Интегральные уравнения в математических моделях

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Нелинейные интегральные уравнения в математических моделях теплообмена движущейся осесимметричной среды Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ляшенко В.П., Кобыльская Е.Б., Брыль Т.С., Демьянченко О.П.

Рассмотрено применение интегрального уравнения типа Гаммерштейна при моделировании процесса теплообмена движущейся цилиндрической области, которая нагревается внутренними и внешними источниками тепла с окружающей средой. Построена функция Грина для сопряженного дифференциального оператора. Это позволило нелинейную двумерную краевую задачу свести к одномерному нелинейному интегральному уравнению. Решение уравнения получено модифицированным численным методом Ньютона. Проведены численные эксперименты и построены графики температурных распределений. Полученное интегральное уравнение может быть использовано в качестве математической модели теплового процесса во время термической обработки движущейся проволоки.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ляшенко В.П., Кобыльская Е.Б., Брыль Т.С., Демьянченко О.П.

NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS IN THE MATHEMATICAL MODELS OF HEAT TRANSFER IN A MOVING AXIAL-SYMMETRIC MEDIUM

The application of an integral equation of Hammerstein type in modeling the heat transfer process of a moving cylindrical area that is heated by internal and external heat sources with an environment is considered. The Green’s function for the adjoint differential operator is constructed. This made it possible to reduce the nonlinear two-dimensional boundary value problem to a one-dimensional nonlinear integral equation. The solution of the equation was obtained by a modified numerical Newton’s method. Numerical experiments have been carried out and graphs of temperature distributions have been constructed. The resulting integral equation can be used as a mathematical model of the thermal process during the heat treatment of a moving wire.

Текст научной работы на тему «Нелинейные интегральные уравнения в математических моделях теплообмена движущейся осесимметричной среды»

В.П. ЛЯШЕНКО, ОБ. КОБИЛЬСЬКА, Т.С. БРИЛЬ

Кременчуцький нацюнальний ушверситет iMeHi Михайла Остроградського

Азовський морський iнституг Нацюнального унiверситету «Одеська морська акаде]шя»

НЕЛ1Н1ЙН1 1НТЕГРАЛЬН1 Р1ВНЯННЯ У МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЯХ ТЕПЛООБМ1НУ РУХОМОГО ОСЕСИМЕТРИЧНОГО СЕРЕДОВИЩА

Розглянуто застосування iнтегрального ргвняння типу Гаммерштейна при моделюванн процесу теплообмту рухомо’1′ цилiндричноi областi з навколишнiм середовищем, що нагрiваeться внутрiшнiми та зовнштми джерелами тепла. Побудовано функцт Грта для спряженого диференщального оператора. Це дозволило нелттну двовимiрну крайову задачу звести до одновимiрного нелiнiйного iнтегрального рiвняння. Розв ‘язок рiвняння отримано чисельним модифкованим методом Ньютона. Проведен чисельн експерименти та побудован графжи температурних розподШв. Отримане ттегральне рiвняння може бути використане у якостi математично’1’ моделi теплового процесу тд час термiчноi обробки рухомого дроту.

Ключовi слова: математична модель, рiвняння теплопровiдностi, крайова задача, ттегральне рiвняння типу Гаммерштейна, функщя Грта.

В.П. ЛЯШЕНКО, Е.Б. КОБЫЛЬСКАЯ, Т.С. БРЫЛЬ

Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского

Азовский морской институт Национального университета «Одесская морская академия»

НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ТЕПЛООБМЕНА ДВИЖУЩЕЙСЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрено применение интегрального уравнения типа Гаммерштейна при моделировании процесса теплообмена движущейся цилиндрической области, которая нагревается внутренними и внешними источниками тепла с окружающей средой. Построена функция Грина для сопряженного дифференциального оператора. Это позволило нелинейную двумерную краевую задачу свести к одномерному нелинейному интегральному уравнению. Решение уравнения получено модифицированным численным методом Ньютона. Проведены численные эксперименты и построены графики температурных распределений. Полученное интегральное уравнение может быть использовано в качестве математической модели теплового процесса во время термической обработки движущейся проволоки.

Ключевые слова: математическая модель, уравнение теплопроводности, краевая задача, интегральное уравнения типа Гаммерштейна, функция Грина.

V. LYASHENKO, E. KOBILSKAYA, T. BRYL

Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University

Azov maritime institute of National university «Odessa maritime academy»

NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS IN THE MATHEMATICAL MODELS OF HEAT TRANSFER

IN A MOVING AXIAL-SYMMETRIC MEDIUM

The application of an integral equation of Hammerstein type in modeling the heat transfer process of a moving cylindrical area that is heated by internal and external heat sources with an environment is considered. The Green’s function for the adjoint differential operator is constructed. This made it possible to reduce the nonlinear two-dimensional boundary value problem to a one-dimensional nonlinear integral equation. The solution of the equation was obtained by a modified numerical Newton’s method. Numerical experiments have been carried out and graphs of temperature distributions have been constructed. The resulting integral equation can be used as a mathematical model of the thermal process during the heat treatment of a moving wire.

Key words: mathematical model, heat equation, boundary value problem, integral equation of Hammerstein type, Green’s function

В основ1 бшьшосп математичних моделей ф1зичних та технолопчних процеав лежать крайов1 та нелокальш задач1 математично! ф1зики. Значна !х шльшсть е нелшшними, а розв’язки можна знайти лише чисельними методами i3 застосуванням комп’ютерно! математики. Зниження розм1рност1 крайово! задач1

дозволяе спростити алгоритм знаходження Н розв’язку. Одним iз шляхiв зниження розмiрностi крайово! задачi е зведення до iнтегрального рiвняння, лiнiйного або нелшшного, алгоритм розв’язку якого б№ш простий нiж алгоритм розв’язку крайово! задача

Аналiз останнiх дослiджень i публiкацiй

Iнтегральнi рiвняння знаходять широке застосування при розв’язаннi задач математично! фiзики та пiд час моделювання багатьох неперервних фiзичних та технолопчних процесiв[1]. Зведення крайово! задачi для рiвняння з частинними похвдними до ввдповщного iнтегрального рiвняння дозволяе у багатьох випадках спростити алгоритм и розв’язання методами комп’ютерно! математики [1,2].

Побудувати алгоритм зведення третьо! крайово! задачi для рiвняння теплопровiдностi до iнтегрального рiвняння та розв’язання !! методами комп’ютерно! математики.

Викладення основного матерiалу дослiдження

Розглянемо математичну модель температурного поля у рухомому осесиметричному середовищi, що розiгрiваеться у обмеженiй замкненiй областi О внутршшми або зовнiшнiми джерелами тепла, i яка е однiею з проблем металургп — дослiдження температурних розподшв пiд час пластично! деформаци та термiчно!’ обробки рухомого дроту внутршшми та зовнiшнiми джерелами тепла [3,4].

Розглянемо фiзичну та математичну модель такого процесу. Пiд час виробництва тугоплавкого та важкодеформованого дроту ввдбуваеться його попереднiй розiгрiв перед пластичною деформащею. Термiчна обробка рухомого дроту у б№шосп технологiчних процеав ввдбуваеться шд дiею постiйно дшчих внутрiшнiх або зовнiшнiх джерел тепла. Основна проблема, що виникае тд час дослiдження процесу термiчно! обробки е визначення температурного розподiлу у зош нагрiвання, а додаткова -визначення параметрiв керування температурним полем [5,6]. Математична модель процесу на^вання дроту внутрiшнiми джерелами тепла приводить до дослвдження крайових задач для неоднородного рiвняння теплопровiдностi з граничними умовами 1-111 роду, як1 ввдображають втрати тепла з поверхнi середовища, що нагрiваеться. У цiй моделi джерела тепла у неоднородному рiвняннi задаються у виглядi функцп, що залежить ввд просторових координат та невщомо! функцi!. Математичну модель процесу названия рухомого осесиметричного середовища зi сталою швидк1стю V внутрiшнiми джерелами тепла можна задати

у виглядi крайово! задачi для рiвияния теплопровщносл в областi О : <0 4>повинна задовольняти однорiдному рiвнянню

та однорiдним умовам. У кожнiИ iз шд областей обласп 0 = <г 4>знаходимо задачi (6)-(7) та функцш Грiна

0 + vхd0 + у0 = 0, 0 1 (4)екг + С2 (4) е*2г, У г 4

де 2 = -(vх / 2) vх / 2)2 — у — коренi характеристичного рiвняння для рiвняння задачi (8).

Коефщенти С1 + С4, визначаемо iз розв’язку наступно! системи скориставшись однорщними граничними умовами (7) та властивостями функци Грiна[1].

С3(4)ек + С4(4)ек = 0

С1(4)е*14 + С2(4)е*24 = Сз(4)ек4 + С4(4)ек4 ‘

-С1(4)к/14 -С2(4)к2ек24 + Сз(4)к1ек14 + С4(4)к2ек24 = -1

Звщки коефщенти С1 (4) ^ С4 (4 ) мають вигляд

(к1 — к2) (е( к1+к2 )4(1 — е( к1+к2 У

(к1 — к2)( е( к1 +к2 )4(1-е( к1+к2 У

к — к2) (е^ +к2 )4(1 — е(-*1 +к2У ))’ (к1 — к2) (е(к+к2 )4(1 — е(-к +к2)1))’

Подставивши значення коефiцiентiв С1 (4)^ (4)у (10) отримаемо функцш Грша. Пiсля перетворень рОвняння Гаммерштейна можна записати у виглядО [7]

де «ь (4) = «00^(0,4)-«10,2(1,4) + а1\0(г,4)ёг. (12)

РОвняння (11) нелшшне. Тому для знаходження його чисельного розв’язку застосуемо модифшэваний метод Ньютона[7]. Напишемо (11) у виглядО

« (4) = «-тйО (г; 4) ёг, (13)

де « — додатнш коршь рОвняння, середне значення температури по координат г

де А = -\«Ь (4)ё4, Е=Т\с14р(г;4)ёг. (15)

Дещо шший вигляд мають математичш модел температурного поля зони нагрОвання дроту зовшшшми джерелами тепла. У таких моделях температурне поле визначаеться Оз розв’язку крайово! задачО для однородного рОвняння теплопровщносп, де зовшшш джерела тепла висвгглюються у граничних умовах. Визначення стацюнарного температурного розподОлу у зош нагрОву рухомого середовища,через поверхню, зовшшшми джерелами тепла(променевий нагрОв) з врахуванням перерозподОлу температури за рахунок теплопровщносл приводить до розв’язання наступно! задачО для рОвняння теплопровщносл О1 :<0 4

1 _ ek(4-l) ek(4-l) _1

kl)’ kl _ ek(4_l) ek4 _ 1 C3(4) =-k—, c4(4) =-kr. (23)

Рiвняння Гаммерштейна задачi (18),(19) буде мати вигляд, аналогiчний (11)

u (4) = uL (4)_T$G(z;4)u4dz, (24)

де ul (4)=-/ _kA— + t4 Jg (z;4)dz. (25)

(1 _e ) 0 Його розв’язок знаходимо аналогiчно (13) модифжованим методо Ньютона[7].

Розроблено алгоритм зведення крайово! задачi, що моделюе процес теплообмiну рухомо! цилiндричноl областi з навколишшм середовищем, до iнтегрального рiвняння типу Гаммерштейна. Розглянуто випадки на^вання середовища внутрiшнiми та зовнiшнiми джерелами тепла. Побудовано функцш Грiна для спряженого диференцiального оператора, яка використана у якосп ядра рiвняння типу Гаммерштейна. Це дозволило звести нелшшну двовимiрну крайову задачу до одновимiрного нелiнiйного iнтегрального рiвняння. Розв’язок рiвняння отримано чисельним модифiкованим методом Ньютона. Отримаш iнтегральнi рiвняння можуть бути використаш у якостi математично! моделi термiчно! обробки рухомого дроту.

Список використаноТ лггератури

1. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа /Лизоркин П.И. — М.: Наука, 1981.—381с.

2. V. Lyashenko, E. Kobilskaya Control of Heat Source in a Heat Conduction Problem // AIP Conference Proceedings. — Sophia (Bulgaria), 2014. — 85(2014), P. 94—101.

3. V. Lyashenko, E. Kobilskaya. Methods for Solving of Inverse Heat Conduction Problems // Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, AIP Conference Proceedings— 2016. — P. 040005-1—040005-7.

4. Ляшенко В.П., Бриль Т.С. Математична модель температурнго поля рухомого дроту, що на^ваеться зовшштми джерелами тепла // Вюник Кременчуцького нацюнального ушверситету iменi Михайла Остроградського. — Кременчук: КрНУ, 2012. — Вип. 1/2012 (72), — С. 50—53.

5. Ляшенко В.П., Григорова Т.А. Моделювання процеав сткання у контейнера // ВестникХерсонскогонациональноготехническогоуниверситета. Вып. 3(39). — Херсон: ХНТУ, 2010. — С. 292 — 296.

6. Ляшенко В. П. Застосування методу Роте до розв’язання одше! нелшшно! задачi теплопровщносп / В. П. Ляшенко, Н. Г. Кирилаха // Вестник Херсонского государственного технического университета. — Вып. 3 (19), Херсон, 2003. — С. 235—239.

7. Верлань А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / Верлань А.Ф., Сизиков В.С.—К. Наукова думка 1978.—291с.

Основы математического моделирования систем и процессов (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).

Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.

Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.

Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.

3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:

– все соотношения записывают в аналитической форме;

– логические условия выражают в виде систем неравенств;

– случайные процессы заменяют их типовыми моделями.

4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.

5-й этап. Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.

1.3.4. Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по форме их представления (рис. 1.10). За основу второй классификации (рис. 1.11) взят характер модели.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Области применения

Исследование некоторых физических систем приводит к математическим моделям в форме систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Иногда СЛАУ появляются в процессе математического моделирования как промежуточный шаг (этап) в решении более сложной задачи. Есть значительное число научно-технических задач, в которых математические модели сложных нелинейных систем посредством дискретизации или линеаризации сводятся к решению СЛАУ.

Примеры задач, использующих математические модели в форме СЛАУ:

1) при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств требуется проведение расчета и анализа их работы в стационарных режимах. Задача сводится к расчету эквивалентных схем, в основе которого лежит формирование и решение СЛАУ;

2) при построении математической модели, связывающей функциональной зависимостью некоторые параметры x, y исследуемого объекта на основании полученных в результате эксперимента данных , где i = 1,2,3, . ,n (задачи аппроксимации данных);

3) при исследовании процессов в системах, математические модели которых строятся в классе дифференциальных уравнений в частных производных. В результате разностной аппроксимации исходной модели при определенных условиях приходят к математическим соотношениям в форме СЛАУ;

4) сущность многих физических процессов математически отображается с помощью интегральных уравнений. Ввиду сложности решения многих из них исследователь предпочитает свести задачу к решению модели в форме СЛАУ, используя известные методы аппроксимации.

5) исследование систем автоматического регулирования в установившемся режиме приводит во многих случаях к статическим моделям в форме СЛАУ.

Система линейных уравнений порядка n имеет вид:

(2.1)

или в векторно-матричной форме:

(2.2)

где – вектор свободных членов;

– вектор неизвестных;

A – матрица коэффициентов системы, размером .

2.2. Методы решения

Методы решения СЛАУ делятся на две группы: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют получить решение за конечное число шагов. Итерационные методы построены по принципу многократного вычисления последовательных приближений, сходящихся к искомому решению.

Прямые методы целесообразно использовать для решения систем сравнительно небольшой размерности с плотно заполненной матрицей (матрицей, имеющей малое количество нулевых элементов). Итерационные методы предпочтительнее в задачах большой размерности со слабо заполненными матрицами.

К прямым методам относятся метод определителей, метод Гаусса и его модификации, метод LU-разложения, матричный метод и др. К разряду итерационных методов принадлежат метод простой итерации, метод Зейделя.

2.2.1. Прямые методы

2.2.1.1. Метод Гаусса

Решение СЛАУ осуществляется в два этапа (прямой и обратный ход)

Прямой ход. Исходная система (2.1) путем последовательных преобразований приводится к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений. В результате получается эквивалентная система:

(2.3)

Обратный ход. С помощью подстановки в предпоследнее (n-1)-е уравнение системы (2.3) вычисляется . Подстановкой и в (n-2)-е уравнение определяют . Таким же образом последовательно определяют неизвестные .

П р и м е р 14. Решить систему с тремя неизвестными методом Гаусса:

(2.4)

Прямой ход. Первое уравнение из системы (2.4) разделим на 3:

(2.5)

Из второго уравнения исключим неизвестное Для этого ко второму уравнению прибавим преобразованное первое уравнение, умноженное на (–2). Получим:

(2.6)

(2.7)

Разделим уравнение (2.7) на . Получим:

. (2.8)

Из третьего уравнения системы (2.4) исключим . Для этого из третьего уравнения вычтем первое преобразованное (2.5):

(2.9)

(2.10)

Разделим уравнение (2.10) на :

, (2.11)

(2.12)

Из третьего уравнения системы (2.12) исключим неизвестное . Для этого к третьему уравнению прибавим второе:

(2.13)

или , (2.14)

откуда выразим : .

Тогда эквивалентная система в треугольном виде примет вид:

(2.15)

Обратный ход. Подставим значение во второе уравнение системы (2.15) и найдем . Подстановкой значений и в первое уравнение найдем .

Если квадратная матрица линейной системы

(2.16)

имеет отличные от нуля главные диагональные миноры, т. е.

(2.17)

то она может быть разложена на произведение двух треугольных матриц – нижней с ненулевыми диагональными элементами и верхней – с единичными диагональными элементами

(2.18)

Поэтому матричное уравнение (2.16) можно заменить уравнением:

(2.19)

Введем вектор вспомогательных переменных Тогда уравнение (2.19) можно записать в виде системы двух векторно-матричных уравнений:

(2.20)

Таким образом, решение системы (2.16) сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами типа (2.3) или (2.15), из которых неизвестные определяются последовательной подстановкой.

Математически это выражается так: из первого уравнения системы (2.20) определяется вектор :

, (2.21)

после чего из второго уравнения системы (2.19) вычисляется вектор :

. (2.22)

Обратные матрицы и существуют, т. к. определители треугольных матриц L и U, вычисляемые как произведения их диагональных элементов, отличны от нуля.

Метод LU-разложения – это фактически метод Гаусса, выраженный в векторно-матричной форме, отличающийся от классического варианта способом хранения матриц.

2.2.1.3. Матричный метод

Если для системы выполняется условие невырожденности матрицы A

, (2.23)

то решение этой системы можно представить в виде:

, (2.24)

где – обратная матрица.

2.2.2. Итерационные методы

2.2.2.1. Метод простых итераций

Исходная система уравнений (2.1) приводится к виду:

(2.25)

(2.26)

Задав начальные (нулевые) приближения для искомых неизвестных:

(2.27)

подставляем их в правую часть системы (2.26). Получаемые при этом в левой части системы значения представляют собой первые приближения:

, (2.28)

где

Подставив первые приближения в правую часть системы (2.26), в левой ее части получим вторые приближения − :

. (2.29)

Таким образом, итерационный процесс описывается соотношениями:

(2.30)

Полученные в результате последовательности итераций приближения: сходятся к истинному решению системы (2.1), в том случае, если для коэффициентов системы (2.26) выполняется хотя бы одно из условий:

; (2.31)

. (2.32)

Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет выполнено условие:

(2.33)

где – заданная точность.

2.2.2.2. Метод Зейделя

Метод Зейделя – модификация метода простых итераций, обеспечивающая ускорение сходимости итерационного процесса к истинному решению системы за счет следующего приема.

Уточненное значение , полученное из первого уравнения системы (2.26) вводится во второе уравнение системы и используется для вычисления . Затем уточненные значения , вводятся в третье уравнение системы (2.26) и используются для вычисления . Таким образом, k-е приближение будет определяться через уточненные в процессе k-й итерации значения . Следовательно, итерационный процесс, реализуемый в методе Зейделя, может быть выражен соотношениями:

(2.34)

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Пример формирования модели

П р и м е р 15. Моделируемый объект – нелинейная цепь постоянного тока (рис. 3.1). R2 – нелинейное сопротивление.

По закону Кирхгофа

(3.1)

Нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ) элемента R2 аппроксимируем выражением:

(3.2)

Сделаем подстановку выражения (3.2) в уравнение (3.1):

(3.3)

(3.4)

f(i)

Соотношение f(i) = 0 представляет собой математическую модель электрической цепи в форме нелинейного алгебраического уравнения относительно тока i. Решение этой модели позволит определить ток i в цепи при заданных значениях U и R1.

Исследование объектов различной физической природы в установившемся режиме часто приводит к статическим моделям в форме нелинейных алгебраических уравнений.

Алгебраическое уравнение может содержать только алгебраические функции, в которых над переменной x производятся арифметические операции, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня. Например:

(3.5)

(3.6)

В некоторых задачах моделирование приводит к трансцендентному уравнению.

Трансцендентным называется уравнение, в состав которого входят трансцендентные функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, возведение в иррациональную степень. Например:

(3.7)

(3.8)

3.2. Базовые понятия

Уравнение с одним неизвестным x в общем случае имеет вид:

где z(x) и g(x) — функции, определенные на некотором числовом множестве X, называемом областью допустимых значений уравнения.

Другая форма записи уравнения с одним неизвестным имеет вид:

где f(x) = z(x) – g(x) получается в результате переноса функции g(x) в левую часть уравнения (3.9).

Всякое значение x*, которое при подстановке в уравнение (3.10) обращает его в числовое равенство, а функцию f(x) — в ноль, т. е. такое, что

, (3.11)

называется корнем уравнения, или нулем функции f(x).

Решить уравнение – значит найти все его корни (решения) или доказать, что уравнение не имеет корней.

Для алгебраических уравнений число корней известно заранее. Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел n корней с учетом кратности.

3.3. Методы решения

Аналитическое (явное) решение, т. е. решение в виде готовой формулы, выражающей неизвестное x через параметры уравнения, можно получить только для ограниченного круга уравнений, например формулы для вычисления корней квадратного (аx2+bx+c=0) и кубического (x3+px+q=0) уравнений. Решение некоторых простейших трансцендентных уравнений может быть получено в аналитической форме с использованием степенных рядов, непрерывных дробей и т. д.

В большинстве случаев найти явное решение уравнения очень сложно или невозможно. Кроме того, использование аналитических формул для решения большинства уравнений не может обеспечить получение точного значения корня, поскольку коэффициенты уравнения являются приближенными величинами, определенными в результате измерений. Поэтому задача отыскания точного значения корня теряет смысл.

Ставится задача – определить приближенное значение корня уравнения с заданной точностью.

Приближенное решение математических задач лежит в основе численных методов.

3.3.1. Особенности численных методов решения

3.3.1.1. Этапы численного решения нелинейного уравнения

Численное решение уравнения f(x) = 0 (речь идет о действительных корнях) проводят в два этапа:

1) отделение корней, т. е. отыскание таких достаточно малых отрезков в области допустимых значений x, в которых содержится только один корень;

2) уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной точностью.

3.3.1.2. Отделение корней

Рассмотрим несколько способов отделения корней.

С п о с о б 1 – по графику функции y = f(x).

приближенно определяется как абсцисса точки пересечения графика с осью Оx (рис. 3.2). Устанавливаются границы a и b отрезка, в пределах которого заключен только один корень x*.

С п о с о б 2 – уравнение f(x) = 0 заменяют равносильным:

. (3.13)

Строят графики функций и

Приближенное значение корня определяют как абсциссу точки пересечения этих графиков.

Например: отделим корень уравнения

(3.14)

для области значений аргумента x > 0.

Преобразуем уравнение (3.14) к виду:

(3.15)

где

Строим графики (рис. 3.3) и находим приближенно x* и отрезок .

С п о с о б 3 – по таблице значений функции f(x) на интересующем интервале изменения аргумента x. Например, представим таблицу (табл.3.1) значений функции

. (3.16)

Из данных табл. 3.1 видно, что корень уравнения существует и его следует искать на отрезке [7,0; 10,0], так как значения функции на концах этого отрезка имеют разные знаки.

Таблица значений функции

С п о с о б 4 – аналитический метод отделения корней, который базируется на знании следующих свойств функции:

а) если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения ;

б) если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри этого отрезка существует корень уравнения и притом единственный.

Функция называется монотонной в заданном интервале, если при любых из этого интервала она удовлетворяет условию (монотонно возрастающая функция)

или (монотонно убывающая функция).

Необходимым и достаточным условием монотонности функции в заданном интервале является выполнение для всех внутренних точек этого интервала условия или

Зная свойства функции , можно сделать вывод о характере графика , что может существенно облегчить процесс отыскания корней. Продемонстрируем это для непрерывной и монотонной на отрезке функции , которая принимает на концах отрезка значения разных знаков, имеет во всех точках интервала первую и вторую производные и , сохраняющие постоянный знак (рис. 3.4).

3.3.1.3. Уточнение корней

Рассмотрим несколько численных методов уточнения корней, применяемых для решения как алгебраических, так и трансцендентных уравнений. Эти методы относятся к разряду итерационных.

Итерационный процесс состоит в последовательном шаг за шагом уточнении начального приближения x0 искомого корня. Каждый шаг такого метода называется итерацией.

В результате реализации итерационного метода получают последовательность приближенных значений корня Если эти значения с увеличением n приближаются к истинному значению корня x*, то говорят, что итерационный процесс сходится.

3.3.1.3.1. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции)

Пусть дано уравнение

(3.17)

где функция непрерывна и монотонна на отрезке и имеет на концах отрезка разные знаки:

(3.18)

Требуется найти корень уравнения (3.17) с точностью до График функции представлен на рис. 3.5.

Рассмотрим суть и этапы реализации метода половинного деления.

1) Отрезок делим пополам и определяем середину отрезка:

(3.19)

2) Вычисляем значение функции в точке Если , то является корнем уравнения. Если то поиск корня продолжается на одном из двух полученных отрезков – или . Следует выбрать тот отрезок, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. В данном случае (см. рис. 3.5) выбираем отрезок , так как для него выполняется условие: Для того чтобы сохранить в дальнейших расчетах единое обозначение текущего отрезка, на котором ведется поиск корня на данном шаге вычислений, необходимо параметру b присвоить новое значение : b = . С точки зрения геометрической интерпретации (см. рис. 3.5) это означает, что правая граница исходного отрезка точка b переносится в точку а оставшаяся за пределами точки часть графика дальше не рассматривается.