического образования» (г. Самара, 2009);

Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Стер-литамак, 2011);

восьмой Всероссийской научной конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», посвящцнной 75-летию Ю. П. Самарина (г. Самара, 2011);

международной научной конференции, посвящцнной 120-му юбилею Ст. Б анаха (г. Львов, 2012);

Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2013);

четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, 2013);

международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Белгород, 2013);

XI Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г. Казань, 2013).

Публикации. По теме дисертации опубликовано 12 работ, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Три работы: [5], [10], [11] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-

Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода

Отметим, что большинство работ, посвященных нелокальным задачам, содержат результаты исследования задач с нелокальными по пространственным переменным интегральными условиями. В предлагаемой диссертации первая глава посвящена изучению нелокальных по времени задач. Результаты исследований в этом направлении отражены в работах А. А. Керефова [28], J. Chabrowski [91, 92], В.В. Шелухина [87], А.И. Кожанова [39], Д. Г. Гордезиани , Г. А. Авалишвили [14, 15], Б.Е. Кангужина [26], Г.А. Лукиной [50, 51], Н.Р. Пинигиной [65], A.M. Кузь, Б.И. Пташник [48] и других авторов. Заметим, что основное внимание авторов упомянутых работ посвящено исследованию задач для параболических и псевдопараболических уравнений. В представленной диссертации изучены нелокальные по времени задачи для гиперболических уравнений.

Также в данной работе представлен качественный анализ нелокальных задач для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа в прямоугольной области.

Возникшая в начале двадцатого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа положено в работах Ф. Трикоми [85], где впервые поставлены и исследованы задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ф. Франкль [86] обнаружил приложение задачи Трикоми в теории сопел Лаваля и в других разделах тран сзвуковой газовой динамики. Классические задачи для этих уравнений систематизированы в монографиях [84, 78].

Одним из современных направлений исследования задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений являются нелокальные задачи, отправной точкой которых является статья Ф. Франкля ([86], стр. 449 — 458). Важный вклад в изучение таких задач внесли работы В.И. Жегалова [19, 20], Л.С. Пулькиной [75, 76], С.Н. Глазатова [13], Е.И. Моисеева [56], К.Б. Сабитова [78, 79, 80] и других авторов.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию разрешимости нелокальных по пространственным переменным задач для гиперболического и псевдогиперболического уравнения.

Краевые задачи для уравнений Соболевского типа высокого порядка изучаются в настоящее время многими авторами. Отметим монографию [46] и статьи [11, 12, 47, 64, 42], в которых основное внимание уделено псевдогиперболическим уравнениям с классическими начально-краевыми условиями.

Псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарных внутренних волн в стратифицированных и во вращающихся жидкостях, при описании процесса движения электронов в системе «сверхпроводник — диэлектрик с туннельной проводимостью — сверхпроводник», в теории упругости (задача о продольном колебании упруго-вязкого неоднородного стержня).

Некоторые нелокальные краевые задачи для псевдогиперболических уравнений изучены в работах [2, 7, 53, 54]. Отметим, что в большинстве работ, посвященных нелокальным задачам с интегральными условиями, изучены задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для уравнений второго порядка. Однако исследования нелокальных задач выявили их тесную связь с обратными задачами, условия переопределения в которых заданы в виде интеграла по неременной времени, в связи с чем возрос интерес и к прямым задачам с нелокальными по времени условиями. Обратные задачи с условием переопределения в интегральном виде рассмотрены в работах [24, 25, 8, 9, 3, 45].

Исследования задач с нелокальными условиями выявили их связь с задачами для нагруженных уравнений, которые наиболее точно описывают многие теплофизические и диффузионные явления: процессы фильтрации, механику вязкоупругости, а также возникают при изучении нелинейных уравнений, задач управления, обратных задач для уравнений теплопроводности и массопереноса, численного решения краевых задач. Отметим только, что особый вклад п исследование нагруженных уравнений внес A.M. Нахушев. В монографиях A.M. Нахушева [59, 60] приведен полный обзор работ, посвященный нагруженным уравнениям, установлена их тесная связь с нелокальными задачами для уравнений с частными производными, предложен способ решения краевых задач для дифференциальных уравнений, который состоит в замене уравнения специальным образом подобранным нагруженным дифференциальным уравнением такого же типа и порядка.

Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа

Доказательство. Пусть u(x,t) — решение задачи 1.2(a). Покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2.1 это решение принадлежит пространству W22(QT)- МЫ опять можем воспользоваться известным для более общего уравнения результатом, утверждающим, что при сформулированных условиях решение первой начально-краевой задачи имеет производныеuu,uxt Є — (Qr) ([49], с.216). Покажем, что существует и ихх Є 1/г(Ог)- Тождество, определяющее обобщенное решение задачи 1.2(a) запишем так:

Нелокальная задача для псевдогииерболического уравнения в цилиндре

Таким образом, мы пришли к динамическим нелокальным условиям. Условия (III) могут иметь более простой вид, если учесть свойства функций Ki(x,t). Например, если Kix(l,t) = Kjx(0,t) = 0, то Aij(t) = Bij(t) = 0. Если Kixx(x,t) = 0, то в условии отсутствует интеграл, содержащий utt(x,t). Приведенные рассуждения и проделанные преобразования послужили обоснованием постановки задачи, которая рассмотрена в этом параграфе. В области Qx = S1X (О, Т), где Г2 С В? — ограниченная область с гладкой границей д$1, рассмотрим уравнение Определение 2.2. Обобщенным решением задачи 2.2 будем называть функцию u(x,y,t) Є W(QT), удовлетворяющую условию и(х, у,0) = ср(х.у) и тождеству (2.22) для любой функции v(x,y,t)eW(QT).

Теорема 2.2. Если f(x,y,t) Є L2(QT), р(х,у),ф(х,у) Є W(fl), c(x, у, t) Є C(QT), K(, rj, x, y, t) непрерывна в области определения и интегрируема с квадратом по QT для почти всех (ж, у) Є Q, то существует единственное обобщенное решение задачи 2.2.

Рассмотрим полную в W%(Q,l) систему линейно независимых функций kxLl, wk(x,y) Є C2(Q). Будем искать приближенное решение задачи 2.2 в виде

Это означает, что система (2.29) разрешима относительно старших производных, следовательно, задача Коши (2.30) — (2.31) имеет единственное решение c\(t), . cm(t) для Vm є N. Таким образом, последовательность ит<х, у, t) приближенных решений построена. Покажем теперь, что эта последовательность ограничена в пространстве W(QT). Умножим (2.29) на dAt) , просуммируем и проинтегрируем по t:

Так как константа в правой части (2.35) ис зависит от т, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу и (ж, у, і) є W iQr) Покажем, что u(x,y,t) есть обобщенное решение задачи 2.2.

Условие (2.20) будут выполнены в силу слабой сходимости в W(QT) <ит(х, у, )>к и(х, у, t), которая означает, что ит(х, у, 0) — -Ыр(х,у).

Покажем, что предел выделенной подпоследовательности удовлетворяет тождеству (2.22). Умножим (2.29) на функцию hj(t) Є Є C1(QT), такую, что hj(T) = 0, просуммируем по і (от 1 до тп) и проинтегрируем по і от 0 до Т.

Обозначим совокупность таких функций г)(х, у, t) через 0т. В (2.36) перейдем к пределу при фиксированной функции rj(x,y,t) Є вт. Это приведет к тождеству (2.22) для предельной функциии(х, у, t). Так как совокупность всех функций rj(x,y,t) плотна в W(QT), ТО полученное тождество выполнено для любой v(x,y,t) Є W

В области Пг найти решение уравнения (2.19), удовлетворяющее начальным условиям (2.20) и нелокальным условиям v і Uxttih У, t) + aux(l, y,t) + J J К(1, у, , ц, )«(, г/, t)ddr) = 0, о о V і Uxtt(0, У, t) + аих(0, у, t) + f J К(0, у, , V, t)u(t, V, t)ddr) = 0, о о Р і uytt(x, р, i) + buy(x, p,t) + J J К(х,р, , 77, t)u(, rj, t)ddrj = 0, о о Р і иуи(х, О, t) + buy(x, 0, t) + / / К(х, 0, , 77, i)u(, 77, t) d?7 = 0. (2.37) о о Так как граница DQ, не гладкая, то мы не можем сослаться на полученные в параграфе 2.2 результаты. Это связано с тем, что неравенство из [49, стр. 77] /flM) /(V») + «)/A, an п п которое использовано в 2.2, выведено в предположении гладкости границы дії. Однако, как будет показано ниже, задача с нелокальными условиями для псевдогиперболического уравнения в параллелепипеде однозначно разрешима. Введем понятие обобщенного решения задачи 2.3, пользуясь той же процедурой, что и в параграфе 2.2. Определение 2.3. Обобщенным решением задачи 2.3 будем на 98

Нелокальная задача для исевдогиперболического уравнения в параллелепипеде

Заметим, что неравенство -й — 1 выполняется в силу усло вия теоремы 1.1. Остается только убедиться в том, что множество функций, для которых это неравенство выполняется, не пусто. Для этого приведём пример. т Пусть с(х, t) = If A, K(t) = 2 f(T — т) sin dr. Тогда c0 = 1/4, t К = t — Т. Непосредственными вычислениями получим &о — ті» Положим Г = 1. Тогда сх = 3/2, е3/2 « 4.48. Н&±) « 1. Теорема 1.2. Если выполняются условия теоремы 1.1, а так-о і же (р(х) ЄІУ2 (0J0 ТО обобщенное решение задачи 1.2 u(x,t) Є

Действительно, пусть и(х, t) — решение вспомогательной задачи 1.2.(а), где функция ф(х) в начальном условии есть решение операторного уравнения (1.14). Тот факт, что u(x,t) —- решение задачи 1.2.(а), означает, что для любой функции v(x,t) Є W%(QT) выполняется тождество то есть u(x,t) удовлетворяет тождеству (1.8). Будучи решением задачи 1.2.(а), функция u(x,t) удовлетворяет и условиям (1.2), (1.3). Таким образом, теорема 1.2 полностью доказана. Теперь мы можем доказать разрешимость задачи 1.1. того р<х) Є Wf(0, l)D W2 (0, Oi ct(x, t) Є C(QT), то для п.в. (x, t) Є Є QT существует решение задачи 1.1.

«НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . »

На правах рукописи

Попов Николай Сергеевич

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ

ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

01.01.02 – дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова», на кафедре математического анализа Института математики и информатики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, главный научный сотрудник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Логинов Борис Владимирович, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет» (г. Ульяновск), профессор кафедры высшей математики доктор физико-математических наук, профессор Федоров Владимир Евгеньевич, ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» (г. Челябинск), заведующий кафедрой математического анализа

Ведущая организация: ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (г. Москва)

Защита состоится 29 октября 2015 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Россия, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Кремлевская, д.35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета и на сайте kpfu.ru.

Автореферат разослан « »« » 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Е.К. Липачев Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений. В качестве первых работ в исследовании нелокальных краевых задач отметим работы В.А. Стеклова (1896), Ф.И. Франкля (1956), В.И. Жегалова (1962).

Новый импульс теории нелокальных краевых задач придала работа А.В. Бицадзе и А.А. Самарского (1969). Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Г.М. Кесельмана, А.Л.

Скубачевского, А.А. Шкаликова. Исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений математической физики были посвящены работы В.И. Жегалова и его учеников.

Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon, Л.И. Камынина, опубликованные в 1963 и 1964 годах. Среди последующих работ отметим работы Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука, A.

Bouziani и N-E. Benouar, A. Bouziani, Н.И. Иванчова, J.R. Cannon и Van der Hoek, З.А.

Нахушевой, Ю.Т. Сильченко, N. Lazetic, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной, Г.А. Лукиной, в которых изучались задачи с интегральными условиями для уравнений параболического и гиперболического типов, для некоторых неклассических дифференциальных уравнений.

Цель работы. Основной целью работы является исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

Методы исследования. Доказываются теоремы существования и единственности решений пространственно нелокальных краевых задач для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, основанный на методе априорных оценок, а также метод Фурье.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

• доказаны новые теоремы разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского для одномерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. Для псевдопараболических уравнений доказана однозначная разрешимость краевых задач c нелокальными интегральными краевыми условиями;

• доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с интегральными граничными условиями для многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка;

• доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с нелокальными условиями для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений методом Фурье.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут быть применены в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре при кафедре дифференциальных уравнений Казанского федерального университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Жегалова (Казань, 2015), на объединенном семинаре кафедры математического анализа СВФУ (Якутск, 2014, 2015), НИИ математики СВФУ «Неклассические дифференциальные уравнения, управляемые процессы и их приложения» под руководством д.ф.-м.н., профессора И.Е. Егорова, на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2012–2014), на Всероссийской научной конференции и Всероссийской школесеминаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2012), на XVI–XVIII Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (2009–2011, Москва), на II Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2009), на Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск, 2010), на III Международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2011), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), на Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий — альХорезми 2012» (Ташкент, Узбекистан, 2012), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире» (Мирный, 2014), на XLVII-LII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009–2014), на VI и VII Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2011, 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах: 8 статьях [1–8], 16 тезисах докладов 15. В совместных работах [2,3] постановка задач, идея доказательств теорем разрешимости краевых задач I–III принадлежат научному руководителю А.И. Кожанову. 7 статей [1–7] опубликованы в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий ВАК, в том числе 4 статьи [1–4] (2 статьи переводные), входят в международные реферативные базы данных и систем цитирования Web of Science, Scopus.

Работа выполнена при поддержке гранта ректора СВФУ на проведение научных исследований студентов и молодых ученых (2009, 2014), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (коды проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607), при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проект 4402) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 гг. (ГК 02.740.11.0609), ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. мероприятия 1.3.2 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (Cоглашение 14.132.21.1349).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 118 страниц.

Список цитируемой литературы содержит 102 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, а также кратко описывается содержание работы.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию разрешимости нелокальных краевых задач для одномерных псевдопараболических уравнений третьего порядка.

Пусть — интервал (0,1) оси Ox, Q = (0, T ), 0 T +.

В параграфе 1.1 рассмотрена пространственно нелокальная краевая задача для уравнения ut a(x, t)uxx + c(x, t)u uxxt = f (x, t), (x, t) Q, (1) c нелокальными интегральными условиями

В случае локальных краевых условий теоремы разрешимости для уравнения (1), называемого псевдопараболическим или же уравнением Аллера, были доказаны в работах С.Я. Якубова (1999), А.И. Кожанова (1999).

Если умножим исходное уравнение (1) на Hi (x, t) и проинтегрируем по области, то с учетом условий (2) и выполнения условия

Краевая задача 2: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (5), (6), а также начальное условие (3).

Пусть V0 есть пространство

Тогда существует единственная функция u(x, t) из пространства V0, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 2.

Замечание 1.1.1. Последние два условия в (7) выполняются, если заданные функции 4 (t), 4 (t), N2 (x, t) малы по абсолютной величине.

Для доказательства теоремы 1.1.1. рассматривается краевая задача 3, имеющее самостоятельное значение.

Краевая задача 3: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

а также начальное условие (3).

Используемые методы основаны на переходе от задачи для «хорошего» уравнения с «плохими» граничными условиями к задаче с «хорошими» граничными условиями, но для «плохого» уравнения — так называемого нагруженного уравнения, доказательстве разрешимости полученной задачи с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок. Ранее подобные методы в близкой ситуации эффективно использовались в работах А.И. Кожанова (2008, 2010).

Параграф 1.2 представляет собой исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничным условием А.А. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

В области Q рассматривается уравнение

где a(x, t), c(x, t), f (x, t), 1 (t), 2 (t), 1 (t), 2 (t) — заданные функции определенные при x = [0, 1], t [0, T ].

Краевая задача 4: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 1 (13), а также начальные условия

Краевая задача 5: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 2 (14), а также начальные условия (16).

Краевая задача 6: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 3 (15), а также начальные условия (16).

Отметим, что в работе А.И. Кожанова (2009) методом регуляризации и продолжения по параметру была исследована разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения utt uxx + c(x, t)u = f (x, t) (17) с краевыми условиями 1, 2 или 3. В случае локальных краевых условий (13) или (14) или (15) — т.е. при выполнении условий 2 (t) = 1 (t) 0 — теоремы разрешимости аналогичных краевых задач для уравнений (12) были доказаны в работах С.Я. Якубова, А.И. Кожанова.

Определим пространство V1 :

Тогда существует единственная функция u(x, t) из пространства V1, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 5.

Замечание 1.2.2. Условия (20) очевидно будут выполнены при любых t [0, T ], если для заданных функций выполняется 1 (t)2 (t) 0 и 2 (t) 1 (t) + 1, 2 (t) или 1 (t) малы по абсолютной величине.

Теорема 1.2.

3. Пусть выполняются условия

Тогда существует единственная функция u(x, t) из пространства V1, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 6.

В параграфе 1.3 исследуется разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для одномерных линейных псевдопараболических уравнений с граничным условием, представляющим собой комбинацию нелокальных граничных условий А.А. Самарского с переменными коэффициентами и граничных условий интегрального вида. Подобные нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений ранее изучались лишь в частных случаях (см. работы А.П. Солдатова, М.Х. Шханукова (1987), А.И. Кожанова (2004)).

В области Q рассматривается уравнение

где a(x, t), c(x, t), K1 (x), K2 (x), f (x, t), 1 (t), 2 (t), 1 (t), 2 (t) — заданные функции определенные при x = [0, 1], t [0, T ].

Краевая задача 7: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 1 (26), а также начальные условия

Краевая задача 8: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 2 (27), а также начальные условия (29).

Краевая задача 9: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 3 (28), а также начальные условия (29).

Приведены теоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 однозначной разрешимости краевых задач 7, 8, 9 соответственно [2,3].

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость многомерных пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений. В многомерном случае исследования подобных задач ранее относились к параболическим и гиперболическим уравнениям, многомерные псевдопараболические, псевдогиперболические задачи с интегральным условием на боковой границе ранее не изучались.

Тогда краевая задача 11 имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V3, и это решение единственно.

В теореме 2.1.1 условия малости на функции K(x, y, t), x K(x, y, t) можно заменить на условия симметричности K(x, y, t) = K(y, x, t) и обращения в нуль на границе:

K(x, y, t) = Kyi (x, y, t) = 0 (i = 1. n) при y.

Аналогичное верно для функции для функции K1 (x, y, t) в случае теоремы 2.1.2.

Замечание 2.1.2. В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 от условий a(x, t) a0 0, c(x, t) c0 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функции a(x, t), c(x, t) и их производные.

Тогда краевая задача 13 имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V4, и это решение единственно.

Замечание 2.2.1. В теоремах 2.2.1 и 2.2.2 от условий b(x, t) b0 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию b(x, t) и их производные.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, но с общими нелокальными краевыми условиями А.А. Самарского и интегральными условиями с переменными коэффициентами.

В §3.1 проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с интегральными граничными условиями, условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдопараболических уравнений.

Пусть — интервал (0, 1) оси Ox, Q — прямоугольник (0, T ), 0 T +. В области Q рассматривается уравнение

где f (x, t), 1 (t), 2 (t), 1 (t), 2 (t), K1 (x), K2 (x) — заданные функции определенные при x = [0, 1], t [0, T ], — постоянная.

Краевая задача 14: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (60), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (61), а также начальные условия

где P1 (t), G(t, ) — матрицы второго порядка с коэффициентами, определяемые через входные данные краевой задачи 14.

Теорема 3.1.

1. Пусть выполняются условия

В §3.2 проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач, для простоты, с интегральными граничными условиями с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдогиперболических уравнений.

В области Q рассматривается уравнение

где f (x, t), K1 (x), K2 (x) — заданные функции определенные при x = [0, 1], t [0, T ], — постоянная.

Краевая задача 15. Найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (66), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (67), а также начальные условия

где P2 (t), M ( t) — матрицы второго порядка с коэффициентами, определяемыми через входные данные краевой задачи 15.

Теорема 3.1.

2. Пусть выполняются условия

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Александру Ивановичу Кожанову за постановку задач, ценные советы, помощь в работе над диссертацией и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдогиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов // Дифференциальные уравнения. – 2015. – Т.51, № 3. – C. 359–372.

[2] Попов, Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов, Н.С. Попов // Вестник НГУ.

Серия: Математика, механика, информатика. – 2010. Т.10, Выпуск 3. – С. 63– 75.

[3] Popov, N.S. Solvability of nonlocal boundary value problems for pseudoparabolic equations / A.I. Kozhanov, N.S. Popov // Journal of Mathematical Sciences. – 2012. Vol.186, №. 3. – P. 438–452 [4] Popov, N.S. Solvability of a boundary value problem for a pseudoparabolic equation with nonlocal integral conditions / N.S. Popov // Dierential Equations.

– 2015. – V.51, № 3. – P. 362–375.

[5] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Математические заметки СВФУ. – 2014. – Т.21, № 2. – С. 69–80.

[6] Попов, Н.С. О разрешимости пространственно нелокальной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения / Н.С. Попов // Математические заметки ЯГУ. – 2013. Т.20, Вып. 2. – С.152–169.

[7] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Математические заметки ЯГУ. – 2012. Т.19, Вып. 1. – С. 82–95.

[8] Попов, Н.С. Об одной краевой задаче для псевдопараболического уравнения с нелокальными условиями типа Самарского / Н.С. Попов // Лучшие доклады общеуниверситетской научной конференции студентов СВФУ имени М.К. Аммосова (18 мая 2009 г.) – Якутск: Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2010. – С. 20–23.

[9] Попов, Н.С. Разрешимость задачи со смещением для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Тезисы докладов секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «Ломоносов-2009». – Москва: ММФ МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009. – С. 55–56.

[10] Попов, Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений / Н.С. Попов // Материалы Международного научного форума «Ломоносов-2010»: Математика / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев, А.В. Андриянов. Электронный ресурс. – М.: Макс Пресс, 2010. – Секция 14-1.

№459 822 883. – С. 1–2.

[11] Попов, Н.С. О разрешимости нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения с интегральным смещением / Н.С. Попов // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. Часть II: Тез. докл. – Якутск, 10-13 ноября 2010 г. – С. 26–27.

[12] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи с нелокальными интегральными краевыми условиями для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / – Новосибирск: изд-во НГУ, 2011. – С. 58.

[13] Попов, Н.С. Об одной краевой задаче с нелокальными интегральными краевыми условиями для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2011»: Подсекция «Математика» / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] – М.: МАКС Пресс, 2011. – С. 132.

[14] Попов, Н.С. Исследование краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными краевыми условиями / Н.С. Попов // VI Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, В.И. Васильева – Якутск: ОАО «Медиа-холдинг Якутия», 2011. – С. 55–57.

[15] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов // III Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач»: Тез. докл. – Новосибирск: изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2011. – С. 47– 48.

[16] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Материалы 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосибирск: изд-во НГУ, 2012. – С. 40.

[17] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для неклассических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями интегрального вида / Н.С. Попов // Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М.

Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики». (Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.): Тез.докл. – Новосибирск: ЗАО «Сибирское научное изд-во», 2012. – С. 420.

[18] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдогиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов // IV Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». (Новосибирск, 5–15 августа 2012 г.): Тез.докл. – Новосибирск, Академгородок: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2012. – С. 99.

[19] Попов, Н.С. Краевые задачи для неклассических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями интегрального вида / Н.С. Попов // Тезисы докладов Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий — аль-Хорезми 2012»: Секция № 2 «Дифференциальные уравнения и динамические системы» / Гл. ред. М.М. Арипов – Ташкент, «НУУз им. М.

Улукбека», 2012. – C. 34–35.

[20] Попов, Н.С. Разрешимость нелокальных краевых задач для псевдогиперболических уравнений / Н.С. Попов // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т.

– Новосибирск, 2013. – С. 98.

[21] Попов, Н.С. Исследование разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2013»: Подсекция «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

/ Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова.

[Электронный ресурс] – М.: МАКС Пресс, 2013. – C. 16.

[22] Попов, Н.С. Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для псевдогиперболических уравнений / Н.С. Попов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 18–24 августа 2013 г.): Тез. докладов / Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН. – Новосибирск, 2013. – С. 227.

[23] Попов, Н.С. О разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений третьего порядка / Н.С. Попов // VII Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, Ф.М. Федорова

– Якутск: ОАО «Компания Дани-Алмас», 2014. – С. 61–62.

[24] Попов, Н.С. Об одной нелокальной краевой задаче для многомерного псевдогиперболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб.

гос. ун-т. – Новосибирск, 2013. – С. 93.

«Флоринский Игорь Васильевич ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИКО-КАРТОГРАФИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЛЬЕФА Специальность 25.00.33 – картография АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Москва – 2010 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте математических проблем биологии РАН Официальные оппоненты: доктор технических наук, старший научный сотрудник Флегонтов Александр Валентинович доктор технических наук, профессор Лисицкий. »

«МАТИНЯН НОРИК СИРЕКАНОВИЧ ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ (НА ПРИМЕРЕ ТУБЕРКУЛЕЗА) 14.00.33 – Общественное здоровье и здравоохранение Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора медицинских наук Москва, 2009 г. Работа выполнена в ФГУ «Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения Росздрава» Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ, доктор медицинских наук. »

«Исходжанов Тимур Равилевич АВТОМАТИЧЕСКИЙ ПОИСК ОШИБОК В КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Специальность 05.13.11 Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва — 2013 Работа выполнена на кафедре информатики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования. »

«НОВИЦКАЯ ЕКАТЕРИНА ВАЛЕРЬЕВНА ОПЕРАТИВНО-РОЗЫСКНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАССЛЕДОВАНИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЙ ПРОТИВ ЖИЗНИ И ЗДОРОВЬЯ 12.00.12 Криминалистика; судебно-экспертная деятельность; оперативно-розыскная деятельность АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Ростов-на-Дону – 2015 Работа выполнена на кафедре криминалистики и правовой информатики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования. »

«УЛУМБЕКОВА Гузель Эрнстовна НАУЧНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДО 2020 ГОДА 14.02.03 Общественное здоровье и здравоохранение Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Москва 201 Работа выполнена в ФГУ «Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения Росздрава» (ЦНИИОИЗ Росздрава) Научный руководитель: доктор медицинских наук, профессор, академик РАМН. »

«ГЕНРИХОВ ИГОРЬ ЕВГЕНЬЕВИЧ ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛНЫХ РЕШАЮЩИХ ДЕРЕВЬЕВ ДЛЯ ЗАДАЧ КЛАССИФИКАЦИИ ПО ПРЕЦЕДЕНТАМ 05.13.17 – теоретические основы информатики Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 Работа выполнена на кафедре теоретической информатики и дискретной математики математического факультета в Федеральном государственном бюджетном образовательном Учреждении Высшего профессионального образования. »

«ЖВАНСКИЙ Дмитрий Сергеевич СОСТОЯНИЕ МЕЖКОНЕЧНОСТНЫХ СВЯЗЕЙ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ РУК И НОГ В НОРМЕ И ПРИ ЦЕРЕБРАЛЬНЫХ НАРУШЕНИЯХ 03.01.09 – математическая биология, биоинформатика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Москва 2015 Работа выполнена на кафедре физики живых систем факультета биологической и медицинской физики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования. »

«ГЕРАСИМОВА ЕЛЕНА КОНСТАНТИНОВНА МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ ЭЛЕКТРОННЫХ УЧЕБНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ СЕРВИСОВ WEB 2.0 В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (информатизация образования) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Москва – 2015 Работа выполнена на кафедре информатизации образования Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования города Москвы. »

«УДК 621.397 Грачев Алексей Юрьевич Разработка методов и устройств эффективного формирования сигналов в цифровых системах наземного телевизионного вещания Специальность 05.12.04 – Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учной степени кандидата технических наук Москва 2005 Работа выполнена на кафедре телевидения Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ) Научный руководитель – доктор технических. »

«АФАНАСОВА Елена Пантелеевна ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ И ИСХОДОВ, РАЗРАБОТКА СЕТЕВЫХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ДИАГНОСТИКИ И АНАЛИЗА ТЕРАПИИ ОСТРОГО ЭНДОМЕТРИТА Специальность: 03.01.09 – Математическая биология, биоинформатика (медицинские науки) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учной степени доктора медицинских наук Курск – 2014 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет» на кафедре биомедицинской инженерии Научный. »

«ГОПТА ЕВГЕНИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СИНТЕЗА СТРУКТУР ФИЗИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА ДЕЙСТВИЯ 05.13.12 – «Системы автоматизации проектирования (промышленность)» АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Волгоград – 2014 Работа выполнена на кафедре «Системы автоматизированного проектирования и поискового конструирования» Волгоградского государственного технического университета Научный руководитель доктор технических наук, профессор. »

«Добролюбова Елена Игоревна Статистический анализ результативности государственного и муниципального управления Специальность: 08.00.12 – «Бухгалтерский учёт, статистика» АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук Москва – 2015 Работа выполнена на кафедре Теории статистики и прогнозирования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет. »

«ЛИТВИН АНДРЕЙ АНТОНОВИЧ ИНФИЦИРОВАННЫЙ ПАНКРЕОНЕКРОЗ: КОМПЬЮТЕРНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ, ПРОФИЛАКТИКА, ДИАГНОСТИКА И ХИРУРГИЧЕСКОЕ ЛЕЧЕНИЕ 14.01.17 – хирургия 03.01.09 – математическая биология, биоинформатика (медицинские науки) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора медицинских наук Москва – 2014 Работа выполнена в учреждении образования «Гомельский государственный медицинский университет», Республика Беларусь Научные консультанты: Лызиков Анатолий. »

«КОМЕЛИНА ЕЛЕНА ВИТАЛЬЕВНА Система повышения квалификации педагогов в области информатики с использованием модели информационной образовательной среды Специальность 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (информатика) Авторе ферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Москва-2012 Работа выполнена на кафедре математической лингвистики и информационных систем в филологии ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет». »

«Черноусова Елена Олеговна БЕСПЕРЕБОРНЫЕ МЕТОДЫ КРОСС-ВАЛИДАЦИИ ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ ОБОБЩАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ Специальность 05.13.17 – Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 201 Работа выполнена на кафедре «Интеллектуальные системы» Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический. »

«КОШЕЛЬ Сергей Михайлович ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТРУКТУРЫ И ФУНКЦИЙ БЛОКА МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЛЬЕФА В ГИС 25.00.35. геоинформатика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата географических наук Москва – 2004 Работа выполнена на кафедре картографии и геоинформатики географического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова Научный руководитель: доктор географических наук, профессор И.К. Лурье Официальные оппоненты: доктор. »

«Соченков Илья Владимирович РЕЛЯЦИОННО-СИТУАЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ ДАННЫХ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПОИСКОВО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Специальность: 05.13.17 – Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 201 Работа выполнена в лаборатории динамических интеллектуальных систем федерального государственного бюджетного учреждения науки Института системного анализа Российской академии наук. доктор. »

«Морозов Дмитрий Александрович РАЗВИТИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БИБЛИОТЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННОКОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 05.25.03 – библиотековедение, библиографоведение и книговедение АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Челябинск, 2015 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Краснодарский государственный университет культуры и искусств» на кафедре. »

«ВОЙТКО ДМИТРИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ ОРГАНИЗАЦИИ ЛЕЧЕБНО-ДИАГНОСТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ ПРИ РАКЕ ПРЕДСТАТЕЛЬНОЙ ЖЕЛЕЗЫ 14.02.03 Общественное здоровье и здравоохранение АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Москва – 2015 Работа выполнена в Федеральном Государственном Бюджетном Учреждении «Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения» Министерства здравоохранения. »

2016 www.konf.x-pdf.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, диссертации, конференции»

источники:

http://www.dslib.net/dif-uravnenia/nelokalnye-zadachi-s-integralnymi-uslovijami-dlja-uravnenij-giperbolicheskogo.html

http://konf.x-pdf.ru/18informatika/358128-1-nelokalnie-kraevie-zadachi-dlya-psevdoparabolicheskih-psevdogiperbolicheskih-uravneniy.php